Aufgaben: Trigonometrische Verhältnisse im rechtwinkligen Dreieck

Betrachte das rechtwinklige Dreieck in der Abbildung.

1. a) Schreibe die Verhältnisse $\sin\ \alpha$, $\cos\ \alpha$ und $\tan\ \alpha$ des markierten Winkels als Bruch. b) Schreibe dieselben Verhältnisse für den anderen spitzen Winkel auf. Welchen Zusammenhang erkennst du zwischen den beiden?

Im rechtwinkligen Dreieck der Abbildung sind die Katheten $6$ cm und $8$ cm lang.

1. a) Berechne die Hypotenuse. b) Bestimme die drei trigonometrischen Verhältnisse des markierten Winkels $\beta$.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse $13$ cm lang und die dem Winkel $\alpha$ gegenüberliegende Kathete $5$ cm. a) Berechne die andere Kathete. b) Bestimme $\sin\ \alpha$, $\cos\ \alpha$ und $\tan\ \alpha$.

Die spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks messen $35^\circ$ und $55^\circ$. Es gilt $\sin\ 35^\circ \approx 0{,}574$. Bestimme ohne Taschenrechner, wie groß $\cos\ 55^\circ$ ist, und begründe das mithilfe der Definition der trigonometrischen Verhältnisse.

Im Dreieck der Abbildung ist die Hypotenuse $10$ cm lang und der Winkel $\alpha$ misst $30^\circ$.

Berechne die Länge der Kathete, die dem Winkel $\alpha$ gegenüberliegt. (Gegeben: $\sin\ 30^\circ = 0{,}5$.)

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Ankathete eines Winkels von $60^\circ$ $8$ m lang. Berechne die Hypotenuse. (Gegeben: $\cos\ 60^\circ = 0{,}5$.)

Die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind jeweils $4$ cm lang. a) Wie groß ist der Tangens jedes der spitzen Winkel? b) Wie groß sind diese Winkel? Begründe ohne Taschenrechner.

Beurteile, ob diese Aussagen über einen spitzen Winkel $\alpha$ wahr oder falsch sind: a) „Der Sinus von $\alpha$ kann größer als $1$ sein.“ b) „Der Tangens von $\alpha$ kann größer als $1$ sein.“ Begründe beide Antworten anhand der Definition der Verhältnisse im rechtwinkligen Dreieck und gib im bejahenden Fall ein Beispiel an.

In einer Mathestunde der Klasse 10 soll Lukas die trigonometrischen Verhältnisse des Neigungswinkels $\alpha$ einer Rampe berechnen, die $1{,}5\text{ m}$ hoch ist und am Boden eine horizontale Grundlinie von $4\text{ m}$ hat. Lukas schreibt in sein Heft:

„$\sin\ \alpha = \frac{1{,}5}{4} = 0{,}375$“.

1. a) Erkläre mit eigenen Worten, welchen begrifflichen Fehler Lukas bei der Zuordnung der Seiten des rechtwinkligen Dreiecks gemacht hat. Welches trigonometrische Verhältnis hat er tatsächlich statt des Sinus berechnet?
2. b) Begründe, ohne den Winkel mit dem Taschenrechner zu berechnen, warum der tatsächliche Wert von $\sin\ \alpha$ zwingend kleiner als $0{,}375$ sein muss. Nutze dazu das Größenverhältnis zwischen Hypotenuse und Ankathete.
3. c) Berechne die genaue Länge der Hypotenuse mit dem Satz des Pythagoras und bestimme den korrigierten Wert von $\sin\ \alpha$, auf drei Dezimalstellen gerundet.

Die spanische Barrierefreiheitsnorm für öffentliche Gebäude (Código Técnico de la Edificación, CTE) legt fest, dass kurze Rampen für Rollstuhlfahrer eine maximale Steigung von $10\,\%$ haben dürfen. Das bedeutet, dass der Tangens des Neigungswinkels den Wert $\tan\ \alpha \le 0{,}10$ nicht überschreiten darf.

Am Eingang einer städtischen Bibliothek soll eine Stufe von $18\text{ cm}$ Höhe ($0{,}18\text{ m}$) überwunden werden. Auf dem Gehweg stehen dafür $2\text{ Meter}$ in horizontaler Richtung zur Verfügung.

1. a) Gib die Gegen- und die Ankathete des rechtwinkligen Dreiecks an, das die Rampe modelliert, berechne den Tangens des Steigungswinkels $\alpha$ und entscheide, ob die Rampe die Norm des CTE erfüllt.
2. b) Ein Teammitglied schlägt vor, eine Standardrampe mit einem besonderen Neigungswinkel von $30^\circ$ einzubauen, weil er meint: „Bei einem Winkel von nur $30^\circ$ ist der Anstieg sehr sanft.“ Verwende die Tabelle der Verhältnisse für besondere Winkel (nimm $\sqrt{3} \approx 1{,}732$), um $\tan\ 30^\circ$ zu berechnen, und begründe, warum dieser Vorschlag die Barrierefreiheit gravierend verletzen würde.

Von einem spitzen Winkel $\alpha$ ist bekannt, dass $\sin\ \alpha = 0{,}6$. Berechne $\cos\ \alpha$ und $\tan\ \alpha$ mithilfe der Grundbeziehungen.

Gilt $\tan\ \alpha = 2$ und ist $\alpha$ spitz, berechne $\sin\ \alpha$ und $\cos\ \alpha$.

1. a) Betrachte Teil A der Abbildung, in dem ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge $2$ durch eine Höhe geteilt wurde, und bestimme die exakten Werte von $\sin 30^\circ$, $\cos 30^\circ$ und $\tan 30^\circ$.

1. b) Betrachte Teil B, in dem ein Quadrat mit der Seitenlänge $1$ durch eine Diagonale geteilt wurde, und bestimme die trigonometrischen Verhältnisse von $45^\circ$ ($\sin 45^\circ$, $\cos 45^\circ$ und $\tan 45^\circ$).

1. c) Vervollständige mit dem Obigen und den Beziehungen zwischen Komplementärwinkeln die folgende Tabelle mit den Verhältnissen von $30^\circ$, $45^\circ$ und $60^\circ$:

Es gilt $\cos\ \alpha = \frac{1}{3}$ und $\alpha$ ist spitz. Bestimme die exakten Werte von $\sin\ \alpha$ und $\tan\ \alpha$ und gib sie mit Wurzeln an.

Eine $5$ m lange Leiter lehnt an einer Wand und bildet mit dem Boden einen Winkel von $65^\circ$, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Welche Höhe erreicht die Leiter an der Wand? b) Wie weit steht ihr Fußende von der Wand entfernt?

Ein Drachen fliegt an einer gespannten Schnur von $40$ m Länge, die mit dem Boden einen Winkel von $50^\circ$ bildet, wie die Abbildung zeigt.

Wenn die Hände der Person, die den Drachen hält, $1{,}5$ m über dem Boden sind, in welcher Höhe fliegt der Drachen?

Eine Zugangsrampe überwindet einen Höhenunterschied von $0{,}8$ m bei einer horizontalen Strecke von $6$ m, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Welchen Winkel bildet die Rampe mit dem Boden? b) Wie groß ist ihre Steigung in Prozent? c) Die Barrierefreiheitsnorm empfiehlt, dass solche Rampen eine Steigung von $10\ \%$ nicht überschreiten. Erfüllt diese Rampe die Empfehlung?

Ein Schüler schreibt: „Da $\sin\ \alpha = 0{,}9$ gilt, ist $\cos\ \alpha = 1 - 0{,}9 = 0{,}1$.“ Erkläre, welche Beziehung er verwechselt hat, korrigiere den Fehler und berechne den richtigen Wert von $\cos\ \alpha$.

In einer Werkstatt für Industriedesign soll ein metallisches Stützteil in Form eines rechtwinkligen Dreiecks gefertigt werden. Die Seitenlängen sind nicht bekannt, aber die technischen Vorgaben verlangen, dass der Kosinus des spitzen Winkels $\alpha$ genau das Vierfache seines Sinus beträgt, also $\cos\ \alpha = 4 \cdot \sin\ \alpha$.

1. a) Bestimme ausgehend von der Definition $\tan\ \alpha = \frac{\sin\ \alpha}{\cos\ \alpha}$ den exakten Wert des Tangens von $\alpha$ als vollständig gekürzten Bruch.
2. b) Der Tangens ist der Quotient aus Gegenkathete und Ankathete. Bestimme damit, welche Kathete die kürzere ist. Wenn die kürzere Kathete im endgültigen Entwurf genau $6\text{ cm}$ lang sein soll, bestimme, wie lang die andere Kathete sein muss, und berechne die Länge der Hypotenuse (auf zwei Dezimalstellen gerundet).
3. c) Berechne mit den ermittelten Seitenlängen die Werte von $\sin\ \alpha$ und $\cos\ \alpha$ und überprüfe rechnerisch, dass die Grundbeziehung $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ erfüllt ist.

Im spanischen Fernstraßennetz warnt ein Gefahrenzeichen der DGT vor einem starken Gefälle von $10\,\%$, was technisch bedeutet, dass $\tan\ \alpha = 0{,}10$. Ein Fahrzeug legt auf diesem Abschnitt genau $1\,000\text{ Meter}$ zurück, gemessen auf der Fahrbahn (also entlang der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks).

1. a) SCHÄTZE: Schätze vor jeder trigonometrischen Rechnung, ob der senkrechte Höhenunterschied, den das Auto hinabfährt, eher bei $10\text{ m}$, bei $100\text{ m}$ oder bei $500\text{ m}$ liegt. Erkläre anschaulich, warum du die beiden anderen Möglichkeiten ausschließt, und stütze dich dabei darauf, was ein Gefälle von $10\,\%$ bedeutet.
2. b) ÜBERPRÜFE: Um den tatsächlichen senkrechten Höhenunterschied ($h$) zu berechnen, brauchst du die Gegenkathete aus der Hypotenuse, wofür du $\sin\ \alpha$ kennen musst. Für diesen Winkel beträgt der Kosinus ungefähr $\cos\ \alpha \approx 0{,}995$. Verwende die Beziehung $\tan\ \alpha = \frac{\sin\ \alpha}{\cos\ \alpha}$, um $\sin\ \alpha$ zu berechnen, und bestimme die genauen Höhenmeter, die das Auto hinabfährt.
3. c) Vergleiche dein Ergebnis mit den $100\text{ Meter}$, die eine schnelle Rechnung liefern würde, die $10\,\%$ direkt auf die zurückgelegte Strecke anwendet. Ist es vernünftig, dass man beim normalen Fahren die Strecke auf der Fahrbahn mit der horizontalen Strecke verwechselt? Begründe deine Antwort anhand des erhaltenen Fehlers.

1. a) Multipliziere $(\sin\ \alpha + \cos\ \alpha)^2$ aus und zeige mit der Grundbeziehung, dass $(\sin\ \alpha + \cos\ \alpha)^2 = 1 + 2 \cdot \sin\ \alpha \cdot \cos\ \alpha$. b) Gilt für einen bestimmten spitzen Winkel $\sin\ \alpha + \cos\ \alpha = 1{,}3$, berechne den Wert von $\sin\ \alpha \cdot \cos\ \alpha$, ohne den Winkel zu bestimmen.

Es gilt $\tan\ \alpha = \frac{3}{2}$. Berechne den Wert von $\frac{\sin\ \alpha + \cos\ \alpha}{\sin\ \alpha - \cos\ \alpha}$, ohne den Winkel zu berechnen. (Tipp: Teile Zähler und Nenner durch $\cos\ \alpha$.)

An einer Bergstraße steht ein Schild, das vor einer Steigung von $12\ \%$ warnt, wie in der Abbildung.

1. a) Erkläre, was diese $12\ \%$ in Bezug auf Höhenunterschied und horizontale Entfernung bedeuten. b) Welchen Winkel bildet die Straße mit der Horizontalen? c) Wenn ein Radfahrer auf dieser Straße $250$ m zurücklegt, gemessen auf der Fahrbahn, welchen Höhenunterschied hat er überwunden?

Ein Dreieck hat zwei Seiten von $8$ cm und $12$ cm Länge, die einen Winkel von $50^\circ$ einschließen. a) Berechne die Höhe auf die Seite der Länge $12$ cm mithilfe des Sinus von $50^\circ$. b) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. c) Verallgemeinere: Schreibe eine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn zwei Seiten $a$ und $b$ und der eingeschlossene Winkel $\gamma$ bekannt sind.

Ein $3{,}2$ m hoher Pfosten wirft einen $4{,}5$ m langen Schatten auf den Boden, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Unter welchem Höhenwinkel steht die Sonne in diesem Moment? b) Wie lang ist zur gleichen Zeit der Schatten eines $18$ m hohen Gebäudes?

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Ankathete des Winkels $\beta$ $8$ cm lang und es gilt $\cos\ \beta = 0{,}8$. a) Berechne die Hypotenuse. b) Berechne den Umfang des Dreiecks. c) Berechne seinen Flächeninhalt.

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den spitzen Winkeln $\alpha$ und $\beta$. a) Überprüfe am Dreieck mit den Katheten $5$ cm und $12$ cm, dass $\sin^2\ \alpha + \sin^2\ \beta = 1$ gilt. b) Zeige, dass diese Gleichung immer gilt, indem du verwendest, dass $\alpha + \beta = 90^\circ$ gilt, und die Beziehungen zwischen den Verhältnissen von Komplementärwinkeln nutzt.

Berechne ohne Taschenrechner mithilfe der Tabelle der besonderen Winkel: a) $\sin^2\ 30^\circ + \cos^2\ 60^\circ + \tan\ 45^\circ$. b) $\frac{\sin\ 60^\circ}{\cos\ 30^\circ} + \tan^2\ 30^\circ$.

Um die übrigen trigonometrischen Verhältnisse eines spitzen Winkels zu berechnen, wenn eines davon bekannt ist, gibt es zwei übliche Verfahren:

• Methode A (algebraisch): Die Grundformeln $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ und $\tan\ \alpha = \frac{\sin\ \alpha}{\cos\ \alpha}$ direkt anwenden.

• Methode B (geometrisch): Das bekannte Verhältnis als Quotient zweier Seiten in einem rechtwinkligen Hilfsdreieck deuten, die dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras bestimmen und daraus die übrigen Verhältnisse ableiten.

Es werden zwei Situationen betrachtet:

• Situation 1: Es ist bekannt, dass $\cos\ \alpha = 0{,}6$.

• Situation 2: Es ist bekannt, dass $\tan\ \beta = \frac{5}{12}$.

1. a) Löse Situation 1 mit Methode A, um $\sin\ \alpha$ und $\tan\ \alpha$ zu bestimmen.
2. b) Löse Situation 2 mit Methode B, um $\sin\ \beta$ und $\cos\ \beta$ zu bestimmen.
3. c) WÄHLE DIE METHODE: Versuche, Situation 2 mit Methode A anzugehen, und erkläre, welche algebraische Schwierigkeit beim Auflösen auftritt. Begründe, welche der beiden Methoden deutlich effizienter und sicherer ist, wenn die Ausgangsgröße der Tangens statt des Sinus oder Kosinus ist.

Nach den technischen Kriterien des IDAE (Instituto para la Diversificación y Ahorro de la Energía) in Spanien müssen Solarmodule auf Flachdächern so weit auseinander stehen, dass eine Reihe zum kritischsten Zeitpunkt des Jahres, mittags zur Wintersonnenwende, keinen Schatten auf die nächste wirft.

Auf einer Industriehalle in Toledo werden Reihen von Solarmodulen installiert, deren geneigtes Gestell (die Hypotenuse des Dreiecks, das sie bilden) $2\text{ Meter}$ lang ist. Jedes Modul wird mit einer festen Neigung von $30^\circ$ gegenüber dem Boden montiert.

1. a) Berechne mit den Werten der besonderen Winkel (ohne Taschenrechner) die exakte senkrechte Höhe, die die Oberkante des Moduls über dem Dach erreicht, und die horizontale Entfernung, die seine Grundlinie am Boden einnimmt.
2. b) Mittags zur Wintersonnenwende treffen die Sonnenstrahlen an diesem Standort unter einem Höhenwinkel von $30^\circ$ auf den waagerechten Boden. Der vom Modul nach hinten geworfene Schatten hat als Gegenkathete die im vorigen Teil berechnete senkrechte Höhe des Moduls. Berechne die Länge dieses Schattens auf dem Boden (nimm $\sqrt{3} \approx 1{,}73\text{ m}$).
3. c) Der Mindestabstand zwischen der Grundlinie einer Reihe und der Grundlinie der nächsten muss der Grundlinie des Moduls plus der Länge des geworfenen Schattens entsprechen. Das Dach hat für die Module eine Gesamttiefe von $15\text{ Meter}$ in Nord-Süd-Richtung. Begründe, wie viele vollständige Reihen höchstens angebracht werden können, ohne dass eine davon durch Schatten Verluste erleidet.