Geometrie und Trigonometrie

Lena steht in Köln in $40\,\mathrm{m}$ Entfernung vom Fuß eines Kirchturms. Sie sieht die Turmspitze unter einem Höhenwinkel von $35^\circ$. Ihre Augenhöhe beträgt $1{,}60\,\mathrm{m}$.

1. a) Zeichne eine Skizze der Situation und beschrifte die gegebenen Größen.

1. b) Berechne die Höhe des Kirchturms.

1. c) Berechne, in welcher Entfernung vom Turm Lena stehen müsste, um die Turmspitze unter einem Höhenwinkel von $50^\circ$ zu sehen.

Am Eingang eines Schwimmbads in Münster soll eine Rampe mit einer Steigung von $6\,\%$ gebaut werden. Der Höhenunterschied beträgt $0{,}45\,\mathrm{m}$.

1. a) Berechne die horizontale Länge der Rampe.

1. b) Bestimme den Steigungswinkel der Rampe.

1. c) Berechne die Länge der Rampe entlang der Fahrfläche.

Der Querschnitt eines Daches ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Grundlinie $10\,\mathrm{m}$ und einem Dachneigungswinkel von $38^\circ$.

1. a) Berechne die Höhe des Daches über der Grundlinie.

1. b) Berechne die Länge eines Sparrens (Schenkel des Dreiecks).

1. c) Das Haus ist $12\,\mathrm{m}$ lang. Berechne den Flächeninhalt der gesamten Dachfläche (beide Seiten).

Ein dreieckiges Grundstück $ABC$ hat die Seite $\overline{AB} = 60\,\mathrm{m}$. Die Winkel betragen $\alpha = 70^\circ$ bei $A$ und $\beta = 50^\circ$ bei $B$. Der Punkt $D$ ist der Fußpunkt der Höhe $h$ von $C$ auf $AB$.

1. a) Zeige, dass $\overline{AD} = \frac{h}{\tan 70^\circ}$ und $\overline{DB} = \frac{h}{\tan 50^\circ}$ gilt, und begründe damit die Gleichung $\frac{h}{\tan 70^\circ} + \frac{h}{\tan 50^\circ} = 60$.

1. b) Berechne die Höhe $h$.

1. c) Berechne den Flächeninhalt des Grundstücks.

Die Turmspitze einer Kirche ist eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die Grundseite ist $6\,\mathrm{m}$ lang, die Höhe der Pyramide beträgt $8\,\mathrm{m}$.

1. a) Berechne das Volumen der Turmspitze.

1. b) Berechne die Seitenhöhe $h_s$ der dreieckigen Seitenflächen.

1. c) Berechne den Flächeninhalt der Mantelfläche.

Ein Zeltdach hat die Form einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die Grundkante beträgt $8\,\mathrm{m}$, die Höhe $6\,\mathrm{m}$.

1. a) Berechne die Seitenhöhe $h_s$ einer Dreiecksfläche.

1. b) Bestimme den Neigungswinkel einer Seitenfläche gegenüber der Grundfläche.

1. c) Berechne die Länge einer Seitenkante.

Eine zylinderförmige Regentonne hat einen Innenradius von $0{,}40\,\mathrm{m}$ und eine Höhe von $1{,}10\,\mathrm{m}$.

1. a) Berechne das Fassungsvermögen der Tonne in Litern.

1. b) Berechne den Oberflächeninhalt der Tonne (mit Boden und Deckel).

1. c) Bestimme, wie hoch das Wasser in der Tonne steht, wenn sie $300\,\ell$ enthält.

Eine Eiswaffel hat die Form eines geraden Kegels mit dem Radius $r = 3\,\mathrm{cm}$ und der Höhe $h = 12\,\mathrm{cm}$.

1. a) Berechne das Volumen der Waffel.

1. b) Berechne die Mantellinie $s$ und die Mantelfläche der Waffel.

1. c) Bestimme den Radius einer Kugel, die dasselbe Volumen wie die Waffel hat.

Ein Getreidesilo in Münsterland besteht aus einem Zylinder mit dem Radius $2{,}5\,\mathrm{m}$ und der Höhe $8\,\mathrm{m}$, auf den eine Halbkugel mit demselben Radius aufgesetzt ist.

1. a) Berechne das gesamte Volumen des Silos.

1. b) Berechne den Oberflächeninhalt des Silos (mit Boden).

1. c) Getreide hat eine Dichte von $0{,}75\,\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{m}^3}$. Berechne die Masse des Getreides, wenn das Silo vollständig gefüllt ist.