Abhängige Ereignisse

In einer Klasse mit $30$ Schülern sind $18$ Mädchen. Es ist bekannt, dass $12$ Mädchen und $5$ Jungen Französisch lernen. Wenn zufällig ein Schüler dieser Klasse ausgewählt wird und es ein Mädchen ist, berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es Französisch lernt.

Bei einer Umfrage unter $200$ Personen zu ihrer Vorliebe zwischen Tee und Kaffee ergaben sich folgende Daten: $120$ bevorzugen Kaffee, davon sind $70$ Frauen. Wenn insgesamt $110$ Frauen an der Umfrage teilgenommen haben, berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person Tee bevorzugt, wenn bekannt ist, dass es ein Mann ist.

Seien $A$ und $B$ zwei Ereignisse eines Zufallsexperiments mit $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ und $P(A \cap B) = 0,25$. Überprüfe mathematisch, ob die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch abhängig oder unabhängig sind.

In einer Kiste liegen $8$ LED-Lampen, von denen $3$ defekt sind. Es werden zwei Lampen zufällig nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide funktionieren.

In einer Schublade liegen $5$ schwarze und $3$ blaue Socken, alle durcheinander. Wenn du im Dunkeln nacheinander zwei Socken herausziehst, berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide blau sind.

Eine Lieferung von $50$ Mobiltelefonen enthält $4$ Geräte mit Fabrikationsfehlern. Ein Qualitätsprüfer wählt zufällig $3$ Telefone aus der Lieferung aus, eines nach dem anderen und ohne Zurücklegen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keines der ausgewählten Telefone defekt ist.

Das folgende Baumdiagramm zeigt die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Basketballspieler seinen ersten und zweiten Freiwurf trifft ($E$) oder verfehlt ($F$). Beachte die bedingten Wahrscheinlichkeiten und berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler den ersten Wurf verfehlt und den zweiten trifft.

In einem Brettspiel enthält eine Truhe $6$ Goldmünzen und $4$ Silbermünzen. Ein Spieler zieht ohne hinzusehen zwei Münzen nacheinander ohne Zurücklegen. Berechne anhand des Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden gezogenen Münzen aus unterschiedlichem Material sind.

Aus einem spanischen Kartenspiel mit $40$ Karten ziehen wir zufällig zwei Karten ohne Zurücklegen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der gezogenen Karten ein Reiter (Caballo) ist.

In einem Tierheim gibt es Hunde und Katzen. Die Wahrscheinlichkeit, zufällig einen Hund auszuwählen, beträgt $0,6$. Wenn wir wissen, dass das ausgewählte Tier ein Hund ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass er ein Halsband trägt, $0,8$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zufällig ein Tier auszuwählen, das ein Hund ist und zusätzlich ein Halsband trägt?

Die Wahrscheinlichkeit, dass es in einer Stadt an einem bestimmten Tag regnet, hängt vom Wetter des Vortags ab. Wenn es heute regnet, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen regnet, $0,7$. Wenn es heute nicht regnet, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen regnet, $0,2$. Heute ist Montag und es regnet. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es am Mittwoch nicht regnet.

Es gibt zwei Urnen mit der in der Abbildung gezeigten Zusammensetzung. Aus Urne $I$ wird zufällig eine Kugel gezogen und, ohne ihre Farbe anzusehen, in Urne $II$ gelegt. Anschließend wird eine Kugel aus Urne $II$ gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die aus Urne $II$ gezogene Kugel weiß ist.

In einem Krankenhaus sind $40\%$ der Patienten wegen Atemwegserkrankungen aufgenommen. Von ihnen sind $15\%$ Raucher. Unter den Patienten, die aus anderen Gründen aufgenommen wurden, sind $20\%$ Raucher. Wenn ein Patient zufällig ausgewählt wird und Raucher ist, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er wegen einer Atemwegserkrankung aufgenommen wurde?

Ein Test zur Erkennung einer Krankheit erkennt Kranke mit einer Zuverlässigkeit von $95\%$ und fällt bei Gesunden mit einer Wahrscheinlichkeit von $90\%$ negativ aus. Es ist bekannt, dass $2\%$ der Bevölkerung an dieser Krankheit leiden. Eine Person unterzieht sich dem Test und das Ergebnis ist positiv. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sie tatsächlich krank ist.

In einem Technologieunternehmen sind $60\%$ der Beschäftigten Programmierer, $30\%$ Designer und $10\%$ Manager. $80\%$ der Programmierer, $40\%$ der Designer und $90\%$ der Manager sprechen fließend Englisch. Es wird zufällig ein Beschäftigter ausgewählt und es zeigt sich, dass er nicht fließend Englisch spricht. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Beschäftigte Designer ist.