Linear und exponentiell vergleichen
Lea und Emir haben beide 200 € auf dem Sparbuch. Lea legt jedes Jahr 15 € dazu. Emir legt nichts dazu, bekommt aber jedes Jahr 4 % Zinsen. Am Anfang liegt Lea vorn. Bleibt das für immer so? Am Ende der Seite weißt du es.
Linear oder exponentiell?
Zwei Wertetabellen sehen auf den ersten Blick ähnlich aus. Sie wachsen aber auf ganz verschiedene Weise.
So prüfst du eine Tabelle mit Schrittweite 1:
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Bilde die Differenzen benachbarter y-Werte. Sind sie alle gleich, ist es linear.
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Bilde die Quotienten benachbarter y-Werte (später : früher). Sind sie alle gleich, ist es exponentiell.
Warum funktioniert das? Eine Gerade hat überall dieselbe Steigung, also immer denselben Zuwachs pro Schritt. Bei einer Exponentialfunktion wächst der Zuwachs selbst mit, denn er ist immer ein fester Anteil des aktuellen Werts.
Zwei Wertetabellen sind gegeben: Tabelle A: $x = 0;1;2;3$ mit $y = 5; 8; 11; 14$ Tabelle B: $x = 0;1;2;3$ mit $y = 5; 10; 20; 40$ a) Entscheide jeweils, ob das Wachstum…
Zwei Wertetabellen sind gegeben:
Tabelle A: $x = 0;1;2;3$ mit $y = 5; 8; 11; 14$
Tabelle B: $x = 0;1;2;3$ mit $y = 5; 10; 20; 40$
- a) Entscheide jeweils, ob das Wachstum linear oder exponentiell ist, und begründe.
- b) Gib für beide Tabellen eine Funktionsgleichung an.
Funktionsgleichungen aufstellen
Aus dem Text oder der Tabelle liest du zwei Dinge ab: den Startwert (Wert bei $x = 0$) und die Veränderung pro Schritt.
Beispiele für $q$: Zunahme um 8 % gibt $q = 1{,}08$. Abnahme um 20 % gibt $q = 0{,}8$. „Verdoppelt sich“ gibt $q = 2$. „Verdreifacht sich“ gibt $q = 3$.
Eine Bakterienkultur umfasst zu Beginn 200 Bakterien und verdoppelt sich jede Stunde. a) Stelle die Funktionsgleichung $N(t)$ auf. b) Berechne die Anzahl nach 3 Stunden.
Eine Bakterienkultur umfasst zu Beginn 200 Bakterien und verdoppelt sich jede Stunde.
- a) Stelle die Funktionsgleichung $N(t)$ auf.
- b) Berechne die Anzahl nach 3 Stunden.
Jonas spart 50 € und legt jeden Monat 20 € dazu. a) Gib die Funktionsgleichung für sein Guthaben nach $x$ Monaten an. b) Wie viel hat er nach 6 Monaten?
Jonas spart 50 € und legt jeden Monat 20 € dazu.
- a) Gib die Funktionsgleichung für sein Guthaben nach $x$ Monaten an.
- b) Wie viel hat er nach 6 Monaten?
Ein Teich ist zu Beginn zu 2 % mit Algen bedeckt. Die Fläche verdreifacht sich jede Woche. a) Stelle eine Funktionsgleichung für den Bedeckungsgrad in Prozent auf. b)…
Ein Teich ist zu Beginn zu 2 % mit Algen bedeckt. Die Fläche verdreifacht sich jede Woche.
- a) Stelle eine Funktionsgleichung für den Bedeckungsgrad in Prozent auf.
- b) Nach wie vielen vollen Wochen ist der Teich erstmals zu mehr als 50 % bedeckt?
- c) Warum ist das Modell langfristig unrealistisch?
Modelle vergleichen
Jetzt zu Lea und Emir. Lea: $L(x) = 200 + 15x$. Emir: $E(x) = 200 \cdot 1{,}04^x$ ($x$ in Jahren).
| Jahre $x$ | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 |
|---|---|---|---|---|---|
| Lea $L(x)$ in € | 200 | 350 | 500 | 650 | 800 |
| Emir $E(x)$ in € | 200 | 296,05 | 438,22 | 648,68 | 960,20 |
Lange liegt Lea vorn. Nach 30 Jahren sind es noch 650 € gegen 648,68 €. Im 31. Jahr dreht es sich: $L(31) = 665$ und $E(31) \approx 674{,}63$. Ab da liegt Emir vorn, und der Abstand wächst immer schneller. Das beantwortet die Frage vom Anfang: Lea liegt nicht für immer vorn.
Mit einer Wertetabelle findest du den Schnittpunkt der Graphen näherungsweise. Das ist der Zeitpunkt, an dem beide Modelle denselben Wert liefern. Suche die Stelle, an der die Reihenfolge der Werte wechselt.
Ob ein Modell zu echten Messwerten passt, prüfst du so: Rechne mit beiden Modellen und vergleiche mit den Messwerten. Das Modell mit den kleineren Abweichungen passt besser. Ein Modell gilt immer nur in einem Bereich. Ein Teich kann nicht mehr als 100 % bedeckt sein, und niemand wächst ewig um 8 % pro Monat.
Harri und Betti haben je 100 € gespart. Harri legt jeden Monat 10 € dazu. Betti erhält jeden Monat 5 % Zinsen auf ihr Guthaben. a) Stelle für beide eine…
Harri und Betti haben je 100 € gespart. Harri legt jeden Monat 10 € dazu. Betti erhält jeden Monat 5 % Zinsen auf ihr Guthaben.
- a) Stelle für beide eine Funktionsgleichung auf.
- b) Berechne beide Guthaben nach 12 Monaten.
- c) Vergleiche das Wachstum beider Modelle nach 5 und nach 10 Jahren. Wer hat dann mehr?
Ein Unternehmen vergleicht zwei Prognosen für die Nutzerzahl einer App (in Tausend): Modell L: $L(t) = 20 + 5t$, Modell E: $E(t) = 10\cdot 1{,}25^t$ ($t$ in Monaten). a)…
Ein Unternehmen vergleicht zwei Prognosen für die Nutzerzahl einer App (in Tausend): Modell L: $L(t) = 20 + 5t$, Modell E: $E(t) = 10\cdot 1{,}25^t$ ($t$ in Monaten).
- a) Bestimme mithilfe einer Wertetabelle näherungsweise den Zeitpunkt, zu dem beide Modelle gleich viele Nutzer prognostizieren.
- b) Welches Modell prognostiziert langfristig mehr Nutzer? Begründe.
- c) Beurteile, welches Modell für die ersten drei Monate besser passt, wenn die tatsächlichen Zahlen 10; 12,5; 15,6; 19,5 betragen.
Eine Messreihe zeigt die Anzahl der Bakterien (in Tausend) in einer Nährlösung: 0 h: 80; 1 h: 96; 2 h: 115; 3 h: 138. a) Zeige, dass ein exponentielles Modell besser…
Eine Messreihe zeigt die Anzahl der Bakterien (in Tausend) in einer Nährlösung: 0 h: 80; 1 h: 96; 2 h: 115; 3 h: 138.
- a) Zeige, dass ein exponentielles Modell besser passt als ein lineares.
- b) Bestimme die Funktionsgleichung des exponentiellen Modells.
- c) Prognostiziere den Wert nach 6 Stunden und beurteile die Verlässlichkeit.
Gleichungen $b^x = c$ näherungsweise lösen
Wann hat Emir 400 €? Dafür musst du $200 \cdot 1{,}04^x = 400$ lösen, also $1{,}04^x = 2$. Das ist eine Exponentialgleichung der Form $b^x = c$. Hier steht die Unbekannte im Exponenten, und durch Umformen wie bei linearen Gleichungen kommst du nicht weiter.
Wir lösen sie durch systematisches Probieren. Das heißt: Wir schließen die Lösung in ein Intervall ein und machen es Schritt für Schritt kleiner. Das geht, weil $b^x$ bei $b > 1$ immer weiter wächst. Für jeden Wert $c > 0$ gibt es deshalb genau eine Lösung.
Für die Gleichung $1{,}5^x = 10$ soll mit einer Tabellenkalkulation eine Näherungslösung gefunden werden. a) Berechne $1{,}5^x$ für $x = 4, 5, 6$ und gib das Intervall…
Für die Gleichung $1{,}5^x = 10$ soll mit einer Tabellenkalkulation eine Näherungslösung gefunden werden.
- a) Berechne $1{,}5^x$ für $x = 4, 5, 6$ und gib das Intervall an, in dem die Lösung liegt.
- b) Verfeinere auf eine Nachkommastelle und runde dein Ergebnis.
- c) Beschreibe, wie du das Verfahren in einer Tabellenkalkulation umsetzt.
Löse $2{,}4^x = 50$ näherungsweise auf zwei Nachkommastellen mit einem systematischen Intervallverfahren. a) Gib ein Startintervall an. b) Führe mindestens vier…
Löse $2{,}4^x = 50$ näherungsweise auf zwei Nachkommastellen mit einem systematischen Intervallverfahren.
- a) Gib ein Startintervall an.
- b) Führe mindestens vier Verfeinerungsschritte in einer Tabelle durch.
- c) Erkläre, warum die Lösung eindeutig ist.
Auf einen Blick
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Linear: konstante Differenz, $f(x) = mx + b$. Exponentiell: konstanter Quotient $q$, $f(x) = a \cdot q^x$.
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Zunahme um $p\,\%$ gibt $q = 1 + \frac{p}{100}$, Abnahme um $p\,\%$ gibt $q = 1 - \frac{p}{100}$.
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Einen Vergleich beider Modelle machst du mit einer Wertetabelle. Auf lange Sicht überholt exponentielles Wachstum mit $q > 1$ jedes lineare.
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$b^x = c$ löst du näherungsweise durch Probieren: Intervall eingrenzen, dann mit Zehnteln und Hundertsteln verfeinern.
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Jedes Modell gilt nur in einem begrenzten Bereich. Prüfe immer, ob das Ergebnis in der Situation sinnvoll ist.
Vergiss den Antwortsatz mit Einheit nicht.