Aufgaben: Volumen eines geometrischen Körpers

Ein Paket mit einer Gaming-Tastatur hat die Form eines Quaders. Seine Maße sind $45\text{ cm}$ Länge, $15\text{ cm}$ Breite und $5\text{ cm}$ Höhe. Berechne das Volumen, das der Karton einnimmt, in Kubikzentimetern.

Eine zylindrische Getränkedose hat einen Durchmesser von $6\text{ cm}$ und eine Höhe von $12\text{ cm}$. Berechne ihr Volumen mit dem Wert $\pi \approx 3,14$.

Eine dekorative Glaspyramide hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge $8\text{ cm}$ und eine Höhe von $10\text{ cm}$. Berechne das Volumen des Glases, das zur Herstellung nötig ist.

Der Sportlehrer bewahrt die Handbälle in einer Kiste auf. Wenn jeder Ball einen Radius von $9\text{ cm}$ hat, berechne das Volumen eines Balls und runde auf zwei Dezimalstellen. (Verwende $\pi \approx 3,14$.)

Eine Eiswaffel hat die Form eines Kegels. Der Radius der Grundfläche beträgt $3\text{ cm}$ und die Höhe $12\text{ cm}$. Berechne, wie viele Kubikzentimeter Eis hineinpassen (ohne dass oben etwas übersteht).

Berechne das Volumen eines Prismas, dessen Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $6\text{ cm}$ und $8\text{ cm}$ ist, wenn die Höhe des Prismas $15\text{ cm}$ beträgt.

Ein Aquarium hat die Form eines Quaders mit folgenden Maßen: $60\text{ cm}$ Länge, $30\text{ cm}$ Breite und $40\text{ cm}$ Höhe. Berechne, wie viele Liter Wasser in das Aquarium passen, wenn es vollständig gefüllt wird. (Denke daran, dass $1\text{ dm}^3 = 1\text{ Liter}$.)

Ein Käse hat die Form eines Zylinders mit einem Radius von $10\text{ cm}$ und einer Höhe von $8\text{ cm}$. Wenn man den Käse senkrecht genau in der Mitte durchschneidet, wie groß ist dann das Volumen jedes der beiden entstehenden Teile? (Verwende $\pi \approx 3,14$.)

Marcos möchte das Fassungsvermögen einer zylinderförmigen Thermosflasche in Litern berechnen, die er für Wasser mit in die Schule nimmt. Mit einem Lineal misst er außen $8\text{ cm}$ Durchmesser und $20\text{ cm}$ Höhe. In sein Heft schreibt er:

$V = \pi \cdot 8^2 \cdot 20 \approx 3,14 \cdot 64 \cdot 20 = 4\,019,2\text{ cm}^3 \approx 40,2\text{ L}$

und folgert, dass in die Thermosflasche etwas mehr als $40\text{ Liter}$ Wasser passen. Finde die beiden Fehler, die Marcos gemacht hat (einen geometrischen und einen bei der Umrechnung von Einheiten), erkläre klar, warum sie falsch sind, und berechne das tatsächliche ungefähre Fassungsvermögen der Thermosflasche in Litern, gerundet auf zwei Nachkommastellen.

In der Sporthalle deines Stadtteils soll ein riesiger kugelförmiger Gymnastikball aufgeblasen werden, der einen Durchmesser von $60\text{ cm}$ hat. Bevor du mit Dezimalzahlen rechnest:

1. a) Schätze begründet eine obere Schranke für sein Fassungsvermögen ab: Wenn der Ball genau in einen Würfel mit der Kantenlänge $60\text{ cm}$ passt, wie viele Liter Luft würde dieser Würfel enthalten? Überlege mithilfe dieser Schranke, ob es möglich ist, dass der Ball mehr als $150\text{ L}$ fasst.
2. b) Berechne nun das genaue Volumen des Balls in Kubikdezimetern (Litern) mit $\pi \approx 3,14$.
3. c) Vergleiche das Ergebnis mit deiner Schätzung und prüfe, ob deine Vermutung richtig war. Begründe dabei den geometrischen Zusammenhang zwischen Kugel und Würfel.

Die Stadtverwaltung hat Betonkübel in Form eines regelmäßigen sechsseitigen Prismas aufgestellt. Wenn jede Seite des Sechsecks der Grundfläche $30 \text{ cm}$ misst und die Höhe des Kübels $60 \text{ cm}$ beträgt, berechne das Volumen der Erde (in Litern), das nötig ist, um ihn vollständig zu füllen.

(Hinweis: Du musst zuerst mit dem Satz des Pythagoras den Abstand der Seite vom Mittelpunkt der Grundfläche, das Apothem, bestimmen.)

Eine Kaffee-Thermoskanne hat die Form eines Zylinders. Der Radius der Grundfläche beträgt $4 \text{ cm}$ und die Gesamthöhe $25 \text{ cm}$. Wenn die Kanne zu $80 \%$ ihres Fassungsvermögens gefüllt ist, wie viele Becher zu $150 \text{ ml}$ lassen sich vollständig füllen?

(Nimm $\pi \approx 3,14$ und denke daran, dass $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ Liter}$.)

Eine Glaspyramide zur Dekoration hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge $12 \text{ cm}$. Wenn die Seitenkante (die Strecke, die die obere Spitze mit einer Ecke der Grundfläche verbindet) $10 \text{ cm}$ misst, berechne das Volumen des Glases, das das Stück enthält.

(Hinweis: Du musst den Satz des Pythagoras zweimal anwenden: zuerst, um die Diagonale der Grundfläche zu bestimmen, und dann, um die Höhe der Pyramide zu bestimmen.)

Es soll ein Eis in Form eines Kegels hergestellt werden, dessen Mantellinie $15 \text{ cm}$ misst und dessen Grundkreisradius $6 \text{ cm}$ beträgt. Berechne das Volumen des Eises, das in den Kegel passt. Wenn beim Servieren eine perfekte Eis-Halbkugel auf die Grundfläche gesetzt wird (mit demselben Radius), wie groß ist dann das Gesamtvolumen des Eises?

Ein Wassertank hat die Form eines Kegelstumpfs. Der Radius der größeren Grundfläche beträgt $3 \text{ m}$, der Radius der kleineren Grundfläche $1,5 \text{ m}$ und die Höhe des Tanks $4 \text{ m}$. Berechne das Fassungsvermögen des Tanks in Kubikmetern.

(Tipp: Du kannst die Formel für das Volumen des Kegelstumpfs verwenden oder ihn als Differenz zweier Kegel auffassen.)

Drei Metallkugeln mit dem Radius $3 \text{ cm}$ werden zu einer einzigen größeren Kugel eingeschmolzen. Angenommen, dabei geht kein Material verloren: Wie groß ist der Radius der neuen Kugel? Runde das Ergebnis auf Hundertstel.

Ein zylindrisches Glas mit $6 \text{ cm}$ Innendurchmesser enthält Wasser bis zu einer Höhe von $10 \text{ cm}$. Ein unregelmäßig geformter Stein wird hineingelegt, und der Wasserspiegel steigt auf $12,5 \text{ cm}$, ohne überzulaufen. In der Abbildung markiert die gestrichelte Linie den anfänglichen Wasserstand und die durchgezogene blaue Linie den endgültigen.

Wie groß ist das Volumen des Steins in Kubikzentimetern?

Berechne das Volumen eines zusammengesetzten Körpers aus einem Zylinder mit der Höhe $10 \text{ cm}$ und dem Radius $4 \text{ cm}$, auf dem oben eine quadratische Pyramide sitzt, deren Grundfläche dem Kreis des Zylinders einbeschrieben ist und deren Höhe $6 \text{ cm}$ beträgt.

(Hinweis: Die Seitenlänge des Quadrats der Pyramidengrundfläche stimmt mit der Seitenlänge eines Quadrats überein, das einem Kreis mit dem Radius $4 \text{ cm}$ einbeschrieben ist.)

Ein Kosmetikunternehmen aus Düsseldorf möchte ein neues Parfüm in einem Flakon in Form einer geraden quadratischen Pyramide auf den Markt bringen. Das Designteam legt fest, dass der Flakon genau $100\text{ mL}$ Eau de Cologne enthalten soll (bis zur Spitze gefüllt) und dass die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche $5\text{ cm}$ betragen soll, damit er bequem in einer Hand zu halten ist.

1. a) Gib das benötigte Volumen in Kubikzentimetern an.
2. b) Stelle aus der Volumenformel der Pyramide eine Gleichung auf und berechne die Innenhöhe, die der Flakon haben muss.
3. c) Um Kosten zu sparen, beschließen sie, die Höhe beizubehalten, die du berechnet hast, aber den pyramidenförmigen Flakon durch ein zylindrisches Gefäß zu ersetzen, dessen Grundfläche einen Radius hat, der der Hälfte der Seitenlänge des ursprünglichen Quadrats entspricht ($r = 2,5\text{ cm}$). Hat es ein größeres oder kleineres Fassungsvermögen als der pyramidenförmige Flakon? Begründe deine Antwort, indem du die Formeln vergleichst, ohne das Volumen des Zylinders numerisch zu berechnen.

Der Deutsche Wetterdienst (DWD) hat an einer Station in der Börde bei einem Herbstgewitter einen Niederschlag von $45\text{ mm}$ (entspricht $45\text{ L/m}^2$) gemessen. Ein Landwirt hat auf seinem Grundstück einen rechteckigen, oben offenen Behälter zum Auffangen von Regenwasser mit $4\text{ m}$ Länge, $2,5\text{ m}$ Breite und $1,2\text{ m}$ Tiefe, anfangs leer. Direkt daneben steht ein selbstgebauter zylindrischer Regenmesser mit $10\text{ cm}$ Innendurchmesser und $30\text{ cm}$ Höhe, ebenfalls offen und leer.

1. a) Berechne, wie viele Liter Wasser während des Gewitters direkt in den rechteckigen Behälter gefallen sind.
2. b) Welche Höhe in Zentimetern hat das im rechteckigen Behälter gesammelte Wasser erreicht? Und welche Höhe hat es im zylindrischen Regenmesser erreicht? Begründe deine Antwort anhand der Definition von „Millimeter Regen“.
3. c) Wie viel Prozent des gesamten Fassungsvermögens des rechteckigen Behälters sind durch dieses Gewitter gefüllt worden?

Ein Unternehmen für Stadtmobiliar hat einen Betonabfalleimer in Form eines regelmäßigen quadratischen Pyramidenstumpfs entworfen. Die äußeren Maße: Die obere Grundfläche hat die Seitenlänge $40\text{ cm}$, die untere Grundfläche die Seitenlänge $30\text{ cm}$ und die Gesamthöhe beträgt $80\text{ cm}$. Damit er funktional ist, ist das Innere mit derselben Form ausgehöhlt, wobei an den Seiten und am Boden eine gleichbleibende Wandstärke von $5\text{ cm}$ bleibt (die Oberseite ist offen). Berechne das Volumen des Betons, das für jeden Abfalleimer benötigt wird, in Kubikdezimetern ($dm^3$).

Ein Bildhauer möchte ein Werkstück aus Edelstahl herstellen: einen Würfel mit der Kantenlänge $20\text{ cm}$, aus dem an den Ecken acht Tetraeder herausgeschnitten wurden. Jedes Tetraeder entsteht, indem man die Würfelecke mit den Mittelpunkten der drei in dieser Ecke zusammenlaufenden Kanten verbindet (ein halbes Abstumpfen). Bestimme das Endvolumen der Skulptur. Wie viel Prozent des Volumens des ursprünglichen Würfels wurden entfernt?

Gegeben ist eine Sanduhr aus zwei identischen Kegeln, die an ihren Spitzen verbunden sind, in einem schützenden Glaszylinder. Die Kegel haben einen Grundkreisradius von $6\text{ cm}$ und eine Höhe von $10\text{ cm}$. Wenn der obere Behälter bis zur halben Höhe mit Sand gefüllt ist, berechne das Sandvolumen in $cm^3$. Wenn der Sand mit einer konstanten Rate von $5\text{ cm}^3$ pro Minute in den unteren Behälter rieselt, wie lange dauert es, bis der obere Teil leer ist? (Denke daran, die Ähnlichkeit von Kegeln anzuwenden, um den Radius der Sandoberfläche zu bestimmen.)

Eine Bleikugel mit dem Radius $10\text{ cm}$ wird eingeschmolzen, um kleine Zylinder mit $2\text{ cm}$ Durchmesser und $3\text{ cm}$ Höhe herzustellen. Angenommen, beim Schmelzen gehen $5\%$ des Materials verloren: Wie viele vollständige Zylinder können hergestellt werden? Wenn jeder Zylinder eine Masse von $107\text{ g}$ hat, wie groß ist die Dichte des verwendeten Bleis in $g/cm^3$?

Ein Getreidesilo hat eine zusammengesetzte Form: einen zylindrischen Mittelteil mit $12\text{ m}$ Höhe und $4\text{ m}$ Durchmesser, oben abgeschlossen durch eine Halbkugel und unten durch einen Entladekegel mit $3\text{ m}$ Höhe. Berechne das gesamte Fassungsvermögen des Silos in Kubikmetern. Wenn das Silo zu $85\%$ seines Fassungsvermögens gefüllt ist, wie viele Tonnen Weizen enthält es, wenn die Dichte des Weizens $750\text{ kg/m}^3$ beträgt?

Das Prinzip von Cavalieri besagt: Wenn zwei Körper dieselbe Höhe haben und die Flächeninhalte ihrer Schnitte in jeder Höhe gleich sind, dann haben sie dasselbe Volumen. Nutze diese Idee, um das Volumen einer Kugel mit dem Radius $R$ mit dem Volumen zu vergleichen, das zwischen einem Zylinder mit Radius $R$ und Höhe $2R$ und einem ihm einbeschriebenen Doppelkegel liegt. Zeige mathematisch, dass das Volumen der Kugel tatsächlich $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ beträgt, indem du zunächst das Volumen des Zylinders berechnest und davon das der beiden Kegel abziehst.

Ein Parfümflakon hat die Form eines regelmäßigen Oktaeders mit der Kantenlänge $6\text{ cm}$. Das Glas hat jedoch an allen Flächen eine Dicke von $2\text{ mm}$. Der Hersteller behauptet, dass der Flakon $80\text{ ml}$ Duftstoff fassen kann ($1\text{ ml} = 1\text{ cm}^3$). Führe die nötigen Berechnungen durch, um zu überprüfen, ob die Behauptung stimmt. (Gegeben: Das Volumen eines Oktaeders mit der Kantenlänge $a$ ist $V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3$. Du musst überlegen, wie sich die Glasdicke auf die Kantenlänge des inneren Hohlraums auswirkt.)

Ein Metallstück in Form einer regelmäßigen sechsseitigen Pyramide soll in ein zylindrisches Gefäß mit dem Radius $15\text{ cm}$ getaucht werden, das Wasser enthält. Die Pyramide hat eine Grundkante von $10\text{ cm}$ und eine Seitenkante von $20\text{ cm}$. Wie viele Millimeter steigt der Wasserspiegel im Gefäß, wenn das Stück vollständig eingetaucht wird? (Denke daran, dass du zuerst die Höhe der Pyramide mit dem Satz des Pythagoras zweimal berechnen musst.)

Für den Umbau eines Fußgängerplatzes in Essen sind massive Blumenkübel aus Beton geplant. Jedes Stück ist außen ein gerades Prisma mit quadratischer Grundfläche der Seitenlänge $80\text{ cm}$ und der Höhe $60\text{ cm}$. In die Oberseite wird eine halbkugelförmige Mulde mit dem Radius $30\text{ cm}$ ausgespart, in die die Pflanzerde kommt. Zwei Bauleiter schlagen unterschiedliche Methoden vor, um das gesamte Betonvolumen für 10 Kübel zu bestellen:

• Methode A: Das Volumen des massiven Prismas berechnen, das Volumen der entfernten Halbkugel berechnen, beide Volumina für einen Kübel subtrahieren und das Ergebnis mit 10 multiplizieren.

• Methode B: Die Halbkugel durch einen Zylinder mit dem Radius $30\text{ cm}$ und der Tiefe $30\text{ cm}$ annähern und den Beton in vier seitliche quaderförmige Prismen um die Mulde plus ein quadratisches Prisma unten als Auflage zerlegen.

1. a) Untersuche die mathematische Eignung beider Methoden. Welche der beiden Methoden ist exakt und welche führt beim Betonvolumen zu einem Näherungsfehler? Begründe, warum die verworfene Methode nicht exakt ist.
2. b) Berechne nach der geeigneten Methode das gesamte Betonvolumen, das für die Herstellung der 10 Kübel nötig ist (in $\text{m}^3$, auf zwei Dezimalstellen gerundet).
3. c) Die Dichte des verwendeten Betons beträgt $2\,400\text{ kg/m}^3$. Bestimme, ob ein Lkw mit einer maximalen Nutzlast von $7\,500\text{ kg}$ die 10 Kübel in einer einzigen Fahrt transportieren kann oder ob er die zulässige Grenze überschreitet. Begründe mit Rechnungen.

In einem Naturwissenschaftslabor einer Schule soll experimentell das Körpervolumen eines Schülers bestimmt werden, um seine Körperzusammensetzung abzuschätzen, und zwar nach dem Prinzip der Wasserverdrängung. Dazu wird ein zylindrischer Behälter mit $1\text{ m}$ Innendurchmesser verwendet, der teilweise mit Wasser gefüllt ist.

1. a) Wenn der Schüler vollständig ins Wasser taucht (Kopf unter Wasser, Atemluft ausgeatmet), steigt der Wasserspiegel im Behälter genau um $8,5\text{ cm}$. Modelliere die Situation mathematisch und berechne das Volumen des Schülerkörpers in Kubikdezimetern (Litern), mit $\pi \approx 3,14$.
2. b) Wenn die Masse des Schülers $68\text{ kg}$ beträgt, berechne seine mittlere Gesamtdichte in $\text{kg/L}$. Berücksichtige, dass Muskel- und Knochengewebe eine mittlere Dichte von etwa $1,1\text{ kg/L}$ und Fettgewebe von $0,9\text{ kg/L}$ haben. Begründe, ob der erhaltene Wert physiologisch plausibel ist, und erkläre, ob dieser Schüler mit leerer Lunge in Süßwasser eher schwimmen oder untergehen würde (Dichte des Wassers: $1\text{ kg/L}$).
3. c) Stelle die Umkehraufgabe auf und löse sie: Wenn in denselben zylindrischen Behälter eine Hantelscheibe aus massivem Eisen mit einem Volumen von $4,5\text{ dm}^3$ gelegt wird, um wie viele Millimeter steigt der Wasserspiegel? Runde auf eine Dezimalstelle.