Aufgaben: Linear und exponentiell vergleichen

Zwei Wertetabellen sind gegeben:

Tabelle A: $x = 0;1;2;3$ mit $y = 5; 8; 11; 14$

Tabelle B: $x = 0;1;2;3$ mit $y = 5; 10; 20; 40$

1. a) Entscheide jeweils, ob das Wachstum linear oder exponentiell ist, und begründe.
2. b) Gib für beide Tabellen eine Funktionsgleichung an.

Eine Bakterienkultur umfasst zu Beginn 200 Bakterien und verdoppelt sich jede Stunde.

1. a) Stelle die Funktionsgleichung $N(t)$ auf.
2. b) Berechne die Anzahl nach 3 Stunden.

Jonas spart 50 € und legt jeden Monat 20 € dazu.

1. a) Gib die Funktionsgleichung für sein Guthaben nach $x$ Monaten an.
2. b) Wie viel hat er nach 6 Monaten?

Harri und Betti haben je 100 € gespart. Harri legt jeden Monat 10 € dazu. Betti erhält jeden Monat 5 % Zinsen auf ihr Guthaben.

1. a) Stelle für beide eine Funktionsgleichung auf.
2. b) Berechne beide Guthaben nach 12 Monaten.
3. c) Vergleiche das Wachstum beider Modelle nach 5 und nach 10 Jahren. Wer hat dann mehr?

Für die Gleichung $1{,}5^x = 10$ soll mit einer Tabellenkalkulation eine Näherungslösung gefunden werden.

1. a) Berechne $1{,}5^x$ für $x = 4, 5, 6$ und gib das Intervall an, in dem die Lösung liegt.
2. b) Verfeinere auf eine Nachkommastelle und runde dein Ergebnis.
3. c) Beschreibe, wie du das Verfahren in einer Tabellenkalkulation umsetzt.

Ein Teich ist zu Beginn zu 2 % mit Algen bedeckt. Die Fläche verdreifacht sich jede Woche.

1. a) Stelle eine Funktionsgleichung für den Bedeckungsgrad in Prozent auf.
2. b) Nach wie vielen vollen Wochen ist der Teich erstmals zu mehr als 50 % bedeckt?
3. c) Warum ist das Modell langfristig unrealistisch?

Ein Unternehmen vergleicht zwei Prognosen für die Nutzerzahl einer App (in Tausend): Modell L: $L(t) = 20 + 5t$, Modell E: $E(t) = 10\cdot 1{,}25^t$ ($t$ in Monaten).

1. a) Bestimme mithilfe einer Wertetabelle näherungsweise den Zeitpunkt, zu dem beide Modelle gleich viele Nutzer prognostizieren.
2. b) Welches Modell prognostiziert langfristig mehr Nutzer? Begründe.
3. c) Beurteile, welches Modell für die ersten drei Monate besser passt, wenn die tatsächlichen Zahlen 10; 12,5; 15,6; 19,5 betragen.

Löse $2{,}4^x = 50$ näherungsweise auf zwei Nachkommastellen mit einem systematischen Intervallverfahren.

1. a) Gib ein Startintervall an.
2. b) Führe mindestens vier Verfeinerungsschritte in einer Tabelle durch.
3. c) Erkläre, warum die Lösung eindeutig ist.

Eine Messreihe zeigt die Anzahl der Bakterien (in Tausend) in einer Nährlösung: 0 h: 80; 1 h: 96; 2 h: 115; 3 h: 138.

1. a) Zeige, dass ein exponentielles Modell besser passt als ein lineares.
2. b) Bestimme die Funktionsgleichung des exponentiellen Modells.
3. c) Prognostiziere den Wert nach 6 Stunden und beurteile die Verlässlichkeit.