Aufgaben: Funktionen

Ein Taxiunternehmen in Bielefeld berechnet eine Grundgebühr von $4\,€$ und zusätzlich $2{,}50\,€$ für jeden gefahrenen Kilometer.

1. a) Gib eine Funktionsgleichung an, die die Kosten $K$ in Euro in Abhängigkeit von der Fahrstrecke $x$ in Kilometern beschreibt.

1. b) Berechne die Kosten für eine Fahrt über $12\,\mathrm{km}$.

1. c) Bestimme, wie viele Kilometer man für $40\,€$ höchstens fahren kann.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

1. a) Berechne die Funktionswerte für $x = 0; 1; 2; 3; 4$ und zeichne den Graphen von $f$ im Intervall $[0;\,4]$.

1. b) Berechne die Nullstellen von $f$.

1. c) Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel.

Familie Becker legt $1\,500\,€$ bei der Sparkasse an. Das Geld wird mit $2\,\%$ pro Jahr verzinst, die Zinsen werden mitverzinst.

1. a) Berechne das Guthaben nach $3$ Jahren.

1. b) Gib einen Funktionsterm $K(n)$ für das Guthaben nach $n$ Jahren an.

1. c) Bestimme durch Probieren, nach wie vielen Jahren das Guthaben erstmals mehr als $1\,800\,€$ beträgt.

Zwei Handytarife stehen zur Wahl. Tarif A kostet $12\,€$ Grundgebühr im Monat plus $0{,}06\,€$ je Minute. Tarif B kostet $5\,€$ Grundgebühr im Monat plus $0{,}10\,€$ je Minute.

1. a) Gib für beide Tarife die monatlichen Kosten in Abhängigkeit von der Anzahl $x$ der Minuten als Term an.

1. b) Bestimme, bei welcher Minutenzahl beide Tarife gleich teuer sind.

1. c) Mia telefoniert durchschnittlich $240$ Minuten im Monat. Entscheide begründet, welcher Tarif für sie günstiger ist.

Ein Ball wird auf dem Sportplatz in Hamm nach oben geworfen. Seine Höhe über dem Boden wird näherungsweise durch $h(t) = -5t^2 + 10t + 2$ beschrieben ($t$ in Sekunden, $h(t)$ in Metern).

1. a) Berechne die Höhe des Balles nach $0{,}5$ Sekunden.

1. b) Bestimme die maximale Höhe des Balles und den Zeitpunkt, zu dem sie erreicht wird.

1. c) Berechne, nach wie vielen Sekunden der Ball auf dem Boden aufschlägt.

Nach der Einnahme eines Medikaments befinden sich $200\,\mathrm{mg}$ des Wirkstoffs im Blut. Der Wirkstoffgehalt nimmt stündlich um $15\,\%$ ab.

1. a) Gib den Wachstumsfaktor an und stelle einen Funktionsterm $m(t)$ für die Menge in Milligramm nach $t$ Stunden auf.

1. b) Berechne die Wirkstoffmenge nach $4$ Stunden.

1. c) Bestimme, nach wie vielen vollen Stunden die Menge erstmals unter $50\,\mathrm{mg}$ liegt.

Für die Bevölkerungsentwicklung zweier Städte werden zwei Modelle verwendet. Stadt Harri hat heute $50\,000$ Einwohner und wächst jedes Jahr um $1\,500$ Einwohner. Stadt Betti hat heute $40\,000$ Einwohner und wächst jedes Jahr um $3\,\%$.

1. a) Gib für beide Städte einen Funktionsterm für die Einwohnerzahl nach $t$ Jahren an.

1. b) Berechne die Einwohnerzahlen beider Städte nach $10$ Jahren.

1. c) Bestimme, nach wie vielen Jahren Betti mehr Einwohner hat als Harri. Begründe, welche Stadt langfristig mehr Einwohner hat.

Ein Brückenbogen über der Ruhr hat näherungsweise die Form einer Parabel mit der Gleichung $f(x) = -0{,}02x^2 + 0{,}8x$ ($x$ und $f(x)$ in Metern, die Fahrbahn liegt auf der x-Achse).

1. a) Berechne die Spannweite des Bogens.

1. b) Bestimme die größte Höhe des Bogens.

1. c) Ein Schiff ist $6\,\mathrm{m}$ hoch. Bestimme die größte Breite, die das Schiff haben darf, wenn es mittig unter dem Bogen hindurchfahren soll.

In einem Teich im Sauerland breitet sich eine Algenart aus. Die bedeckte Fläche kann durch $f(t) = a \cdot q^t$ beschrieben werden ($t$ in Tagen, $f(t)$ in $\mathrm{m}^2$). Zu Beginn sind $20\,\mathrm{m}^2$ bedeckt, nach $3$ Tagen sind es $67{,}5\,\mathrm{m}^2$.

1. a) Bestimme die Werte von $a$ und $q$.

1. b) Gib die Wachstumsrate in Prozent an und berechne die bedeckte Fläche nach $7$ Tagen.

1. c) Der Teich hat eine Fläche von $800\,\mathrm{m}^2$. Bestimme, nach wie vielen Tagen er vollständig bedeckt wäre, wenn das Wachstum so weitergeht. Beurteile, ob das Modell langfristig realistisch ist.