Oberflächeninhalt von Polyedern

Ein junger Designer entwickelt einen Prototyp eines smarten Lautsprechers in Würfelform. Wenn die Kante des Würfels $9\text{ cm}$ misst, berechne die gesamte Kunststofffläche, die nötig ist, um alle seine Flächen zu verkleiden.

Bestimme anhand des Netzes in der Abbildung, um welchen Polyeder es sich handelt, und berechne seinen Oberflächeninhalt, wenn jedes Quadrat die Seitenlänge $5\text{ cm}$ hat.

Überprüfe, ob der Eulersche Polyedersatz ($E + F = K + 2$) für ein Prisma mit fünfeckiger Grundfläche gilt, wie in der Abbildung (die gestrichelten Kanten sind die verdeckten). Gib deutlich die Anzahl der Flächen ($F$), Ecken ($E$) und Kanten ($K$) an, die du gezählt hast.

Ein Schuhkarton hat die Form eines Quaders mit folgenden Maßen: $30\text{ cm}$ lang, $18\text{ cm}$ breit und $12\text{ cm}$ hoch. Berechne den gesamten Flächeninhalt der Pappe, die für die Herstellung des Kartons verwendet wird (ohne Klebelaschen).

Ein Etui für ein Musikinstrument hat die Form eines geraden dreiseitigen Prismas. Die Grundfläche ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge $8\text{ cm}$ und die Höhe des Prismas beträgt $40\text{ cm}$. Wenn der Flächeninhalt der dreieckigen Grundfläche ungefähr $27,7\text{ cm}^2$ beträgt, berechne den gesamten Oberflächeninhalt des Etuis.

Berechne den Mantelflächeninhalt eines geraden Prismas mit der Höhe $12\text{ cm}$, dessen Grundfläche eine Raute mit den Diagonalen $16\text{ cm}$ und $12\text{ cm}$ ist.

(Tipp: Bestimme zuerst die Seitenlänge der Raute mit dem Satz des Pythagoras in einem der rechtwinkligen Dreiecke im Inneren der Grundfläche.)

Für ein Technikprojekt sollst du eine Werkzeugkiste in Form eines regelmäßigen sechsseitigen Prismas bauen. Die Grundkante misst $10\text{ cm}$ und die Höhe des Prismas beträgt $25\text{ cm}$. Du möchtest alle Außenflächen (auch die beiden Grundflächen) mit einer Schutzfolie bekleben. Wie viele Quadratzentimeter Material brauchst du?

(Hinweis: Um den Flächeninhalt der Grundfläche zu berechnen, musst du zuerst mit dem Satz des Pythagoras die Höhe der Dreiecke des Sechsecks (das Apothem) bestimmen.)

Berechne den Mantelflächeninhalt eines regelmäßigen fünfseitigen Prismas, wenn sein Volumen $450\text{ cm}^3$ beträgt, der Flächeninhalt seiner Grundfläche $30\text{ cm}^2$ ist und die Seite der Grundfläche $4\text{ cm}$ misst.

(Tipp: Verwende zuerst die Volumenformel, um die Höhe des Prismas zu bestimmen.)

Es soll ein oben offener Papierkorb aus Metall in Form eines regelmäßigen achtseitigen Prismas hergestellt werden. Die Grundfläche hat einen Umfang von $64\text{ cm}$ und ein Apothem von $9,66\text{ cm}$. Die Höhe des Papierkorbs beträgt $40\text{ cm}$. Berechne die gesamte Metallfläche, die für die Herstellung nötig ist.

Ein gerades Prisma mit $20\text{ cm}$ Höhe hat als Grundfläche ein gleichschenkliges Trapez. Die parallelen Seiten des Trapezes messen $14\text{ cm}$ und $6\text{ cm}$, seine Höhe beträgt $3\text{ cm}$. Berechne den Oberflächeninhalt des Prismas. Tipp: Du musst zuerst mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Schenkel des Trapezes in der Grundfläche berechnen.

Berechne den Mantelflächeninhalt einer regelmäßigen quadratischen Pyramide, wenn die Seite der Grundfläche $10\text{ cm}$ misst und die Höhe der Seitenflächen der Pyramide $15\text{ cm}$ beträgt.

Lea möchte ein dekoratives Stück aus massivem Holz lackieren, das die Form einer regelmäßigen quadratischen Pyramide hat. Die Grundkante misst $6\text{ cm}$ und die Höhe der Pyramide beträgt $4\text{ cm}$. Lea hat in ihrem Heft Folgendes gerechnet:

„Der Umfang der Grundfläche ist $4 \cdot 6 = 24\text{ cm}$. Der Mantelflächeninhalt ist $\frac{24 \cdot 4}{2} = 48\text{ cm}^2$. Der Flächeninhalt der Grundfläche ist $6^2 = 36\text{ cm}^2$. Also ist der gesamte Flächeninhalt, der lackiert werden muss, $48 + 36 = 84\text{ cm}^2$.“

1. a) Finde den geometrischen Fehler in Leas Ansatz und erkläre ihn ausführlich. Welche zwei verschiedenen Strecken hat sie verwechselt?
2. b) Korrigiere das Vorgehen, indem du die richtige Länge der Höhe der Seitenflächen der Pyramide mit dem Satz des Pythagoras berechnest, und bestimme den tatsächlichen Gesamtflächeninhalt, der lackiert werden muss.

Ein Architekturbüro hat ein Glasdach in Form einer regelmäßigen quadratischen Pyramide entworfen. Die Grundkante misst $4\text{ m}$ und die Höhe der Pyramide beträgt $3\text{ m}$. Berechne die gesamte Glasfläche, die für die vier Seitenflächen nötig ist (die Grundfläche bleibt offen, damit Licht in das Gebäudeinnere fällt).

Es soll ein Einmannzelt in Form einer regelmäßigen quadratischen Pyramide genäht werden. Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $2\text{ m}$ und die senkrechte Mittelstange hat eine Höhe von $1,5\text{ m}$. Nur für die vier Seitenflächen wird ein spezieller wasserdichter Stoff verwendet (der Boden wird aus einem anderen, isolierenden Material gefertigt).

1. a) Schätze begründet den Flächeninhalt der Seitenflächen, ohne Taschenrechner und ohne die Höhe der Seitenflächen schon zu bestimmen: Ist er größer, kleiner oder gleich $6\text{ m}^2$? (Tipp: Überlege, welchen Flächeninhalt die vier Flächen hätten, wenn sie senkrechte Dreiecke mit der Grundseite $2\text{ m}$ und der Höhe $1,5\text{ m}$ wären.)
2. b) Bestimme mit dem Satz des Pythagoras die Höhe der Seitenflächen der Pyramide und berechne den genauen Wert der benötigten Stofffläche (runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen).
3. c) Vergleiche dein Ergebnis mit deiner Schätzung und begründe geometrisch, warum die Höhe der Seitenflächen einer Pyramide stets echt größer ist als ihre Körperhöhe.

Ein Glaser soll das Glas für eine Lampe in Form eines regelmäßigen Tetraeders herstellen (alle Flächen sind gleich große gleichseitige Dreiecke). Wenn jede Fläche einen Flächeninhalt von $15,6\text{ cm}^2$ hat, wie groß ist dann die Glasfläche der gesamten Lampe?

Berechne den Oberflächeninhalt eines regelmäßigen quadratischen Pyramidenstumpfes, dessen Grund- und Deckfläche Quadrate mit den Seitenlängen $12\text{ cm}$ bzw. $6\text{ cm}$ sind und dessen Höhe der Seitenflächen (Apothema des Stumpfes) $8\text{ cm}$ beträgt. Wie viel Geschenkpapier braucht man mindestens, um einen Gegenstand dieser Form einzupacken?

Eine Trophäe hat die Form eines regelmäßigen Oktaeders mit der Kantenlänge $6\text{ cm}$. Die Trophäe soll versilbert werden, und die Kosten für die Versilberung betragen $0,05\text{ €}$ pro Quadratzentimeter. Wie hoch sind die Gesamtkosten für das Versilbern der $8$ Flächen der Trophäe?

(Gegeben: Der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge $a$ ist $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$.)

Es soll ein Metallteil gebaut werden, indem ein regelmäßiges sechseckiges Prisma und eine regelmäßige sechseckige Pyramide, die genau auf seine obere Grundfläche passt, zusammengefügt werden. Die Seite des Sechsecks der Grundfläche misst $6\text{ cm}$, die Höhe des Prismas beträgt $15\text{ cm}$ und die Höhe der Pyramide beträgt $8\text{ cm}$. Berechne den Flächeninhalt der Außenfläche des gesamten Teils (beachte, dass die Fläche, an der beide Körper zusammengefügt sind, nicht zur Außenfläche zählt).