Aufgaben: Abhängige Ereignisse

In einer Kiste liegen $8$ LED-Lampen, von denen $3$ defekt sind. Es werden zwei Lampen zufällig nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide funktionieren.

Aus einem spanischen Kartenspiel mit $40$ Karten werden nacheinander zwei Karten gezogen, ohne sie in den Stapel zurückzulegen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die erste ein König und die zweite ein Ass ist.

In einer Klasse mit $30$ Schülern sind $18$ Mädchen. Es ist bekannt, dass $12$ Mädchen und $5$ Jungen Französisch lernen. Wenn zufällig ein Schüler dieser Klasse ausgewählt wird und es ein Mädchen ist, berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es Französisch lernt.

Seien $A$ und $B$ zwei Ereignisse eines Zufallsexperiments mit $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ und $P(A \cap B) = 0,25$. Überprüfe mathematisch, ob die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch abhängig oder unabhängig sind.

In einer Schublade liegen $5$ schwarze und $3$ blaue Socken, alle durcheinander. Wenn du im Dunkeln nacheinander zwei Socken herausziehst, berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide blau sind.

Das folgende Baumdiagramm zeigt die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Basketballspieler seinen ersten und zweiten Freiwurf trifft ($E$) oder verfehlt ($F$). Beachte die bedingten Wahrscheinlichkeiten und berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler den ersten Wurf verfehlt und den zweiten trifft.

In einem Tierheim gibt es Hunde und Katzen. Die Wahrscheinlichkeit, zufällig einen Hund auszuwählen, beträgt $0,6$. Wenn wir wissen, dass das ausgewählte Tier ein Hund ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass er ein Halsband trägt, $0,8$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zufällig ein Tier auszuwählen, das ein Hund ist und zusätzlich ein Halsband trägt?

Aus einer Urne mit $4$ roten und $6$ grünen Kugeln werden nacheinander drei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei gezogenen Kugeln rot sind.

Lea löst eine Klassenaufgabe: „Aus einem spanischen Kartenspiel mit $40$ Karten werden nacheinander zwei Karten ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kelche (Copas) sind?“ Lea schreibt in ihr Heft:

„Es gibt $10$ Kelche im Spiel, also ist die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Mal einen Kelch zu ziehen, $\frac{10}{40}$. Da sich das Ereignis beim zweiten Ziehen nicht ändert, ist die Wahrscheinlichkeit, wieder einen Kelch zu ziehen, erneut $\frac{10}{40}$. Also ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Kelche zu ziehen, $\frac{10}{40} \cdot \frac{10}{40} = \frac{100}{1600} = \frac{1}{16} = 0,0625$.“

1. a) Gib genau an, welchen gedanklichen Fehler Lea gemacht hat, als sie die beiden Ereignisse als unabhängig betrachtet hat.
2. b) Erkläre, wie sich das Nicht-Zurücklegen der ersten Karte sowohl auf die Anzahl der günstigen als auch auf die Anzahl der möglichen Fälle beim zweiten Ziehen auswirkt.
3. c) Führe die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit durch und gib sie als vollständig gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.

Bei einer Verkehrskontrolle in einem Kreis in Nordrhein-Westfalen halten die Beamten eine Gruppe von $15$ Lieferwagen für Warentransporte an. Nach Prüfung der Unterlagen im Zentralregister steht fest, dass genau $3$ davon mit abgelaufener Hauptuntersuchung (TÜV) unterwegs sind. Wenn die Beamten aus dieser Gruppe zufällig $2$ Lieferwagen nacheinander und ohne Wiederholung auswählen:

1. a) Modelliere die Situation, indem du die Ereignisse jeder Stufe angibst, und erkläre, warum die Wahrscheinlichkeit für den zweiten Lieferwagen von dem abhängt, was beim ersten passiert ist.
2. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide ausgewählten Lieferwagen eine gültige Hauptuntersuchung haben. Gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch und in Prozent, gerundet auf zwei Nachkommastellen, an.

Eine Lieferung von $50$ Mobiltelefonen enthält $4$ Geräte mit Fabrikationsfehlern. Ein Qualitätsprüfer wählt zufällig $3$ Telefone aus der Lieferung aus, eines nach dem anderen und ohne Zurücklegen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keines der ausgewählten Telefone defekt ist.

Bei einer Umfrage unter $200$ Personen zu ihrer Vorliebe zwischen Tee und Kaffee ergaben sich folgende Daten: $120$ bevorzugen Kaffee, davon sind $70$ Frauen. Wenn insgesamt $110$ Frauen an der Umfrage teilgenommen haben, berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person Tee bevorzugt, wenn bekannt ist, dass es ein Mann ist.

Wir haben zwei Urnen und einen fairen sechsseitigen Würfel. Wir werfen den Würfel: Fällt eine Zahl kleiner als $3$, ziehen wir eine Kugel aus Urne $A$; andernfalls ziehen wir eine Kugel aus Urne $B$. Betrachte die Zusammensetzung der Urnen im Bild und berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Kugel rot ist.

Ein Schüler hat einen Schlüsselbund mit $5$ sehr ähnlichen Schlüsseln, von denen nur einer die Haustür öffnet. Wenn er nachts ankommt und die Schlüssel zufällig ausprobiert und die nicht passenden aussortiert, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die Tür genau beim dritten Versuch öffnet?

Die Wahrscheinlichkeit, dass es in einer Stadt an einem bestimmten Tag regnet, hängt vom Wetter des Vortags ab. Wenn es heute regnet, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen regnet, $0,7$. Wenn es heute nicht regnet, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen regnet, $0,2$. Heute ist Montag und es regnet. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es am Mittwoch nicht regnet.

In einem Brettspiel enthält eine Truhe $6$ Goldmünzen und $4$ Silbermünzen. Ein Spieler zieht ohne hinzusehen zwei Münzen nacheinander ohne Zurücklegen. Berechne anhand des Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden gezogenen Münzen aus unterschiedlichem Material sind.

In einem Krankenhaus sind $40\%$ der Patienten wegen Atemwegserkrankungen aufgenommen. Von ihnen sind $15\%$ Raucher. Unter den Patienten, die aus anderen Gründen aufgenommen wurden, sind $20\%$ Raucher. Wenn ein Patient zufällig ausgewählt wird und Raucher ist, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er wegen einer Atemwegserkrankung aufgenommen wurde?

Aus einem spanischen Kartenspiel mit $40$ Karten ziehen wir zufällig zwei Karten ohne Zurücklegen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der gezogenen Karten ein Reiter (Caballo) ist.

Nach historischen Klimadaten des Deutschen Wetterdienstes (DWD) für den November in einer Stadt an der Nordseeküste zeigt das Wetter eine starke Beständigkeit: Wenn es an einem Tag regnet, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es am nächsten Tag regnet, $0,70$; wenn es an einem Tag nicht regnet, sinkt die Wahrscheinlichkeit, dass es am nächsten Tag regnet, auf $0,30$. Wir wissen sicher, dass es am Dienstag stark geregnet hat.

1. a) Schätze vor jeder Rechnung begründet ab, ob die Wahrscheinlichkeit, dass es am Donnerstag (zwei Tage nach dem Dienstag) regnet, größer oder kleiner als $50\,\%$ ($0,50$) sein wird.
2. b) Stelle die möglichen Pfade für Mittwoch und Donnerstag in einem Baumdiagramm dar, berechne die genaue Wahrscheinlichkeit, dass es am Donnerstag regnet, und überprüfe, ob deine anfängliche Schätzung richtig war. Erkläre den Grund für das erhaltene Ergebnis.

In einem Gesundheitszentrum einer Kreisstadt werden die Unterlagen von $1000$ Patienten ausgewertet, die während einer Wintersaison mit Fieber kamen. Von allen Patienten hatten $200$ tatsächlich das Grippevirus und $800$ litten an anderen häufigen Virusinfektionen. Der bei der Ersteinschätzung angewandte Schnelltest erkennt das Virus bei $90\,\%$ der Personen mit Grippe korrekt, liefert aber bei $10\,\%$ der Personen ohne Grippe ein falsch positives Ergebnis. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Patient ein positives Testergebnis hat.

Zur Lösung schlagen zwei Schüler verschiedene Methoden vor:

• Methode 1 (Baumdiagramm und totale Wahrscheinlichkeit): Jedem Ast Wahrscheinlichkeiten zuordnen ($P(\text{Grippe})$, $P(\text{Positiv}\mid\text{Grippe})$ usw.) und die Pfade, die zu einem positiven Test führen, addieren.

• Methode 2 (Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten): Eine Tafel $2\times 2$ mit der genauen Anzahl der Personen in jeder Kategorie ausfüllen und die Gesamtzahl der positiven Tests durch $1000$ teilen.

1. a) Wende beide Methoden an, um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen, und überprüfe, dass du genau denselben Wert erhältst.
2. b) Vergleiche beide Wege: Welchen hältst du für klarer und weniger fehleranfällig, wenn man ihn Personen erklärt, die keine Mathematikfachleute sind? Begründe deine Antwort, indem du Vor- und Nachteile beider abwägst.

Eine Urne enthält $x$ weiße und $5$ schwarze Kugeln. Werden zwei Kugeln zufällig und ohne Zurücklegen gezogen, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide weiß sind, $\frac{1}{6}$. Stelle die zugehörige Gleichung auf und bestimme die ursprüngliche Anzahl der weißen Kugeln in der Urne.

Ein Test zur Erkennung einer Krankheit erkennt Kranke mit einer Zuverlässigkeit von $95\%$ und fällt bei Gesunden mit einer Wahrscheinlichkeit von $90\%$ negativ aus. Es ist bekannt, dass $2\%$ der Bevölkerung an dieser Krankheit leiden. Eine Person unterzieht sich dem Test und das Ergebnis ist positiv. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sie tatsächlich krank ist.

Es gibt zwei Urnen mit der in der Abbildung gezeigten Zusammensetzung. Aus Urne $I$ wird zufällig eine Kugel gezogen und, ohne ihre Farbe anzusehen, in Urne $II$ gelegt. Anschließend wird eine Kugel aus Urne $II$ gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die aus Urne $II$ gezogene Kugel weiß ist.

Bei einem Schachturnier spielt ein Spieler gegen denselben Gegner eine Serie nach dem Modus „Best of three“ (wer zuerst zwei Partien gewinnt, gewinnt die Serie). Die Wahrscheinlichkeit, die erste Partie zu gewinnen, beträgt $0,5$. Gewinnt er eine Partie, steigt sein Selbstvertrauen und die Wahrscheinlichkeit, die nächste zu gewinnen, beträgt $0,6$. Verliert er, sinkt seine Gewinnwahrscheinlichkeit für die nächste Partie auf $0,4$. Nimm an, dass es keine Unentschieden gibt, und berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Spieler das Turnier gewinnt.

Es gibt drei von außen identische Kisten. Kiste $A$ enthält $2$ Goldmünzen, Kiste $B$ enthält $2$ Silbermünzen und Kiste $C$ enthält $1$ Goldmünze und $1$ Silbermünze. Es wird zufällig eine Kiste gewählt und aus ihr zufällig eine Münze gezogen, die sich als Goldmünze herausstellt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch die andere Münze, die in dieser Kiste verbleibt, eine Goldmünze ist?

Eine Alarmanlage besteht aus zwei Sensoren, $A$ und $B$. Unter normalen Bedingungen fällt Sensor $A$ in $5\%$ der Fälle aus und Sensor $B$ in $8\%$ der Fälle. Aufgrund gemeinsamer elektrischer Störungen steigt jedoch die Wahrscheinlichkeit, dass Sensor $B$ ausfällt, wenn Sensor $A$ ausgefallen ist, auf $30\%$. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Einbruch die gesamte Anlage versagt (das heißt, dass beide Sensoren ausfallen).

Aus einem spanischen Kartenspiel mit $40$ Karten werden nacheinander drei Karten ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, genau zwei Könige und einen Reiter (Caballo) zu ziehen, wobei sie in beliebiger Reihenfolge auftreten können.

In einem Technologieunternehmen sind $60\%$ der Beschäftigten Programmierer, $30\%$ Designer und $10\%$ Manager. $80\%$ der Programmierer, $40\%$ der Designer und $90\%$ der Manager sprechen fließend Englisch. Es wird zufällig ein Beschäftigter ausgewählt und es zeigt sich, dass er nicht fließend Englisch spricht. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Beschäftigte Designer ist.

In einer Konservenfabrik an den Rías Baixas (Galicien) verteilt sich das Abfüllen von Miesmuscheln auf zwei automatisierte Linien, $L_1$ und $L_2$. Linie $L_1$ übernimmt $60\,\%$ der Tagesproduktion und Linie $L_2$ die restlichen $40\,\%$. Qualitätsprüfungen zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Dose aus $L_1$ einen fehlerhaften Verschluss hat, $0,01$ beträgt ($1\,\%$). Die technische Leitung verlangt, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit, in der gesamten Tagesproduktion eine fehlerhafte Dose zu finden, $0,018$ nicht überschreitet ($1,8\,\%$).

1. a) Stelle eine Ungleichung auf Grundlage des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit auf, mit der sich die maximal zulässige Fehlerquote der Linie $L_2$ bestimmen lässt, damit der Qualitätsstandard der Fabrik eingehalten wird.
2. b) Nimm an, dass die Linie $L_2$ genau an dieser maximal zulässigen Grenze arbeitet. Ein Prüfer entnimmt der Endproduktion zufällig eine Dose und stellt fest, dass sie fehlerhaft ist. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sie von Linie $L_2$ stammt, und deute, welche Linie mehr fehlerhafte Dosen zur Endcharge beiträgt.

Nach Schätzungen der DGT zur Verkehrssicherheit in Feiernächten in Städten hat etwa $4\,\%$ der fahrenden Autofahrer Alkohol über dem gesetzlichen Grenzwert konsumiert. Die Ortspolizei verwendet bei Kontrollen ein tragbares Vortestgerät: Überschreitet ein Fahrer den Grenzwert, schlägt das Gerät in $95\,\%$ der Fälle an; überschreitet er ihn nicht, liefert das Gerät bei $5\,\%$ der Tests ein falsch positives Ergebnis.

1. a) Modelliere die Situation mit einem Baumdiagramm mit allen zugehörigen Wahrscheinlichkeiten und berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Fahrer bei dieser Kontrolle im tragbaren Test positiv ausfällt.
2. b) Fällt der Vortest bei einem zufällig ausgewählten Fahrer positiv aus, berechne die tatsächliche Wahrscheinlichkeit, dass er den gesetzlichen Alkoholgrenzwert wirklich überschreitet.
3. c) Begründe angesichts des Prozentsatzes aus Teilaufgabe b) mathematisch, warum die spanische Regelung verbietet, allein aufgrund dieses Tests zu sanktionieren, und zwingend eine zweite Messung mit einem zugelassenen Beweissicherungs-Alkoholmessgerät nach $10$ Minuten Wartezeit verlangt.

Projektaufgabe zum Thema. Wagen wir es, ein Open-Air-Festival zu organisieren? Du bewertest das Wetterrisiko an deinem Wohnort und triffst Entscheidungen auf der Grundlage echter Daten.

1. Datenerhebung und Ereignisse: Rufe auf der Webseite des Deutschen Wetterdienstes (DWD) die Aufzeichnungen der letzten $30$ Tage für deinen Ort ab. Trage in einer Tabellenkalkulation die Regentage ($A$) und die Tage mit starken Windböen ($B$) ein. Lege die Ergebnismenge fest und bestimme die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses mithilfe der Laplace-Regel (zum Beispiel $P(A) = 6/30 = 0,20$).

2. Unabhängigkeit und Abhängigkeit: Untersuche, ob die Ereignisse „Es regnet an zwei aufeinanderfolgenden Tagen“ stochastisch unabhängig oder abhängig sind. Berechne in deiner Tabelle die empirische bedingte Wahrscheinlichkeit, dass es an einem Tag regnet, wenn es am Vortag geregnet hat, $P(L_2 | L_1)$, und vergleiche sie mit $P(L_2)$, um zu entscheiden, ob das vorherige Wetter einen Einfluss hat.

3. Entscheidungsbericht: Verfasse einen einseitigen Bericht mit einer Vergleichstabelle, in der du die Wahrscheinlichkeit berechnest, dass es an einem ganzen Wochenende regnet, einmal unter der Annahme unabhängiger und einmal unter der Annahme abhängiger Ereignisse. Ergänze einen begründeten Vorschlag, ob die Veranstalter ein Festzelt mieten oder eine Ausfallversicherung abschließen sollten.

Bewertet werden:

• genaue Bestimmung der Ereignisse und korrekte Berechnung der Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Laplace-Regel.

• begründete mathematische Unterscheidung zwischen abhängigen und unabhängigen Ereignissen anhand der Daten.

• Aufbereitung der Daten in der Tabellenkalkulation und Klarheit der Argumentation im abschließenden Vorschlag.