Wissenschaftliche Schreibweise
Die Masse der Erde beträgt $5\,970\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000$ kg. Die Masse eines Sauerstoffatoms ist $0{,}0000000000000000000000266$ g. Niemand möchte so viele Nullen abzählen, und beim Abschreiben passieren schnell Fehler. Deshalb schreibt man solche Zahlen mit Zehnerpotenzen. Wie das geht und wie man damit rechnet, lernst du auf dieser Seite.
Was ist die wissenschaftliche Schreibweise?
Hier siehst du verschiedene Größen vom Atom bis zur Galaxie auf einer gemeinsamen Skala:
Auch die Vorsätze bei Einheiten sind Zehnerpotenzen:
| Vorsatz | Zeichen | Faktor |
|---|---|---|
| Nano | n | $10^{-9}$ |
| Mikro | µ | $10^{-6}$ |
| Milli | m | $10^{-3}$ |
| Kilo | k | $10^{3}$ |
| Mega | M | $10^{6}$ |
| Giga | G | $10^{9}$ |
| Tera | T | $10^{12}$ |
So sind $4$ Terabyte genau $4 \cdot 10^{12}$ Byte.
Schreibe die folgenden ganzen Zahlen und endlichen Dezimalzahlen in wissenschaftlicher Schreibweise: a) $450\,000\,000$ b) $32\,500$ c) $8\,400\,000\,000\,000$
Schreibe die folgenden ganzen Zahlen und endlichen Dezimalzahlen in wissenschaftlicher Schreibweise:
- a) $450\,000\,000$
- b) $32\,500$
- c) $8\,400\,000\,000\,000$
Schreibe die folgenden kleinen Dezimalzahlen in wissenschaftlicher Schreibweise: a) $0,0000045$ b) $0,00000000128$ c) $0,003$
Schreibe die folgenden kleinen Dezimalzahlen in wissenschaftlicher Schreibweise:
- a) $0,0000045$
- b) $0,00000000128$
- c) $0,003$
Umwandeln zwischen Dezimalschreibweise und Zehnerpotenz
Der Exponent zeigt, um wie viele Stellen das Komma verschoben wird.
Schreibe die folgenden in wissenschaftlicher Schreibweise gegebenen Zahlen mit allen Ziffern aus: a) $3,14 \cdot 10^6$ b) $8,05 \cdot 10^9$ c) $1,002 \cdot 10^4$
Schreibe die folgenden in wissenschaftlicher Schreibweise gegebenen Zahlen mit allen Ziffern aus:
- a) $3,14 \cdot 10^6$
- b) $8,05 \cdot 10^9$
- c) $1,002 \cdot 10^4$
Schreibe die folgenden in wissenschaftlicher Schreibweise gegebenen Zahlen als Dezimalzahlen: a) $5,2 \cdot 10^{-5}$ b) $1,07 \cdot 10^{-8}$ c) $9,9 \cdot 10^{-3}$
Schreibe die folgenden in wissenschaftlicher Schreibweise gegebenen Zahlen als Dezimalzahlen:
- a) $5,2 \cdot 10^{-5}$
- b) $1,07 \cdot 10^{-8}$
- c) $9,9 \cdot 10^{-3}$
Vergleichen und Ordnen
Zuerst entscheidet der Exponent. Nur wenn die Exponenten gleich sind, vergleicht man die Mantissen.
Ordne die folgenden Zahlen der Größe nach, beginnend mit der kleinsten, indem du sie zuvor in der normierten wissenschaftlichen Schreibweise darstellst (mit genau einer…
Ordne die folgenden Zahlen der Größe nach, beginnend mit der kleinsten, indem du sie zuvor in der normierten wissenschaftlichen Schreibweise darstellst (mit genau einer von null verschiedenen Ziffer vor dem Komma):
$A = 0,0034 \cdot 10^8$
$B = 450 \cdot 10^3$
$C = 3,2 \cdot 10^5$
$D = 0,05 \cdot 10^7$
Rechnen mit Zehnerpotenzen
Multiplizieren und Dividieren: Rechne Mantissen und Zehnerpotenzen getrennt. Dabei gelten die Potenzgesetze: $10^m \cdot 10^n = 10^{m+n}$ und $10^m : 10^n = 10^{m-n}$. Am Ende passt du die Mantisse an, falls sie nicht zwischen 1 und 10 liegt.
Potenzieren: Auch hier hilft ein Potenzgesetz, nämlich $(a \cdot 10^n)^k = a^k \cdot 10^{n \cdot k}$. Zum Beispiel ist $(2 \cdot 10^{-3})^2 = 4 \cdot 10^{-6}$.
Wurzeln ziehen: Auch das Radizieren ist die Umkehrung des Potenzierens, also gilt $\sqrt{a \cdot 10^{n}} = \sqrt{a} \cdot 10^{n:2}$ und $\sqrt[3]{a \cdot 10^{n}} = \sqrt[3]{a} \cdot 10^{n:3}$. Das klappt direkt, wenn $n$ durch 2 (bzw. 3) teilbar ist. Ist es das nicht, formst du zuerst um: Verschiebe eine Zehnerpotenz in die Mantisse, bis der Exponent teilbar ist.
Addieren und Subtrahieren: Das geht nur, wenn die Zehnerpotenzen gleich sind. Sonst gleichst du sie zuerst an. Dann rechnest du mit den Mantissen und behältst die Zehnerpotenz bei.
Führe die folgenden Multiplikationen aus und gib das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an: a) $(3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^5)$ b)…
Führe die folgenden Multiplikationen aus und gib das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an:
- a) $(3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^5)$
- b) $(4 \cdot 10^{-3}) \cdot (2 \cdot 10^8)$
Die mittlere Entfernung der Erde von der Sonne beträgt etwa $149\,600\,000$ km und die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum etwa $300\,000$ km/s. Schreibe beide Größen in…
Die mittlere Entfernung der Erde von der Sonne beträgt etwa $149\,600\,000$ km und die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum etwa $300\,000$ km/s. Schreibe beide Größen in wissenschaftlicher Schreibweise und berechne, wie viele Sekunden das Sonnenlicht bis zur Erde braucht.
Das Gravitationsgesetz besagt, dass die Anziehungskraft zwischen zwei Massen $m_1$ und $m_2$ im Abstand $d$ gleich $F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{d^2}$ ist, wobei…
Das Gravitationsgesetz besagt, dass die Anziehungskraft zwischen zwei Massen $m_1$ und $m_2$ im Abstand $d$ gleich $F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{d^2}$ ist, wobei $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Berechne die Anziehungskraft zwischen der Erde ($m_1 = 5,97 \cdot 10^{24}$ kg) und dem Mond ($m_2 = 7,35 \cdot 10^{22}$ kg), wenn der mittlere Abstand zwischen ihren Mittelpunkten $3,84 \cdot 10^8$ m beträgt. Gib das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise mit drei gültigen Ziffern an.
Runden, gültige Ziffern und Fehler
Bei Messwerten gibt man nur so viele gültige Ziffern an, wie die Messung hergibt. In $a \cdot 10^n$ sind das alle Ziffern der Mantisse. Beim Runden auf drei gültige Ziffern bleiben also zwei Nachkommastellen der Mantisse: $2{,}4563 \cdot 10^{9} \approx 2{,}46 \cdot 10^{9}$.
Die Abweichung zwischen genauem Wert $w$ und Näherungswert $\tilde{w}$ misst man mit zwei Größen: dem absoluten Fehler $|w - \tilde{w}|$ und dem relativen Fehler $\dfrac{|w - \tilde{w}|}{|w|}$, den man meist in Prozent angibt.
Bei der Messung der Entfernung zwischen zwei weit entfernten Galaxien erhält man einen Wert von $24\,560\,000\,000\,000\,000\,000$ km. Schreibe diese Größe in…
Bei der Messung der Entfernung zwischen zwei weit entfernten Galaxien erhält man einen Wert von $24\,560\,000\,000\,000\,000\,000$ km. Schreibe diese Größe in wissenschaftlicher Schreibweise und runde auf drei gültige Ziffern (also zwei Nachkommastellen). Berechne anschließend den absoluten und den relativen Fehler, der durch diese Näherung entsteht.
Zurück zum Anfang: Die Masse der Erde ist $5{,}97 \cdot 10^{24}$ kg, die eines Sauerstoffatoms $2{,}66 \cdot 10^{-23}$ g.