Aufgaben: Wissenschaftliche Schreibweise

Schreibe die folgenden ganzen Zahlen und endlichen Dezimalzahlen in wissenschaftlicher Schreibweise:

1. a) $450\,000\,000$
2. b) $32\,500$
3. c) $8\,400\,000\,000\,000$

Schreibe die folgenden kleinen Dezimalzahlen in wissenschaftlicher Schreibweise:

1. a) $0,0000045$
2. b) $0,00000000128$
3. c) $0,003$

Schreibe die folgenden in wissenschaftlicher Schreibweise gegebenen Zahlen mit allen Ziffern aus:

1. a) $3,14 \cdot 10^6$
2. b) $8,05 \cdot 10^9$
3. c) $1,002 \cdot 10^4$

Schreibe die folgenden in wissenschaftlicher Schreibweise gegebenen Zahlen als Dezimalzahlen:

1. a) $5,2 \cdot 10^{-5}$
2. b) $1,07 \cdot 10^{-8}$
3. c) $9,9 \cdot 10^{-3}$

Führe die folgenden Multiplikationen aus und gib das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an:

1. a) $(3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^5)$
2. b) $(4 \cdot 10^{-3}) \cdot (2 \cdot 10^8)$

Führe die folgenden Divisionen aus und gib das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an:

1. a) $(8 \cdot 10^7) : (2 \cdot 10^3)$
2. b) $(9 \cdot 10^{-4}) : (3 \cdot 10^{-6})$

Berechne die folgenden Summen und Differenzen mit gleichem Exponenten und gib das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an:

1. a) $4,2 \cdot 10^5 + 3,5 \cdot 10^5$
2. b) $8,7 \cdot 10^{-4} - 5,1 \cdot 10^{-4}$

Führe die folgenden Rechnungen aus, indem du zuerst die Exponenten angleichst, und gib das Endergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an:

1. a) $3,5 \cdot 10^6 + 4,2 \cdot 10^5$
2. b) $9,1 \cdot 10^{-3} - 2,5 \cdot 10^{-4}$

Markus soll die Gesamtmasse zweier in die Umlaufbahn gebrachter Telekommunikationssatelliten berechnen. Satellit A hat eine Masse von $4,5 \cdot 10^3\text{ kg}$ und Satellit B eine Masse von $8 \cdot 10^2\text{ kg}$. In seiner Klassenarbeit schreibt er folgenden Rechenweg auf:

1. a) Finde die beiden Denkfehler, die Markus beim Rechnen mit Potenzen und wissenschaftlicher Schreibweise gemacht hat, und erkläre sie.
2. b) Begründe, warum es physikalisch keinen Sinn ergibt, dass die Gesamtmasse zweier Satelliten (einer mit $4500\text{ kg}$ und einer mit $800\text{ kg}$) mehr als eine Million Kilogramm ergibt.
3. c) Führe die Addition Schritt für Schritt richtig aus und gib das Endergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an.

Nach Daten des Nationalen Statistikinstituts (INE) leben in Spanien etwa $4,8 \cdot 10^7$ Menschen. Der durchschnittliche tägliche Wasserverbrauch in spanischen Haushalten wird auf etwa $130\text{ Liter}$ pro Einwohner geschätzt.

1. a) Gib den täglichen Wasserverbrauch pro Person in Kubikmetern in wissenschaftlicher Schreibweise an (denke daran, dass $1\text{ m}^3 = 1000\text{ Liter}$).
2. b) Modelliere den gesamten Wasserverbrauch aller Haushalte Spaniens über ein ganzes Jahr ($365\text{ Tage}$). Gib das Ergebnis in Kubikmetern in wissenschaftlicher Schreibweise an.
3. c) Das Fassungsvermögen des Stausees La Serena (Badajoz), des größten Spaniens, beträgt etwa $3,2 \cdot 10^9\text{ m}^3$. Wenn er zu $100\,\%$ gefüllt wäre, würde das ausreichen, um den jährlichen Haushaltsverbrauch des ganzen Landes zu decken? Begründe deine Antwort, indem du die Größenordnungen und die Koeffizienten vergleichst.

Die mittlere Entfernung der Erde von der Sonne beträgt etwa $149\,600\,000$ km und die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum etwa $300\,000$ km/s. Schreibe beide Größen in wissenschaftlicher Schreibweise und berechne, wie viele Sekunden das Sonnenlicht bis zur Erde braucht.

Ein rotes Blutkörperchen hat eine Größe von etwa $7,5 \cdot 10^{-6}$ m, ein Grippevirus dagegen von etwa $1,2 \cdot 10^{-7}$ m. Wie viele hintereinander aufgereihte Grippeviren bräuchte man, um den Durchmesser eines roten Blutkörperchens zu erreichen?

Ein Speichermedium eines Datenservers hat eine Kapazität von $4$ Terabyte ($4 \cdot 10^{12}$ Byte). Wenn ein Textdokument im Durchschnitt $2,5 \cdot 10^4$ Byte belegt, wie viele Dokumente lassen sich auf dem Server speichern? Gib das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an.

Führe die folgende gemischte Rechnung aus und gib das Endergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an, wobei du den Koeffizienten bei Bedarf anpasst:

$\frac{(4,5 \cdot 10^{-5}) \cdot (6 \cdot 10^{12})}{3 \cdot 10^4}$

Ordne die folgenden Zahlen der Größe nach, beginnend mit der kleinsten, indem du sie zuvor in der normierten wissenschaftlichen Schreibweise darstellst (mit genau einer von null verschiedenen Ziffer vor dem Komma):

$A = 0,0034 \cdot 10^8$

$B = 450 \cdot 10^3$

$C = 3,2 \cdot 10^5$

$D = 0,05 \cdot 10^7$

Die Masse eines Sauerstoffatoms beträgt etwa $2,66 \cdot 10^{-23}$ g. Ein Wassertropfen enthält etwa $1,67 \cdot 10^{21}$ Sauerstoffatome. Berechne die gesamte Sauerstoffmasse im Tropfen und gib das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an.

Im Jahr 2023 betrug das Bruttoinlandsprodukt (BIP) eines Landes $1,45 \cdot 10^{12}$ Euro und seine Bevölkerung $4,7 \cdot 10^7$ Einwohner. Berechne das BIP pro Kopf (Euro pro Einwohner) und gib das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise mit zwei Nachkommastellen an.

Berechne die folgende Potenz mithilfe der passenden Potenzgesetze und gib das Endergebnis exakt in wissenschaftlicher Schreibweise an:

$(5 \cdot 10^{-4})^3$

Um zu berechnen, wievielmal schneller die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ($c \approx 3 \cdot 10^8\text{ m/s}$) als die Schallgeschwindigkeit in Luft ($v \approx 3,4 \cdot 10^2\text{ m/s}$) ist, diskutieren zwei Schüler der Klasse 10 über den besten Weg:

• Carlas Strategie: Zuerst beide Zahlen in gewöhnliche Dezimalschreibweise umwandeln ($300\,000\,000$ und $340$) und dann die Division von Hand oder mit dem Taschenrechner ausführen.

• Davids Strategie: In wissenschaftlicher Schreibweise bleiben, die Mantissen direkt dividieren ($3 : 3,4$) und die Zehnerpotenzen subtrahieren ($10^{8-2}$), wobei die Mantisse am Ende angepasst wird.

1. a) Erkläre die Vorteile von Davids Strategie gegenüber Carlas, wenn du die Rechnung mit Stift und Papier ohne Fehler beim Abzählen der Nullen ausführen müsstest.
2. b) Wenn du das Verhältnis der Masse eines Protons ($1,67 \cdot 10^{-27}\text{ kg}$) zu der eines Elektrons ($9,11 \cdot 10^{-31}\text{ kg}$) berechnen müsstest, wäre Carlas Strategie dann noch praktikabel? Begründe, warum die wissenschaftliche Schreibweise in den angewandten Naturwissenschaften das Standardverfahren ist.
3. c) Wende Davids Strategie an, um zu berechnen, wievielmal schneller der Schall als eine Schildkröte ist, die mit $1,7 \cdot 10^{-1}\text{ m/s}$ läuft. Gib das Endergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise und in gewöhnlicher Dezimalschreibweise an.

Laut der staatlichen Wetteragentur (AEMET) beträgt die Fläche des spanischen Festlands etwa $4,9 \cdot 10^5\text{ km}^2$. Beim Durchzug eines großen Herbststurms wurde im gesamten Festlandsgebiet ein mittlerer Niederschlag von $20\text{ mm}$ Regen gemessen (denke daran, dass $1\text{ mm} = 1\text{ Liter/m}^2$ und dass $1\text{ Liter} = 10^{-3}\text{ m}^3$).

1. a) Schätze vor dem Rechnen: Wenn du weißt, dass $1\text{ km}^2 = 10^6\text{ m}^2$, schätze im Kopf schnell die Größenordnung (die Zehnerpotenz) des gesamten gefallenen Wasservolumens in Kubikmetern ($10^9$, $10^{10}$, $10^{11}\dots$) und notiere deine begründete Vorhersage.
2. b) Berechne: Wandle die Fläche des Festlands in Quadratmeter in wissenschaftlicher Schreibweise um und berechne das gesamte Niederschlagsvolumen in Kubikmetern exakt. Gib das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an.
3. c) Überprüfe: Vergleiche das exakte Ergebnis mit deiner ursprünglichen Schätzung. Der Wasserverbrauch für alle Nutzungen in Spanien (Landwirtschaft, Industrie und Haushalte) liegt bei etwa $3 \cdot 10^{10}\text{ m}^3$ pro Jahr. Beurteile, ob es plausibel ist, dass ein einziger ergiebiger Sturm eine Menge in der Größenordnung von $30\,\%$ des gesamten Jahresverbrauchs des Landes liefert.

Das Gravitationsgesetz besagt, dass die Anziehungskraft zwischen zwei Massen $m_1$ und $m_2$ im Abstand $d$ gleich $F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{d^2}$ ist, wobei $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Berechne die Anziehungskraft zwischen der Erde ($m_1 = 5,97 \cdot 10^{24}$ kg) und dem Mond ($m_2 = 7,35 \cdot 10^{22}$ kg), wenn der mittlere Abstand zwischen ihren Mittelpunkten $3,84 \cdot 10^8$ m beträgt. Gib das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise mit drei gültigen Ziffern an.

Führe die folgende gemischte Rechnung aus, achte dabei auf die Rangfolge der Rechenoperationen und passe vor dem Addieren die Exponenten geeignet an. Gib das Endergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an:

$\frac{3,2 \cdot 10^8 + 4,5 \cdot 10^7}{(2 \cdot 10^{-3})^2}$

Das geschätzte Alter des Universums beträgt etwa $13\,800$ Millionen Jahre. Ein Jahr hat ungefähr $3,15 \cdot 10^7$ Sekunden. Berechne das Alter des Universums in Sekunden in wissenschaftlicher Schreibweise. Wenn die mittlere Lebensdauer eines instabilen subatomaren Teilchens $2,5 \cdot 10^{-20}$ Sekunden beträgt, wie viele Lebensdauern dieses Teilchens passen nacheinander in das Alter des Universums?

Ein Laserstrahl sendet Lichtpulse mit einer Gesamtenergie von $3,5 \cdot 10^{-3}$ Joule pro Puls aus. Wenn die Energie eines einzelnen Photons dieses Lichts $3,14 \cdot 10^{-19}$ Joule beträgt, wie viele Photonen enthält jeder Puls? Wenn der Laser $50$ Pulse pro Sekunde aussendet, wie viele Photonen sendet er in einer Stunde Dauerbetrieb aus? Gib beide Ergebnisse in wissenschaftlicher Schreibweise an.

Bei der Messung der Entfernung zwischen zwei weit entfernten Galaxien erhält man einen Wert von $24\,560\,000\,000\,000\,000\,000$ km. Schreibe diese Größe in wissenschaftlicher Schreibweise und runde auf drei gültige Ziffern (also zwei Nachkommastellen). Berechne anschließend den absoluten und den relativen Fehler, der durch diese Näherung entsteht.

Bestimme den Wert des Exponenten $x$ (ganzzahlig) und des Koeffizienten $y$ (mit $1 \le y < 10$), sodass die folgende Gleichung erfüllt ist:

$(y \cdot 10^x)^3 = 1,25 \cdot 10^{17}$

Eine Kugel mit dem Radius $R = 2 \cdot 10^{-2}$ m soll mit einer Goldschicht von der Dicke eines einzigen Atoms überzogen werden. Der Radius eines Goldatoms beträgt etwa $1,44 \cdot 10^{-10}$ m. Nimm an, dass jedes Atom auf der Oberfläche eine Fläche einnimmt, die einem Quadrat mit der Seitenlänge seines Durchmessers entspricht, und schätze, wie viele Goldatome man braucht, um die Kugel vollständig zu überziehen. (Denke daran, dass der Flächeninhalt der Kugeloberfläche $A = 4\pi R^2$ ist.)

Gegeben sei eine Zahl in wissenschaftlicher Schreibweise $N = a \cdot 10^n$, wobei $1 \le a < 10$ gilt und $n$ eine ungerade ganze Zahl ist. Beim Berechnen der Quadratwurzel von $N$ erhält man den Ausdruck $\sqrt{a \cdot 10^n}$. Beschreibe das mathematische Vorgehen, damit das Endergebnis korrekt in wissenschaftlicher Schreibweise $b \cdot 10^m$ dasteht, und gib die Werte von $b$ und $m$ in Abhängigkeit von $a$ und $n$ an. Wende deine Überlegung an, um den exakten Wert von $\sqrt{4,9 \cdot 10^{15}}$ in wissenschaftlicher Schreibweise zu berechnen.

In einem digitalen Sicherheitssystem werden zwei in wissenschaftlicher Schreibweise dargestellte Zahlenschlüssel $X = a \cdot 10^p$ und $Y = b \cdot 10^q$ erzeugt, wobei $1 \le a, b < 10$ und $p, q$ ganze Zahlen sind. Um den Zugang zum System wiederherzustellen, sind folgende Bedingungen bekannt:

1. Die Mantissen $a$ und $b$ sind ganze Zahlen größer als 1.

2. Das Produkt der beiden Schlüssel ist genau $X \cdot Y = 1,4 \cdot 10^7$.

3. Der Quotient $\frac{Y}{X}$ hat in wissenschaftlicher Schreibweise die Größenordnung $10^{13}$ (das heißt, sein Exponent ist $13$).

4. Der Exponent $p$ ist negativ und der Exponent $q$ ist positiv.

1. a) Begründe, warum das Produkt der Mantissen $a \cdot b$ zwingend gleich $14$ sein muss, und leite her, welche Werte die ganzen Zahlen $a$ und $b$ haben müssen.
2. b) Stelle ausgehend von der Größenordnung des Quotienten und des Produkts ein Gleichungssystem mit den Exponenten $p$ und $q$ auf, löse es und gib die Zahlen $X$ und $Y$ eindeutig an.
3. c) Überprüfe, dass deine Lösung alle Bedingungen der Aufgabe erfüllt, indem du sowohl das Produkt $X \cdot Y$ als auch die Division $\frac{Y}{X}$ explizit ausführst.

Red Eléctrica de España (REE) verzeichnet einen jährlichen Strombedarf auf dem Festland von etwa $2,4 \cdot 10^{11}\text{ kWh}$. Im Rahmen der Pläne für die ökologische Wende soll $15\,\%$ dieses nationalen Bedarfs ausschließlich durch Solaranlagen auf den Dächern von Einfamilienhäusern gedeckt werden. Dazu liegen folgende technische Daten vor:

• Jede Hausanlage erzeugt im Durchschnitt $5 \cdot 10^3\text{ kWh}$ pro Jahr.

• Jede Anlage benötigt eine Modulfläche von $25\text{ m}^2$.

• Jede mit Solarenergie erzeugte Kilowattstunde ($1\text{ kWh}$) spart gegenüber der Erzeugung in Wärmekraftwerken den Ausstoß von $2,6 \cdot 10^{-1}\text{ kg}$ $\text{CO}_2$ ein.

1. a) Modelliere die Energiemenge in $\text{kWh}$, die diesen $15\,\%$ des Bedarfs entspricht, und berechne, wie viele Häuser mit Solaranlagen insgesamt nötig wären (gib beide Ergebnisse in wissenschaftlicher Schreibweise an).
2. b) Berechne, wie viele Tonnen $\text{CO}_2$ mit diesem Plan jedes Jahr nicht in die Atmosphäre gelangen würden ($1\text{ Tonne} = 10^3\text{ kg}$).
3. c) Berechne die gesamte benötigte Fläche der Solarmodule in Quadratkilometern ($1\text{ km}^2 = 10^6\text{ m}^2$). Das Stadtgebiet von Madrid hat eine Fläche von etwa $6 \cdot 10^2\text{ km}^2$. Vergleiche beide Flächen und überlege begründet, ob dieser Ausbau machbar ist, wenn er auf die Dächer der Millionen Gebäude des Landes verteilt wird.