Volumen eines geometrischen Körpers

Ein Aquarium hat die Form eines Quaders mit folgenden Maßen: $60\text{ cm}$ Länge, $30\text{ cm}$ Breite und $40\text{ cm}$ Höhe. Berechne, wie viele Liter Wasser in das Aquarium passen, wenn es vollständig gefüllt wird. (Denke daran, dass $1\text{ dm}^3 = 1\text{ Liter}$.)

Ein Paket mit einer Gaming-Tastatur hat die Form eines Quaders. Seine Maße sind $45\text{ cm}$ Länge, $15\text{ cm}$ Breite und $5\text{ cm}$ Höhe. Berechne das Volumen, das der Karton einnimmt, in Kubikzentimetern.

Eine zylindrische Getränkedose hat einen Durchmesser von $6\text{ cm}$ und eine Höhe von $12\text{ cm}$. Berechne ihr Volumen mit dem Wert $\pi \approx 3,14$.

Berechne das Volumen eines Prismas, dessen Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $6\text{ cm}$ und $8\text{ cm}$ ist, wenn die Höhe des Prismas $15\text{ cm}$ beträgt.

Eine dekorative Glaspyramide hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge $8\text{ cm}$ und eine Höhe von $10\text{ cm}$. Berechne das Volumen des Glases, das zur Herstellung nötig ist.

Eine Eiswaffel hat die Form eines Kegels. Der Radius der Grundfläche beträgt $3\text{ cm}$ und die Höhe $12\text{ cm}$. Berechne, wie viele Kubikzentimeter Eis hineinpassen (ohne dass oben etwas übersteht).

Eine Glaspyramide zur Dekoration hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge $12 \text{ cm}$. Wenn die Seitenkante (die Strecke, die die obere Spitze mit einer Ecke der Grundfläche verbindet) $10 \text{ cm}$ misst, berechne das Volumen des Glases, das das Stück enthält.

(Hinweis: Du musst den Satz des Pythagoras zweimal anwenden: zuerst, um die Diagonale der Grundfläche zu bestimmen, und dann, um die Höhe der Pyramide zu bestimmen.)

Es soll ein Eis in Form eines Kegels hergestellt werden, dessen Mantellinie $15 \text{ cm}$ misst und dessen Grundkreisradius $6 \text{ cm}$ beträgt. Berechne das Volumen des Eises, das in den Kegel passt. Wenn beim Servieren eine perfekte Eis-Halbkugel auf die Grundfläche gesetzt wird (mit demselben Radius), wie groß ist dann das Gesamtvolumen des Eises?

Der Sportlehrer bewahrt die Handbälle in einer Kiste auf. Wenn jeder Ball einen Radius von $9\text{ cm}$ hat, berechne das Volumen eines Balls und runde auf zwei Dezimalstellen. (Verwende $\pi \approx 3,14$.)

In der Sporthalle deines Stadtteils soll ein riesiger kugelförmiger Gymnastikball aufgeblasen werden, der einen Durchmesser von $60\text{ cm}$ hat. Bevor du mit Dezimalzahlen rechnest:

1. a) Schätze begründet eine obere Schranke für sein Fassungsvermögen ab: Wenn der Ball genau in einen Würfel mit der Kantenlänge $60\text{ cm}$ passt, wie viele Liter Luft würde dieser Würfel enthalten? Überlege mithilfe dieser Schranke, ob es möglich ist, dass der Ball mehr als $150\text{ L}$ fasst.
2. b) Berechne nun das genaue Volumen des Balls in Kubikdezimetern (Litern) mit $\pi \approx 3,14$.
3. c) Vergleiche das Ergebnis mit deiner Schätzung und prüfe, ob deine Vermutung richtig war. Begründe dabei den geometrischen Zusammenhang zwischen Kugel und Würfel.

Drei Metallkugeln mit dem Radius $3 \text{ cm}$ werden zu einer einzigen größeren Kugel eingeschmolzen. Angenommen, dabei geht kein Material verloren: Wie groß ist der Radius der neuen Kugel? Runde das Ergebnis auf Hundertstel.

Ein zylindrisches Glas mit $6 \text{ cm}$ Innendurchmesser enthält Wasser bis zu einer Höhe von $10 \text{ cm}$. Ein unregelmäßig geformter Stein wird hineingelegt, und der Wasserspiegel steigt auf $12,5 \text{ cm}$, ohne überzulaufen. In der Abbildung markiert die gestrichelte Linie den anfänglichen Wasserstand und die durchgezogene blaue Linie den endgültigen.

Wie groß ist das Volumen des Steins in Kubikzentimetern?

Berechne das Volumen eines zusammengesetzten Körpers aus einem Zylinder mit der Höhe $10 \text{ cm}$ und dem Radius $4 \text{ cm}$, auf dem oben eine quadratische Pyramide sitzt, deren Grundfläche dem Kreis des Zylinders einbeschrieben ist und deren Höhe $6 \text{ cm}$ beträgt.

(Hinweis: Die Seitenlänge des Quadrats der Pyramidengrundfläche stimmt mit der Seitenlänge eines Quadrats überein, das einem Kreis mit dem Radius $4 \text{ cm}$ einbeschrieben ist.)

Die Stadtverwaltung hat Betonkübel in Form eines regelmäßigen sechsseitigen Prismas aufgestellt. Wenn jede Seite des Sechsecks der Grundfläche $30 \text{ cm}$ misst und die Höhe des Kübels $60 \text{ cm}$ beträgt, berechne das Volumen der Erde (in Litern), das nötig ist, um ihn vollständig zu füllen.

(Hinweis: Du musst zuerst mit dem Satz des Pythagoras den Abstand der Seite vom Mittelpunkt der Grundfläche, das Apothem, bestimmen.)

Ein Getreidesilo hat eine zusammengesetzte Form: einen zylindrischen Mittelteil mit $12\text{ m}$ Höhe und $4\text{ m}$ Durchmesser, oben abgeschlossen durch eine Halbkugel und unten durch einen Entladekegel mit $3\text{ m}$ Höhe. Berechne das gesamte Fassungsvermögen des Silos in Kubikmetern. Wenn das Silo zu $85\%$ seines Fassungsvermögens gefüllt ist, wie viele Tonnen Weizen enthält es, wenn die Dichte des Weizens $750\text{ kg/m}^3$ beträgt?

Ein Wassertank hat die Form eines Kegelstumpfs. Der Radius der größeren Grundfläche beträgt $3 \text{ m}$, der Radius der kleineren Grundfläche $1,5 \text{ m}$ und die Höhe des Tanks $4 \text{ m}$. Berechne das Fassungsvermögen des Tanks in Kubikmetern.

(Tipp: Du kannst die Formel für das Volumen des Kegelstumpfs verwenden oder ihn als Differenz zweier Kegel auffassen.)

Ein Unternehmen für Stadtmobiliar hat einen Betonabfalleimer in Form eines regelmäßigen quadratischen Pyramidenstumpfs entworfen. Die äußeren Maße: Die obere Grundfläche hat die Seitenlänge $40\text{ cm}$, die untere Grundfläche die Seitenlänge $30\text{ cm}$ und die Gesamthöhe beträgt $80\text{ cm}$. Damit er funktional ist, ist das Innere mit derselben Form ausgehöhlt, wobei an den Seiten und am Boden eine gleichbleibende Wandstärke von $5\text{ cm}$ bleibt (die Oberseite ist offen). Berechne das Volumen des Betons, das für jeden Abfalleimer benötigt wird, in Kubikdezimetern ($dm^3$).