Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken und Anwendungen

Beurteile, ob die Aussage wahr oder falsch ist: „Wenn man die drei Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks kennt, kann man seine drei Seiten berechnen.“ Begründe deine Antwort mit einem Beispiel.

Berechne alle Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks, in dem eine Kathete $7$ cm lang ist und der ihr gegenüberliegende Winkel $40^\circ$ beträgt.

Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind $5$ cm und $9$ cm lang. Berechne seine spitzen Winkel und die Hypotenuse.

Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist $15$ cm lang und eine seiner Katheten $9$ cm. Bestimme seine spitzen Winkel und die andere Kathete.

Von einem Punkt am Boden, der $10$ m vom Fuß eines Baumes entfernt ist, sieht man seine Spitze unter einem Höhenwinkel von $30^\circ$.

Wie hoch ist der Baum?

Ein $30$ m hoher Schornstein wird von einem Punkt am Boden betrachtet, der $45$ m von seinem Fuß entfernt ist. Unter welchem Höhenwinkel sieht man sein oberes Ende?

Ein Schüler behauptet: „Aus $30$ m Entfernung sehe ich die Spitze eines Turms unter einem Winkel von $30^\circ$, also ist der Turm $30 \cdot \sin\ 30^\circ = 15\ \text{m}$ hoch.“ Finde den Fehler, erkläre, welches Winkelverhältnis er hätte verwenden müssen, und berechne die richtige Höhe.

Auf einem Berg im Harz möchte ein Umweltbeauftragter die Höhe eines Feuerwachturms bestimmen. Er steht auf ebenem Gelände in einer waagerechten Entfernung von $35\text{ m}$ vom Fuß des Turms, nutzt einen Neigungsmesser in Augenhöhe ($1,60\text{ m}$ über dem Boden) und misst einen Höhenwinkel von $43^\circ$ bis zum höchsten Punkt der Turmkabine.

1. a) Schätze: Der gemessene Winkel ($43^\circ$) liegt sehr nahe bei $45^\circ$. In einem rechtwinkligen Dreieck mit einem spitzen Winkel von $45^\circ$ sind beide Katheten gleich lang. Schätze damit ohne Taschenrechner begründet die Gesamthöhe des Turms. Erwartest du, dass die Höhe über den Augen des Beauftragten etwas größer oder kleiner als $35\text{ m}$ ist?
2. b) Berechne: Stelle das passende Winkelverhältnis auf und berechne die Gesamthöhe des Turms über dem Boden genau (addiere die Augenhöhe des Beobachters). Runde auf zwei Nachkommastellen.
3. c) Überprüfe und bewerte: Vergleiche das genaue Ergebnis mit deiner Schätzung, berechne die Differenz und beurteile, ob die Schätzung im Kopf für eine erste Einschätzung im Gelände ein praktisches und sinnvolles Vorgehen war.

Von der Spitze einer $60$ m hohen Klippe sieht man eine Boje unter einem Tiefenwinkel von $25^\circ$, wie die Abbildung zeigt.

1. a) Wie weit ist die Boje vom Fuß der Klippe entfernt? b) Wie weit ist sie vom Beobachter entfernt?

Von der Spitze eines $45$ m hohen Leuchtturms aus beobachtet man zwei Schiffe, die mit dem Leuchtturm auf einer Linie liegen: das nähere unter einem Tiefenwinkel von $32^\circ$ und das weiter entfernte unter $20^\circ$, wie die Abbildung zeigt.

Wie weit sind die beiden Schiffe voneinander entfernt?

Um die Breite eines Flusses zu messen, stellst du dich einem Baum am anderen Ufer gegenüber und gehst $30$ m an deinem Ufer entlang. Von dort aus sieht man den Baum unter einem Winkel von $55^\circ$ zum Ufer, wie die Abbildung zeigt.

Wie breit ist der Fluss?

Von einem Punkt am Boden, der $20$ m von einem Gebäude entfernt ist, sieht man den Fuß der Antenne auf dem Dach unter einem Höhenwinkel von $38^\circ$ und ihr oberes Ende unter $52^\circ$, wie die Abbildung zeigt.

Wie lang ist die Antenne?

Ein gleichschenkliges Dreieck hat Schenkel der Länge $10$ cm und einen Winkel an der Spitze von $50^\circ$. a) Berechne die Höhe auf die Basis (Tipp: Diese Höhe teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke). b) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

Von einem bestimmten Punkt in einem Tal aus sieht man den Gipfel eines Berges unter einem Höhenwinkel von $35^\circ$. Geht man $250$ m geradlinig zurück, sieht man den Gipfel unter einem Winkel von $22^\circ$, wie in der Abbildung dargestellt.

1. a) Stelle ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen auf, indem du in jedem der beiden rechtwinkligen Dreiecke den Tangens verwendest. b) Löse das Gleichungssystem. c) Wie hoch ist der Berg über der Augenhöhe des Beobachters?

Eine Schülergruppe möchte die Breite eines Sees messen, ohne ihn zu überqueren. Gegenüber einer Boje $B$ am anderen Ufer markieren sie an ihrem Ufer einen Punkt $P$. Von $P$ aus gehen sie $60$ m senkrecht dazu am Ufer entlang bis zu einem Punkt $Q$ und messen von $Q$ aus den Winkel $\widehat{PQB} = 48^\circ$. a) Fertige eine Skizze der Situation an. b) Berechne die Breite des Sees. c) Wenn man einen geraden Steg von $P$ nach $B$ baute, der durch die Auflager zusätzlich $5\ \%$ länger ist, wie lang wäre der Steg?

Du kannst es auf Papier lösen und ein Foto deiner Antwort einsenden.

Löse das rechtwinklige Dreieck der Abbildung, d. h. berechne alle seine Seiten und alle seine Winkel.

Markus möchte berechnen, in welcher Höhe das obere Ende einer $3\text{ m}$ langen Leiter liegt, die an einer senkrechten Wand lehnt. Mit einem selbstgebauten Winkelmesser stellt er fest, dass die Leiter mit dem waagerechten Boden einen Winkel von $70^\circ$ bildet.

Zur Lösung schreibt Markus in sein Heft den folgenden Ansatz:

1. a) Begründe ohne Taschenrechner, warum Markus' Ergebnis ($1,03\text{ m}$) für eine $3\text{ m}$ lange, unter $70^\circ$ geneigte Leiter (ein sehr steiler Winkel) physikalisch keinen Sinn ergibt.
2. b) Erkläre, welchen begrifflichen Fehler Markus bei der Wahl des trigonometrischen Verhältnisses gemacht hat und was dieser Wert von $1,03\text{ m}$ in der Realität darstellt.
3. c) Schreibe den richtigen Ansatz auf, berechne die tatsächliche Höhe, die die Leiter erreicht, und runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen.

Nach den technischen Empfehlungen des IDAE (Instituto para la Diversificación y Ahorro de la Energía) zur Optimierung der Sonneneinstrahlung bei Wohnhäusern in Zentralspanien installiert eine Familie auf ihrem Flachdach ein nach Süden ausgerichtetes Gestell mit Photovoltaikmodulen, das gegenüber der Horizontalen um $35^\circ$ geneigt ist. Die Länge des geneigten Moduls (die als Hypotenuse des Gestells dient) beträgt $1,80\text{ m}$.

1. a) Beschreibe, welches Element des rechtwinkligen Dreiecks (Hypotenuse, Gegenkathete oder Ankathete bezogen auf den Winkel von $35^\circ$) die maximale Höhe des Moduls über dem Dach darstellt und welches den Schatten bzw. die horizontale Standfläche auf dem Boden.
2. b) Berechne, in welcher Höhe über dem Dach die Oberkante des Photovoltaikmoduls liegt.
3. c) Berechne die horizontale Entfernung, die die Grundlinie des Gestells auf dem Dach einnimmt, um zu wissen, wie viel freien Platz es ringsum lässt. Runde beide Ergebnisse auf zwei Dezimalstellen in Metern.

Die Rutsche eines Erlebnisbads hat eine $18$ m lange Bahn, die mit dem Boden einen Winkel von $25^\circ$ bildet, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Wie hoch ist die Startplattform? b) Welche horizontale Entfernung nimmt die Rutsche ein?

Ein Heißluftballon ist mit einem gespannten Seil von $80$ m Länge am Boden festgebunden, das mit dem Boden einen Winkel von $60^\circ$ bildet, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) In welcher Höhe befindet sich der Ballon? b) Wenn eine Windböe das Seil so neigt, dass es mit dem Boden $45^\circ$ bildet, wie viele Meter sinkt der Ballon?

Die Rampe eines Skateparks hat eine Neigung von $18^\circ$ und eine Länge von $6$ m, wie in der Abbildung dargestellt.

1. a) Welchen Höhenunterschied überwindet die Rampe? b) Wie groß ist ihre Steigung in Prozent?

Die Barrierefreiheitsnormen für öffentliche Räume (in Deutschland z. B. DIN 18040) verlangen flache Steigungen, damit Rollstuhlfahrer sich sicher fortbewegen können. Beim Bau einer städtischen Sporthalle wurde eine gerade Rampe geplant, die einen Höhenunterschied von $0,75\text{ m}$ überwindet. Laut Plan muss die geneigte Fläche (der Rampenweg) genau $9,40\text{ m}$ lang sein.

1. a) Stelle die trigonometrische Gleichung auf, in der der Neigungswinkel $\alpha$ der Rampe gegenüber der Waagerechten die Unbekannte ist, und bestimme seinen Wert in Grad (auf eine Nachkommastelle gerundet).
2. b) Prüfe, ob die Rampe die technische Empfehlung erfüllt, dass dieser Winkel höchstens $5^\circ$ betragen soll.
3. c) Umgekehrte Konstruktion: Entwirf selbst die Daten für einen alternativen Zugang: Formuliere eine Aufgabe, in der die waagerechte Länge der Rampe ($d$) und der Neigungswinkel $\alpha = 4^\circ$ gegeben sind, sodass sich mathematisch genau derselbe Höhenunterschied von $0,75\text{ m}$ ergibt. Berechne den genauen Zahlenwert dieser waagerechten Länge $d$, die in deiner Aufgabe stehen muss (auf zwei Nachkommastellen gerundet).

Eine Passstraße hat einen ersten Abschnitt von $2{,}3$ km mit gleichbleibender Neigung von $9^\circ$ und einen zweiten Abschnitt von $1{,}8$ km mit einer Neigung von $6^\circ$. a) Welchen Höhenunterschied überwindet man in jedem Abschnitt? b) Wie groß ist der gesamte Höhenunterschied der Passstraße? c) Wie groß ist die durchschnittliche Steigung der gesamten Passstraße in Prozent? (Verwende die zurückgelegten waagerechten Entfernungen.)

Anna und Bruno stehen $50$ m voneinander entfernt auf einem ebenen Feld. Zwischen ihnen, in derselben senkrechten Ebene, fliegt ein Drachen: Anna sieht ihn unter einem Höhenwinkel von $55^\circ$ und Bruno unter $65^\circ$, wie die Abbildung zeigt.

1. a) In welcher Höhe fliegt der Drachen? b) Wie weit ist er waagerecht von Anna entfernt?

Von einem Punkt am Boden, der $30$ m vom Fuß einer Säule entfernt ist, sieht man den oberen Rand der Säule unter einem Höhenwinkel von $25^\circ$ und die Spitze der darauf stehenden Statue unter $40^\circ$. a) Wie hoch ist die Säule? b) Wie hoch ist die Statue? c) Unter welchem Höhenwinkel sähe man das gesamte Bauwerk von einem Punkt, der $50$ m vom Fuß entfernt ist?

Ein Wetterballon steigt senkrecht von einem Punkt auf, der $400$ m von einem Beobachter entfernt ist, wie in der Abbildung dargestellt.

Zu einem bestimmten Zeitpunkt sieht der Beobachter den Ballon unter einem Höhenwinkel von $45^\circ$ und eine Minute später unter $60^\circ$. a) In welcher Höhe befand sich der Ballon bei jeder Beobachtung? b) Wie weit stieg er in dieser Minute? c) Wie groß war seine durchschnittliche Steiggeschwindigkeit in Metern pro Sekunde?

Eine Seilrutsche verbindet zwei Türme von $22$ m und $14$ m Höhe, die waagerecht $60$ m voneinander entfernt stehen, wie die Abbildung zeigt.

1. a) Welcher Höhenunterschied besteht zwischen den beiden Startpunkten? b) Wie lang ist das Seil, wenn man es als straff und gerade annimmt? c) Unter welchem Neigungswinkel gleitet der Nutzer nach unten?

Ein Technikerteam muss die Höhe eines Funkturms bestimmen, der in einem eingezäunten Gelände steht. Man kann dort nicht hineingehen, um Entfernungen bis zum Fuß zu messen. Zwei Fachleute diskutieren, welche Messstrategie sie von außerhalb des Zauns verwenden sollen:

• Strategie A (zwei Winkel mit Neigungsmesser): Man stellt sich auf ebenem Gelände an einen Punkt $P$ und misst einen Höhenwinkel von $40^\circ$. Dann geht man genau $15\text{ m}$ geradlinig waagerecht zurück bis zu einem Punkt $Q$ und misst einen neuen Höhenwinkel von $28^\circ$. Dafür muss man ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit dem Tangens aufstellen und lösen.

• Strategie B (Messung mit Laser-Entfernungsmesser): Man stellt sich an den Punkt $P$, misst mit dem Neigungsmesser den Höhenwinkel $40^\circ$ und zielt mit einem Laser-Entfernungsmesser mit großer Reichweite auf die Spitze des Turms. Dieser misst die direkte geradlinige Sichtentfernung (Hypotenuse) von $33,87\text{ m}$.

1. a) Bestimme die Höhe des Turms mit Strategie A: Stelle das Gleichungssystem mit $\tan(40^\circ)$ und $\tan(28^\circ)$ auf, setze die passende Unbekannte gleich und berechne die Höhe $h$ des Turms (auf zwei Nachkommastellen gerundet).
2. b) Bestimme die Höhe des Turms mit Strategie B: Berechne die Höhe $h$ mit nur einem Winkelverhältnis aus den Daten des Entfernungsmessers.
3. c) Vergleiche beide Methoden und begründe, welche in der beruflichen Praxis günstiger ist. Gehe dabei auf den rechnerischen Aufwand, die Anzahl der nötigen Messungen im Gelände und das Risiko ein, Rundungsfehler mitzuschleppen.

Die Seilbahn von Fuente Dé im Nationalpark Picos de Europa (Kantabrien) überwindet eine große Felswand in einer einzigen geraden Spannweite ohne Zwischenstützen. Die offiziellen geografischen Daten der Anlage sind:

• Höhe der unteren Talstation: $1070\text{ m}$ über dem Meeresspiegel.

• Höhe der oberen Bergstation („El Cable“): $1823\text{ m}$ über dem Meeresspiegel.

• Länge des geradlinig gespannten Seils zwischen beiden Stationen (Fahrstrecke der Kabine): $1450\text{ m}$.

1. a) Modelliere die Situation mit einem rechtwinkligen Dreieck: Berechne den Höhenunterschied, den die Seilbahn überwindet, und gib an, was jede Größe ($1450\text{ m}$ und der berechnete Höhenunterschied) im rechtwinkligen Dreieck darstellt (Hypotenuse, Gegenkathete oder Ankathete bezüglich der Neigung zur Waagerechten).
2. b) Berechne den mittleren Neigungswinkel des Seils gegenüber der Waagerechten (auf eine Nachkommastelle in Grad gerundet).
3. c) Berechne die waagerechte Entfernung zwischen beiden Stationen (die geradlinige Projektion auf eine topografische Ebene). Runde auf ganze Meter.
4. d) Angenommen, die Kabine hält wegen eines Sicherheitsstopps an, wenn sie genau die Hälfte der Seilstrecke zurückgelegt hat ($725\text{ m}$ ab der Talstation). Begründe mithilfe von Proportionalität und Ähnlichkeit von Dreiecken (ohne Taschenrechner für Winkelverhältnisse), in welcher Höhe über dem Meeresspiegel sich die Kabine dann befindet. Bestätige anschließend deine Überlegung rechnerisch, indem du diese Höhe mit dem Sinus des in Teilaufgabe b) erhaltenen Winkels berechnest.

Themenprojekt. Wie groß ist deine Umgebung wirklich? Du berechnest mithilfe der Trigonometrie die Höhe eines unzugänglichen Objekts in der Nähe deines Zuhauses (Gebäude, Baum oder Straßenlaterne) und untersuchst das Verhalten seines Schattens.

1. Datenerhebung: Miss an einem sonnigen Tag mit einem Maßband die Länge des Schattens des gewählten Objekts. Notiere im selben Moment die genaue Uhrzeit und ermittle beim Deutschen Wetterdienst oder auf einer Wetterseite den Sonnenhöhenwinkel ($\alpha$) für deinen Ort. Oder berechne diesen Winkel, indem du den Schatten eines senkrechten Vergleichsobjekts von $1,0\text{ m}$ misst.

2. Mathematische Lösung: Modelliere die Situation mit einem rechtwinkligen Dreieck. Wende das passende Winkelverhältnis ($\tan \alpha = \frac{\text{Höhe}}{\text{Schatten}}$) an und löse nach der wahren Höhe des Objekts auf. Berechne anschließend, wie lang sein Schatten sein wird, wenn die Sonne $30^\circ$ hoch steht.

3. Digitaler Bericht: Erstelle einen kurzen Bericht von einer Seite (oder eine Tabellenkalkulation) mit der Datentabelle, der Skizze des gelösten Dreiecks und einer praktischen Empfehlung: In welchem Mindestabstand muss ein Blumenkasten oder ein Solarpanel stehen, damit es in den Mittagsstunden nicht im Schatten des Objekts liegt?

Bewertet wird:

• Genauigkeit bei der Erhebung realer Daten und beim geometrischen Ansatz des Dreiecks.

• Richtigkeit der trigonometrischen Berechnung und des Auflösens mit Dezimalgenauigkeit.

• Qualität der Präsentation und praktische Begründung des abschließenden Vorschlags.