Aufgaben: Problemlösen mit Gleichungssystemen

Die Summe der Alter von Salma und ihrem Großvater beträgt $72$ Jahre. Vor $6$ Jahren war der Großvater fünfmal so alt wie Salma. Stelle ein Gleichungssystem auf und bestimme das heutige Alter der beiden.

Die Differenz zweier Zahlen beträgt $14$. Addiert man zur größeren Zahl das Doppelte der kleineren, erhält man $53$. Bestimme beide Zahlen, indem du ein Gleichungssystem aufstellst.

In einem Schreibwarengeschäft kosten $3$ Hefte und $2$ Kugelschreiber zusammen $12$ Euro, während $4$ Hefte und $1$ Kugelschreiber $13,50$ Euro kosten. Wie teuer sind ein Heft und ein Kugelschreiber?

Der Umfang eines Rechtecks beträgt $54 \text{ cm}$. Die Grundseite ist um $3 \text{ cm}$ größer als das Doppelte der Höhe. Bestimme die Seitenlängen des Rechtecks.

Auf einem Parkplatz stehen Motorräder und Autos. Insgesamt zählt man $35$ Fahrzeuge und $114$ Räder (Ersatzräder nicht mitgezählt). Berechne, wie viele Motorräder und wie viele Autos auf dem Parkplatz stehen.

Eine Spardose enthält $45$ Münzen mit einem Gesamtwert von $14,40$ Euro. Wenn alle Münzen entweder $20 \text{ Cent}$ oder $50 \text{ Cent}$ wert sind, bestimme, wie viele Münzen es von jeder Sorte gibt.

In einem Multiple-Choice-Test mit $30$ Fragen gibt es $5$ Punkte für jede richtige Antwort und $2$ Punkte Abzug für jede falsche oder nicht beantwortete Frage. Ein Schüler hat $94$ Punkte erreicht. Wie viele Fragen hat er richtig beantwortet?

Ein Händler möchte $50 \text{ kg}$ einer Kaffeemischung herstellen. Er verwendet einen Kaffee zu $6 \text{ €/kg}$ und einen weiteren zu $8 \text{ €/kg}$. Der Preis der Mischung soll genau $7,20 \text{ €/kg}$ betragen. Wie viele Kilogramm von jeder Kaffeesorte muss er verwenden?

An der Kasse des Prado-Museums in Madrid kostet der reguläre Einzeleintritt $15\text{ \euro}$ und der ermäßigte Tarif für Schüler und Studierende $7,50\text{ \euro}$. Eine Schulklasse der Oberstufe zusammen mit ihren Begleitpersonen besteht insgesamt aus $24$ Personen und hat für alle Eintrittskarten genau $210\text{ \euro}$ bezahlt.

1. a) Lege genau fest, was jede Variable ($x$ und $y$) darstellt, und gib ihre Einheiten an.
2. b) Stelle das lineare Gleichungssystem mit zwei Gleichungen auf, das die Situation beschreibt.
3. c) Löse das Gleichungssystem und berechne, wie viele Karten von jeder Sorte gekauft wurden.
4. d) Begründe, ohne ein neues Gleichungssystem zu lösen, warum es bei gleichen Einzelpreisen unmöglich gewesen wäre, dass die Gesamteinnahme für diese $24$ Personen $215\text{ \euro}$ beträgt.

Hugo versucht, folgende Aufgabe aus seinem Buch zu lösen: „Marta ist derzeit dreimal so alt wie ihr Bruder Lucas. In $4$ Jahren ist Marta nur noch doppelt so alt wie Lucas. Wie alt sind die beiden heute?“. Zur Lösung stellt Hugo folgendes Gleichungssystem auf, wobei er das heutige Alter von Marta mit $x$ und das von Lucas mit $y$ bezeichnet:

Wenn Hugo auf beiden Seiten der zweiten Gleichung $4$ subtrahiert, erhält er $x = 2y$, was im direkten Widerspruch zur ersten Gleichung ($x = 3y$) steht. Hugo behauptet daraufhin: „Die Aufgabe ist falsch formuliert und hat in der Realität keine sinnvolle Lösung.“

1. a) Finde den Denkfehler, den Hugo bei der Übersetzung der Bedingung „in $4$ Jahren“ in die Sprache der Algebra gemacht hat.
2. b) Erkläre mit eigenen Worten, warum sein Ansatz falsch ist, und schreibe die zweite Gleichung richtig auf.
3. c) Löse das korrigierte Gleichungssystem und überprüfe, dass die berechneten Alter beide Aussagen der ursprünglichen Aufgabe genau erfüllen.

Die Quersumme einer zweistelligen Zahl beträgt $12$. Vertauscht man die Reihenfolge ihrer Ziffern, erhält man eine neue Zahl, die um $18$ größer ist als die ursprüngliche Zahl. Um welche Zahl handelt es sich?

Ein Architekt entwirft einen rechteckigen Raum, dessen Flächeninhalt $108 \text{ m}^2$ betragen soll. Außerdem muss der Umfang des Raums, um das Budget für die Fußleisten einzuhalten, genau $42 \text{ m}$ betragen. Stelle ein Gleichungssystem auf und berechne die Maße des Raums.

Addiert man zu Zähler und Nenner eines Bruchs $2$, ist der entstehende Bruch gleichwertig mit $\frac{2}{3}$. Subtrahiert man dagegen von beiden $1$, ist der Bruch gleichwertig mit $\frac{1}{2}$. Bestimme den ursprünglichen Bruch.

Eine Anlegerin verteilt ein Kapital von $20\,000 \text{ €}$ auf zwei Investmentfonds. Der erste bringt eine jährliche Rendite von $4\%$, der zweite von $6\%$. Nach einem Jahr betragen die Gesamterträge beider Fonds $1\,050 \text{ €}$. Wie viel hat sie in jeden Fonds investiert?

In einem Obstladen kosten $1 \text{ kg}$ Äpfel, $2 \text{ kg}$ Birnen und $1 \text{ kg}$ Bananen zusammen $8,50 \text{ €}$. Außerdem kosten $2 \text{ kg}$ Äpfel und $1 \text{ kg}$ Birnen zusammen $6 \text{ €}$. Wenn der Preis für $1 \text{ kg}$ Bananen gleich dem Preis für $1 \text{ kg}$ Äpfel plus $1 \text{ kg}$ Birnen ist, wie hoch ist dann der Preis jeder Obstsorte?

In einem rechtwinkligen Dreieck misst die Hypotenuse $25 \text{ cm}$ und die Summe der Katheten beträgt $35 \text{ cm}$. Stelle ein nichtlineares Gleichungssystem auf, um die Länge jeder Kathete zu bestimmen.

Ein Becken kann über zwei Hähne, A und B, gefüllt werden. Sind beide gleichzeitig geöffnet, ist das Becken in $6$ Stunden voll. Der Hahn A braucht allein $5$ Stunden weniger als Hahn B, um das ganze Becken zu füllen. Stelle ein Gleichungssystem auf und bestimme, wie lange jeder Hahn allein zum Füllen brauchen würde.

In einer genossenschaftlichen Ölmühle in Jaén sollen $1\,000\text{ Liter}$ einer besonderen Cuvée (Mischung) aus nativem Olivenöl extra abgefüllt werden, die aus zwei einheimischen Sorten besteht: Picual (Gewinnungskosten $6,50\text{ \euro/l}$) und Arbequina (Kosten $8,50\text{ \euro/l}$). Die Genossenschaft benötigt, dass die durchschnittlichen Kosten pro Liter der Mischung genau $7,90\text{ \euro/l}$ betragen.

1. a) Schätze vor jeder algebraischen Rechnung begründet ab, welche Sorte mehr Liter zum Tank beisteuern muss (Picual oder Arbequina). Begründe deine Antwort allein anhand des Abstands zwischen den Einzelpreisen und dem gewünschten Endpreis.
2. b) Stelle ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen auf ($x$: Liter Picual, $y$: Liter Arbequina) und löse es mit einem Verfahren deiner Wahl.
3. c) Überprüfe, ob die erhaltenen Werte mit deiner Schätzung aus Teilaufgabe a) übereinstimmen, und deute das Ergebnis im Zusammenhang der Ölproduktion.

Die Fachschaft Sport einer Schule kauft bei einem offiziellen Händler Sportmaterial in zwei aufeinanderfolgenden Bestellungen:

• In der ersten Bestellung kaufen sie $3$ Basketbälle und $4$ Volleybälle zu einem Gesamtbetrag von $146\text{ \euro}$.

• In der zweiten Bestellung kaufen sie $5$ Basketbälle und $4$ Volleybälle zu einem Gesamtbetrag von $194\text{ \euro}$.

1. a) Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf, wobei $x$ der Preis eines Basketballs und $y$ der Preis eines Volleyballs ist.
2. b) Betrachte die drei gängigen algebraischen Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren). Begründe, welches davon bei diesem speziellen Gleichungssystem am meisten Rechenaufwand spart und das Fehlerrisiko minimiert.
3. c) Löse das Gleichungssystem mit dem in Teilaufgabe b) gewählten Verfahren und überprüfe das Ergebnis anhand der ursprünglichen Beträge beider Bestellungen.

Die Flächeninhalte dreier Seitenflächen eines Quaders, die an einer gemeinsamen Ecke zusammentreffen, betragen $24 \text{ cm}^2$, $32 \text{ cm}^2$ und $48 \text{ cm}^2$. Stelle ein Gleichungssystem mit den Kantenlängen auf und berechne das Volumen des Quaders.

Eine Zahl besteht aus drei Ziffern, deren Summe $18$ beträgt. Die Hunderterziffer ist gleich der Summe aus Zehner- und Einerziffer. Vertauscht man die Reihenfolge der Ziffern (Umkehrung), ist die entstehende Zahl um $396$ kleiner als die ursprüngliche Zahl. Bestimme, um welche Zahl es sich handelt.

Ein Goldschmied hat zwei Goldlegierungen. Die erste enthält $80\%$ Gold, die zweite $60\%$ Gold. Er möchte Teile von beiden einschmelzen, um $50 \text{ Gramm}$ einer neuen Legierung mit $75\%$ Gold zu erhalten. Wie viel Gramm von jeder Legierung muss er verwenden?

Der Flächeninhalt einer Raute beträgt $120 \text{ cm}^2$ und die Summe ihrer Diagonalen ist $34 \text{ cm}$. Stelle ein nichtlineares Gleichungssystem auf, um die Länge der Diagonalen zu bestimmen, und berechne anschließend den Umfang der Raute.

Drei Arbeiter, Alba, Bernat und Karl, sollen ein Gebäude streichen. Arbeiten Alba und Bernat zusammen, brauchen sie $12$ Tage. Arbeiten Bernat und Karl zusammen, brauchen sie $20$ Tage. Arbeiten Alba und Karl zusammen, brauchen sie $15$ Tage. Stelle ein Gleichungssystem auf, um herauszufinden, wie lange jeder allein arbeitend brauchen würde. (Tipp: Verwende als Variablen den Anteil der Arbeit, den jeder an einem Tag schafft).

Ein Landwirt möchte ein rechteckiges Grundstück einzäunen. Er hat $100 \text{ m}$ Zaun für den Umfang zur Verfügung. Eine der Seiten des Grundstücks soll mindestens $15 \text{ m}$ lang sein, und der Flächeninhalt des Grundstücks soll echt größer als $600 \text{ m}^2$ sein. Stelle ein Ungleichungssystem für die Länge von Grundseite und Höhe auf und bestimme, zwischen welchen Werten die Länge der längeren Seite liegen kann.

Ein Radfahrer fährt mit konstanter Geschwindigkeit von Stadt A nach Stadt B. Eine Stunde später fährt ein Motorradfahrer in A los, um ihn zu verfolgen, mit einer Geschwindigkeit, die um $15 \text{ km/h}$ höher ist als die des Radfahrers, und holt ihn genau bei der Ankunft in B ein. Wenn die Entfernung zwischen A und B $60 \text{ km}$ beträgt, stelle ein Gleichungssystem auf, um die Geschwindigkeiten beider und die Zeit zu bestimmen, die der Radfahrer für die Strecke gebraucht hat.

Ein kommunaler Mobilitätsbeauftragter einer deutschen Großstadt entwirft eine Kampagne zur Förderung des öffentlichen Nahverkehrs. Um das Budget einer durchschnittlichen Nutzerin bzw. eines durchschnittlichen Nutzers auszugleichen, legt er als ideale Lösung fest, dass eine Person pro Jahr genau $x = 12$ Einzelfahrscheine und $y = 4$ Monatskarten kauft.

1. a) Formuliere die vollständige Aufgabenstellung eines realistischen Problems aus dem Haushaltsbudget, in dem die Gesamtzahl der pro Jahr gekauften Fahrscheine (insgesamt $16$ Fahrscheine) und ein festgelegter jährlicher Gesamtbetrag kombiniert werden (Preis des Einzelfahrscheins $1,50\text{ \euro}$, Preis der Monatskarte $35\text{ \euro}$), sodass der Ansatz eindeutig zu dieser Lösung führt.
2. b) Schreibe das zu deiner Aufgabe gehörende Gleichungssystem auf und überprüfe rechnerisch, dass seine einzige Lösung tatsächlich $(12|4)$ ist.
3. c) Stell dir vor, du ersetzt die Bedingung zum Gesamtbetrag durch diese: „Das Dreifache der Einzelfahrscheine plus das Dreifache der Monatskarten ist gleich $48$.“ Begründe, warum es mit dieser neuen Bedingung unmöglich ist festzustellen, ob die Person $(12|4)$ oder eine andere Kombination gekauft hat, und erkläre, was mathematisch mit dem Gleichungssystem geschieht.

Zwei Fahrzeuge fahren gleichzeitig um $09:00\text{ h}$ los, um die Strecke zwischen Madrid und Zaragoza ($315\text{ km}$ entlang der Autobahn A-2) in entgegengesetzter Richtung zurückzulegen: Ein Pkw fährt von Madrid nach Zaragoza, ein Lieferwagen von Zaragoza nach Madrid. Aufgrund von Ladung und Fahrzeugtyp liegt die Durchschnittsgeschwindigkeit des Pkw um $15\text{ km/h}$ über der des Lieferwagens. Beide Fahrzeuge begegnen sich auf der Autobahn nach genau $1\text{ Stunde und } 30\text{ Minuten}$ ($1,5\text{ Stunden}$) ununterbrochener Fahrt.

1. a) Lege die Variablen fest und gib ihre Einheiten genau an.
2. b) Stelle mithilfe der physikalischen Beziehung $d = v \cdot t$ ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen auf, das den Geschwindigkeitsunterschied und die Summe der bis zum Zeitpunkt der Begegnung zurückgelegten Strecken modelliert.
3. c) Löse das Gleichungssystem, um die Durchschnittsgeschwindigkeit jedes Fahrzeugs zu bestimmen.
4. d) Deute das Ergebnis: Begründe, ob beide Fahrer die allgemeine gesetzliche Höchstgeschwindigkeit auf Autobahnen in Spanien ($120\text{ km/h}$) eingehalten haben, und berechne, in welcher Entfernung von Madrid die Begegnung stattfand.

Herausforderung zum Thema. Wie lassen sich Energieverbrauch und Platz in deinem Zuhause optimieren?

1. Reale Daten und Tarife: Recherchiere auf der Webseite der Bundesnetzagentur oder eines Strompreisvergleichs den durchschnittlichen Preis pro kWh heute und suche im Internet einen handelsüblichen Tarif mit monatlichem Grundpreis. Modelliere die monatlichen Kosten $y$ in Abhängigkeit von den verbrauchten kWh $x$ mithilfe zweier linearer Gleichungen mit zwei Variablen.

2. Lineare Lösung und GeoGebra: Stelle das entstehende lineare Gleichungssystem auf. Löse es algebraisch (mit dem Additions-, Gleichsetzungs- oder Einsetzungsverfahren) und zeichne es in GeoGebra, um die Verbrauchsschwelle zu bestimmen, bei der beide Optionen gleich teuer sind.

3. Solarfläche (nichtlineares Gleichungssystem): Miss mit einem Maßband den verfügbaren Rand eines Fensters oder Balkons bei dir zu Hause, um seinen tatsächlichen Umfang ($2x + 2y = p$) zu erhalten. Wenn das Solarpaneel eine Auffangfläche von $x \cdot y = 1,2$ $\text{m}^2$ benötigt, stelle das nichtlineare Gleichungssystem auf und löse es, um die möglichen Maße ($x$, $y$) zu bestimmen.

4. Abschlussbericht: Verfasse einen kurzen Bericht, der die Datentabelle, die GeoGebra-Screenshots, die Lösungen beider Gleichungssysteme und deine begründete Empfehlung zum Sparen zu Hause enthält.

Bewertet wird:

• Korrekter mathematischer Ansatz und korrekte Lösung des linearen und des nichtlinearen Gleichungssystems.

• Sorgfältiger Einsatz von GeoGebra für die Darstellung und grafische Deutung der Lösungen.

• Genauigkeit bei der Erhebung realer Daten (Messungen und Internet) und Klarheit der Schlussfolgerungen im Bericht.