Aufgaben: Unabhängige Ereignisse

Eine faire Münze und ein normaler Würfel (mit den Augenzahlen 1 bis 6) werden geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit der Münze „Zahl“ und mit dem Würfel eine „5“ zu erhalten?

Zwei Ereignisse $A$ und $B$ eines Zufallsexperiments erfüllen $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ und $P(A \cap B) = 0,2$. Sind die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig? Begründe deine Antwort mathematisch.

In einer Urne liegen 3 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen, ihre Farbe notiert, sie wird in die Urne zurückgelegt und es wird eine zweite Kugel gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel rot und die zweite blau ist.

Zwei Bogenschützen, Anna und Karl, schießen auf eine Zielscheibe. Die Wahrscheinlichkeit, dass Anna die Mitte trifft, beträgt $0,7$, die, dass Karl trifft, $0,6$. Wenn beide unabhängig voneinander schießen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide die Mitte der Zielscheibe treffen?

Bei einem europäischen Roulette gibt es 18 rote, 18 schwarze und 1 grünes Feld (die Null). Das Roulette wird zweimal nacheinander gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel in beiden Durchgängen auf einem schwarzen Feld landet?

Von zwei Ereignissen $A$ und $B$ ist bekannt, dass sie stochastisch unabhängig sind. Wenn die Wahrscheinlichkeit für $A$ gleich $P(A) = 0,3$ ist und die Wahrscheinlichkeit für $B$ gleich $P(B) = 0,8$, berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der beiden eintritt, also $P(A \cup B)$.

Ein Schüler beantwortet einen kurzen Test mit 3 Fragen völlig zufällig. Jede Frage hat 4 Antwortmöglichkeiten, von denen nur eine richtig ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er alle Fragen richtig beantwortet?

Aus einem spanischen Kartenspiel mit 40 Karten wird eine Karte gezogen, ihr Wert notiert, sie wird wieder in den Stapel gemischt und eine zweite Karte gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Ziehen einen „König“ und beim zweiten Ziehen eine Karte der Farbe „Kelche“ (Copas) zu ziehen.

In einer Klasse 10 führen Sarah und ihre Gruppe ein Experiment mit einer Urne durch, die 4 rote und 6 schwarze Kugeln enthält. Das Experiment besteht darin, eine Kugel zu ziehen, ihre Farbe zu notieren, sie in die Urne zurückzulegen (Ziehen mit Zurücklegen) und eine zweite Kugel zu ziehen.

Sarah behauptet: „Weil wir die Kugel zurücklegen, sind die beiden Züge unabhängige Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Zug Rot zu ziehen, ist $\frac{4}{10} = 0,4$, und beim zweiten Zug ebenfalls $0,4$. Also ist die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen, $0,4 + 0,4 = 0,8$, denn bei Unabhängigkeit muss man nur die Wahrscheinlichkeiten addieren.“

1. a) Finde und erkläre den Denkfehler von Sarah. Warum ergibt das Addieren von Wahrscheinlichkeiten hier logisch keinen Sinn (überlege, was bei 3 Zügen passieren würde)?
2. b) Korrigiere die Rechnung, indem du die richtige Regel für unabhängige Ereignisse anwendest, um die genaue Wahrscheinlichkeit für zwei aufeinanderfolgende rote Kugeln zu erhalten.

Nach veröffentlichten Pünktlichkeitsdaten zum Nahverkehrsnetz der Deutschen Bahn in Berlin beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zug am Morgen auf einer bestimmten Linie pünktlich am Ziel ankommt, $0,92$ ($92\,\%$). Es wird angenommen, dass technische Störungen und Verspätungen an verschiedenen Werktagen stochastisch unabhängige Ereignisse sind. Ein Schüler der Klasse 10 fährt am Montag und am Dienstag mit diesem Zug zur Schule.

1. a) Begründe, was es in diesem Alltagskontext bedeutet, dass die Pünktlichkeit am Montag und am Dienstag „unabhängige“ Ereignisse sind.
2. b) Modelliere die Situation mathematisch und berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Zug an beiden Tagen pünktlich ist.
3. c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Zug an mindestens einem der beiden Tage verspätet ankommt.

In einer Fabrik prüfen zwei Qualitätskontrollmaschinen die Produkte unabhängig voneinander. Maschine 1 erkennt einen Defekt mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,9$, Maschine 2 mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,85$. Wenn ein fehlerhaftes Produkt beide Maschinen durchläuft, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der beiden den Defekt erkennt?

In einer Bevölkerung beträgt die Wahrscheinlichkeit für die Erbanlage zu blauen Augen $0,25$ und die Wahrscheinlichkeit für die Erbanlage zu blondem Haar $0,15$. Angenommen, die Vererbung beider Merkmale ist unabhängig. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person genau eines der beiden Merkmale hat.

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von $80\%$ bei Freiwürfen. Wenn er 3 Freiwürfe unabhängig voneinander wirft, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau zwei davon trifft?

Das Computersystem eines Krankenhauses verfügt über 3 unabhängige Server, um Ausfälle zu vermeiden. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Server an einem beliebigen Tag ausfällt, beträgt $0,05$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das System einen ganzen Tag lang weiterläuft (also mindestens ein Server nicht ausfällt)?

Seien $A$ und $B$ zwei stochastisch unabhängige Ereignisse eines Zufallsexperiments. Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung ist $P(A \cup B) = 0,85$ und es gilt $P(A) = 0,6$. Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $B$, also $P(B)$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass es an einem Montag im Herbst regnet, beträgt $0,3$. Unabhängig davon beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Schulbus an diesem Tag zu spät kommt, $0,2$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es am nächsten Montag nicht regnet und der Bus zu spät kommt?

Ein Juweliergeschäft hat zwei voneinander unabhängige Alarmanlagen. Bei einem Einbruchsversuch löst die Hauptalarmanlage mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,95$ aus und die zweite Alarmanlage mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,90$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Einbruch nur eine der beiden Alarmanlagen auslöst?

Eine Schülerin schreibt zwei Sprachprüfungen: Englisch und Französisch. Die Wahrscheinlichkeit, Englisch zu bestehen, beträgt $0,7$. Die Wahrscheinlichkeit, beide Prüfungen zu bestehen, beträgt $0,56$. Angenommen, die Ergebnisse beider Prüfungen sind unabhängig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie die Französischprüfung nicht besteht?

In der theoretischen Führerscheinprüfung gibt es viele Multiple-Choice-Fragen mit 3 möglichen Antworten ($A$, $B$ und $C$), von denen nur eine richtig ist. Stell dir eine Person vor, die nicht gelernt hat und einen Block von 4 aufeinanderfolgenden Fragen völlig zufällig beantwortet. Die gewählte Antwort jeder Frage ist unabhängig von den anderen.

1. a) Schätze: Glaubst du, ohne ausführliche Rechnung mit dem Taschenrechner, dass die Wahrscheinlichkeit, alle 4 Fragen allein durch Zufall richtig zu beantworten, größer als $5\,\%$ ist, oder dass sie unter $2\,\%$ liegt? Schreibe deine erste Vermutung auf und erkläre kurz, worauf sie beruht.
2. b) Überprüfe: Wende die Produktregel für unabhängige Ereignisse an und berechne den genauen Wert der Wahrscheinlichkeit, alle 4 Fragen hintereinander richtig zu beantworten. Gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch, als Dezimalzahl und in Prozent, gerundet auf zwei Nachkommastellen, an.
3. c) Vergleiche den erhaltenen Wert mit deiner Schätzung und beurteile, ob es vernünftig ist, sich in einer Multiple-Choice-Prüfung auf den Zufall zu verlassen.

Aus den historischen Klimadaten des Deutschen Wetterdienstes (DWD) für den November in einer norddeutschen Stadt wie Kiel ergibt sich: Die Wahrscheinlichkeit, dass es an einem beliebigen Tag morgens regnet, beträgt $0,45$ ($45\,\%$). Um einen Wochenendausflug (Samstag und Sonntag) zu planen, modelliert eine Pfadfindergruppe das Wetter so, dass das Wetter am Samstag und am Sonntag unabhängige Ereignisse sind.

1. a) Modelliere die Situation und berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Pfadfindergruppe ihre Aktivitäten im Freien an keinem der beiden Tage im Regen durchführen muss.
2. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es an mindestens einem der beiden Wochenendtage regnet.
3. c) Überlege kritisch: Ist es in der realen Meteorologie realistisch anzunehmen, dass das Wetter am Sonntag mathematisch unabhängig vom Samstag ist, wenn am Samstag ein atlantisches Tiefdruckgebiet über die Nordseeküste zieht? Erkläre, wie sich das auf die Zuverlässigkeit des mathematischen Modells auswirkt.

Ein viermotoriges Frachtflugzeug hat 4 Triebwerke, die völlig unabhängig voneinander arbeiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Triebwerk während eines Transatlantikflugs ausfällt, beträgt $p = 0,01$. Das Flugzeug kann seinen Flug sicher beenden, wenn mindestens 2 seiner Triebwerke einwandfrei funktionieren. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Flugzeug aufgrund eines mehrfachen Triebwerksausfalls verunglückt?

Zwei Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines von ihnen eintritt, ist $P(A \cup B) = 0,76$, und die Wahrscheinlichkeit, dass beide gleichzeitig eintreten, ist $P(A \cap B) = 0,24$. Bestimme die genauen Werte von $P(A)$ und $P(B)$, wenn bekannt ist, dass das Ereignis $A$ wahrscheinlicher ist als das Ereignis $B$.

Beweise mathematisch: Wenn zwei Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind, dann sind auch ihre Gegenereignisse $\overline{A}$ und $\overline{B}$ stochastisch unabhängig. Verwende die grundlegenden Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit und die formale Definition der Unabhängigkeit.

Zwei Freunde, Simon und Diana, würfeln abwechselnd mit einem fairen Würfel. Wer zuerst eine „6“ würfelt, gewinnt das Spiel, und das Spiel endet. Wenn Simon zuerst würfelt, berechne die genaue Wahrscheinlichkeit, dass Simon das Spiel gewinnt. (Tipp: Betrachte die Spielrunden als unendliche geometrische Reihe.)

Seien $A$, $B$ und $C$ drei voneinander unabhängige Ereignisse in einem Laborexperiment. Ihre Erfolgswahrscheinlichkeiten sind $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ und $P(C) = 0,6$. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei der drei Ereignisse eintreten.

Ein olympischer Bogenschütze trifft bei jedem Schuss mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0,2$ genau die Mitte der Zielscheibe. Die Schüsse sind voneinander unabhängige Ereignisse. Wie viele Pfeile muss er mindestens schießen, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal die Mitte zu treffen, größer als $0,99$ ist?

Urne A enthält $x$ weiße und $4$ schwarze Kugeln. Urne B enthält $3$ weiße und $y$ schwarze Kugeln. Aus jeder Urne wird unabhängig eine Kugel gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind, ist $\frac{1}{8}$, und die Wahrscheinlichkeit, dass beide schwarz sind, ist $\frac{5}{12}$. Bestimme die Anzahl der weißen Kugeln in Urne A ($x$) und die Anzahl der schwarzen Kugeln in Urne B ($y$).

Ein elektronischer Schaltkreis besteht aus drei Bauteilen $A$, $B$ und $C$, die unabhängig voneinander arbeiten. Das Bauteil $A$ ist in Reihe mit einem Block aus $B$ und $C$ geschaltet, die parallel liegen. Die Wahrscheinlichkeiten, dass die einzelnen Bauteile ohne Ausfall funktionieren, sind $P(A) = 0,9$, $P(B) = 0,8$ und $P(C) = 0,7$. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der elektrische Strom von einem Ende des Schaltkreises zum anderen fließen kann.

Ein kleines Online-Handelsunternehmen in Düsseldorf speichert die Sicherungskopien seiner Bestellungen auf drei identischen, voneinander unabhängigen externen Festplatten. Durch Verschleiß und Dauerbetrieb beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Festplatte über Nacht ausfällt, $0,05$ (und $0,95$, dass sie einwandfrei funktioniert). Damit das Unternehmen am nächsten Tag ohne Datenverlust arbeiten kann, genügt es, wenn mindestens eine der drei Festplatten funktioniert.

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass die Daten gesichert bleiben, schlagen zwei Techniker verschiedene Wege vor:

• Lauras Methode (direkt): Die Wahrscheinlichkeiten, dass genau eine Festplatte funktioniert (3 mögliche Fälle), genau zwei Festplatten funktionieren (3 mögliche Fälle) und alle drei funktionieren (1 Fall), getrennt berechnen und addieren.

• Karls Methode (Gegenereignis): Die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass alle drei Festplatten gleichzeitig ausfallen, und diesen Wert von 1 subtrahieren.

1. a) Vergleiche beide Methoden und begründe, welche von beiden bei dieser Aufgabe besser geeignet ist und warum.
2. b) Wende die effizientere Methode an, um die genaue Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass das Unternehmen seine Sicherungskopien in dieser Nacht behält.
3. c) Wenn das Unternehmen wächst und statt 3 insgesamt 8 unabhängige Festplatten hat, welche der beiden Methoden bliebe ähnlich aufwendig und welche würde von Hand praktisch unbewältigbar? Begründe deine Antwort.

In einem Seniorenheim in Bayern verlangen die Sicherheitsvorschriften, in den Fluren der Zimmer eigenständige Rauchmelder zu installieren. Die Rauchmelder arbeiten batteriebetrieben und völlig unabhängig voneinander. Laut Herstellerangaben löst jeder einzelne Rauchmelder bei tatsächlichem Rauch mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,80$ korrekt aus (also mit einer Ausfallwahrscheinlichkeit von $0,20$).

Die Heimleitung fordert eine Gesamtsicherheit: Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der in einem Flur angebrachten Rauchmelder bei einem Brandbeginn Alarm gibt, muss mindestens $99\,\%$ betragen ($0,99$).

1. a) Wenn $n$ unabhängige Rauchmelder im Flur angebracht werden, schreibe den Term (in Abhängigkeit von $n$) auf, der die Wahrscheinlichkeit darstellt, dass keiner der Rauchmelder bei Rauch auslöst.
2. b) Stelle die zugehörige Ungleichung für die Sicherheitsbedingung auf: $P(\text{mindestens eines funktioniert}) \ge 0,99$.
3. c) Bestimme durch systematisches Ausprobieren für $n = 1, 2, 3, \dots$, wie viele unabhängige Rauchmelder in jedem Flur mindestens angebracht werden müssen, um die Sicherheitsanforderung zu erfüllen, und interpretiere das Ergebnis.