Aufgaben: Oberflächeninhalt von Polyedern

Ein junger Designer entwickelt einen Prototyp eines smarten Lautsprechers in Würfelform. Wenn die Kante des Würfels $9\text{ cm}$ misst, berechne die gesamte Kunststofffläche, die nötig ist, um alle seine Flächen zu verkleiden.

Ein Schuhkarton hat die Form eines Quaders mit folgenden Maßen: $30\text{ cm}$ lang, $18\text{ cm}$ breit und $12\text{ cm}$ hoch. Berechne den gesamten Flächeninhalt der Pappe, die für die Herstellung des Kartons verwendet wird (ohne Klebelaschen).

Überprüfe, ob der Eulersche Polyedersatz ($E + F = K + 2$) für ein Prisma mit fünfeckiger Grundfläche gilt, wie in der Abbildung (die gestrichelten Kanten sind die verdeckten). Gib deutlich die Anzahl der Flächen ($F$), Ecken ($E$) und Kanten ($K$) an, die du gezählt hast.

Berechne den Mantelflächeninhalt einer regelmäßigen quadratischen Pyramide, wenn die Seite der Grundfläche $10\text{ cm}$ misst und die Höhe der Seitenflächen der Pyramide $15\text{ cm}$ beträgt.

Ein Etui für ein Musikinstrument hat die Form eines geraden dreiseitigen Prismas. Die Grundfläche ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge $8\text{ cm}$ und die Höhe des Prismas beträgt $40\text{ cm}$. Wenn der Flächeninhalt der dreieckigen Grundfläche ungefähr $27,7\text{ cm}^2$ beträgt, berechne den gesamten Oberflächeninhalt des Etuis.

Bestimme anhand des Netzes in der Abbildung, um welchen Polyeder es sich handelt, und berechne seinen Oberflächeninhalt, wenn jedes Quadrat die Seitenlänge $5\text{ cm}$ hat.

Ein Glaser soll das Glas für eine Lampe in Form eines regelmäßigen Tetraeders herstellen (alle Flächen sind gleich große gleichseitige Dreiecke). Wenn jede Fläche einen Flächeninhalt von $15,6\text{ cm}^2$ hat, wie groß ist dann die Glasfläche der gesamten Lampe?

Berechne den Mantelflächeninhalt eines geraden Prismas mit der Höhe $12\text{ cm}$, dessen Grundfläche eine Raute mit den Diagonalen $16\text{ cm}$ und $12\text{ cm}$ ist.

(Tipp: Bestimme zuerst die Seitenlänge der Raute mit dem Satz des Pythagoras in einem der rechtwinkligen Dreiecke im Inneren der Grundfläche.)

Lea möchte ein dekoratives Stück aus massivem Holz lackieren, das die Form einer regelmäßigen quadratischen Pyramide hat. Die Grundkante misst $6\text{ cm}$ und die Höhe der Pyramide beträgt $4\text{ cm}$. Lea hat in ihrem Heft Folgendes gerechnet:

„Der Umfang der Grundfläche ist $4 \cdot 6 = 24\text{ cm}$. Der Mantelflächeninhalt ist $\frac{24 \cdot 4}{2} = 48\text{ cm}^2$. Der Flächeninhalt der Grundfläche ist $6^2 = 36\text{ cm}^2$. Also ist der gesamte Flächeninhalt, der lackiert werden muss, $48 + 36 = 84\text{ cm}^2$.“

1. a) Finde den geometrischen Fehler in Leas Ansatz und erkläre ihn ausführlich. Welche zwei verschiedenen Strecken hat sie verwechselt?
2. b) Korrigiere das Vorgehen, indem du die richtige Länge der Höhe der Seitenflächen der Pyramide mit dem Satz des Pythagoras berechnest, und bestimme den tatsächlichen Gesamtflächeninhalt, der lackiert werden muss.

Ein Paketdienst entwirft ein neues Modell einer Karton-Kiste aus Recyclingpappe in Form eines geraden Prismas mit quadratischer Grundfläche. Aus Gründen der Lagerung und Stabilität muss die Kante der quadratischen Grundfläche zwingend $8\text{ cm}$ betragen. Für das vollständige Netz der Kiste (mit den beiden Grundflächen und den vier Seitenflächen, ohne Klebelaschen) werden genau $448\text{ cm}^2$ Pappe verwendet.

1. a) Stelle eine algebraische Gleichung auf, in der die unbekannte Höhe $h$ des Prismas und der angegebene Oberflächeninhalt vorkommen.
2. b) Löse diese Gleichung, um zu berechnen, wie viele Zentimeter hoch die Kiste sein wird.

Für ein Technikprojekt sollst du eine Werkzeugkiste in Form eines regelmäßigen sechsseitigen Prismas bauen. Die Grundkante misst $10\text{ cm}$ und die Höhe des Prismas beträgt $25\text{ cm}$. Du möchtest alle Außenflächen (auch die beiden Grundflächen) mit einer Schutzfolie bekleben. Wie viele Quadratzentimeter Material brauchst du?

(Hinweis: Um den Flächeninhalt der Grundfläche zu berechnen, musst du zuerst mit dem Satz des Pythagoras die Höhe der Dreiecke des Sechsecks (das Apothem) bestimmen.)

Ein Architekturbüro hat ein Glasdach in Form einer regelmäßigen quadratischen Pyramide entworfen. Die Grundkante misst $4\text{ m}$ und die Höhe der Pyramide beträgt $3\text{ m}$. Berechne die gesamte Glasfläche, die für die vier Seitenflächen nötig ist (die Grundfläche bleibt offen, damit Licht in das Gebäudeinnere fällt).

Ein neuer Polyeder für ein Brettspiel wurde so entworfen, dass er den Eulerschen Polyedersatz erfüllt. Wir wissen, dass der Würfel $14$ Ecken hat und alle seine Flächen gleichseitige Dreiecke sind. Kannst du herleiten, wie viele Flächen dieser Polyeder hat und wie groß die Gesamtzahl der Kanten ist? Begründe deine Antwort mithilfe der Eulerschen Beziehung.

Berechne den Oberflächeninhalt eines regelmäßigen quadratischen Pyramidenstumpfes, dessen Grund- und Deckfläche Quadrate mit den Seitenlängen $12\text{ cm}$ bzw. $6\text{ cm}$ sind und dessen Höhe der Seitenflächen (Apothema des Stumpfes) $8\text{ cm}$ beträgt. Wie viel Geschenkpapier braucht man mindestens, um einen Gegenstand dieser Form einzupacken?

Eine Trophäe hat die Form eines regelmäßigen Oktaeders mit der Kantenlänge $6\text{ cm}$. Die Trophäe soll versilbert werden, und die Kosten für die Versilberung betragen $0,05\text{ €}$ pro Quadratzentimeter. Wie hoch sind die Gesamtkosten für das Versilbern der $8$ Flächen der Trophäe?

(Gegeben: Der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge $a$ ist $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$.)

Wir entwerfen ein dekoratives Holzstück, das aus einem geraden quadratischen Prisma mit der Grundfläche $8\text{ cm}$ und der Höhe $10\text{ cm}$ besteht, aus dem eine Pyramide mit derselben Grundfläche und derselben Höhe herausgenommen wurde. Berechne den gesamten Oberflächeninhalt dieses Stücks (einschließlich der inneren „Aussparung“, die die Pyramide hinterlassen hat).

Berechne den Mantelflächeninhalt eines regelmäßigen fünfseitigen Prismas, wenn sein Volumen $450\text{ cm}^3$ beträgt, der Flächeninhalt seiner Grundfläche $30\text{ cm}^2$ ist und die Seite der Grundfläche $4\text{ cm}$ misst.

(Tipp: Verwende zuerst die Volumenformel, um die Höhe des Prismas zu bestimmen.)

Es soll ein oben offener Papierkorb aus Metall in Form eines regelmäßigen achtseitigen Prismas hergestellt werden. Die Grundfläche hat einen Umfang von $64\text{ cm}$ und ein Apothem von $9,66\text{ cm}$. Die Höhe des Papierkorbs beträgt $40\text{ cm}$. Berechne die gesamte Metallfläche, die für die Herstellung nötig ist.

Es soll ein Einmannzelt in Form einer regelmäßigen quadratischen Pyramide genäht werden. Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $2\text{ m}$ und die senkrechte Mittelstange hat eine Höhe von $1,5\text{ m}$. Nur für die vier Seitenflächen wird ein spezieller wasserdichter Stoff verwendet (der Boden wird aus einem anderen, isolierenden Material gefertigt).

1. a) Schätze begründet den Flächeninhalt der Seitenflächen, ohne Taschenrechner und ohne die Höhe der Seitenflächen schon zu bestimmen: Ist er größer, kleiner oder gleich $6\text{ m}^2$? (Tipp: Überlege, welchen Flächeninhalt die vier Flächen hätten, wenn sie senkrechte Dreiecke mit der Grundseite $2\text{ m}$ und der Höhe $1,5\text{ m}$ wären.)
2. b) Bestimme mit dem Satz des Pythagoras die Höhe der Seitenflächen der Pyramide und berechne den genauen Wert der benötigten Stofffläche (runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen).
3. c) Vergleiche dein Ergebnis mit deiner Schätzung und begründe geometrisch, warum die Höhe der Seitenflächen einer Pyramide stets echt größer ist als ihre Körperhöhe.

Ein städtischer Bautrupp soll 10 Betonpflanzkübel auf einem Boulevard für Fußgänger sanieren und abdichten. Jeder Pflanzkübel hat die Form eines regelmäßigen quadratischen Pyramidenstumpfes, der oben offen ist und auf seiner kleineren Grundfläche steht. Die Innenmaße sind: Kante des oberen (offenen) Quadrats $1,2\text{ m}$, Kante des unteren Quadrats (Boden) $0,8\text{ m}$ und Höhe der Seitenflächen (Höhe der Trapeze) $0,5\text{ m}$.

1. a) Modelliere den Pflanzkübel, indem du die Vielecke angibst, aus denen die Innenfläche besteht, und berechne den gesamten Flächeninhalt, der bei einem einzelnen Pflanzkübel beschichtet werden muss.
2. b) Das Abdichtungsharz wird in Dosen zu $750\text{ ml}$ zum Preis von $14,50\text{ \euro}$ pro Dose verkauft, und der Hersteller garantiert, dass jede Dose genau für $2\text{ m}^2$ reicht. Bestimme, wie viele volle Dosen die Gemeinde kaufen muss, um die 10 Pflanzkübel zu behandeln, und berechne die Gesamtkosten der Maßnahme.

Ein Architekturbüro entwirft ein Loft in Form eines Quaders. Die Länge des Raumes ist doppelt so groß wie seine Breite, und die Höhe beträgt genau $3\text{ m}$. Die Raumdiagonale (der größte Abstand zwischen zwei gegenüberliegenden Ecken) misst genau $7\text{ m}$. Berechne den Flächeninhalt der Wände und der Decke (ohne den Boden), die mit Dämmfarbe gestrichen werden müssen.

Eine Luxus-Parfümmarke hat einen Flakon in Form eines regelmäßigen quadratischen Pyramidenstumpfs entworfen. Die Kante der größeren Grundfläche misst $8\text{ cm}$ und die Kante der kleineren Grundfläche misst $4\text{ cm}$. Die Höhe des Flakons beträgt $10\text{ cm}$. Berechne den gesamten Glasbedarf für die Herstellung des Flakons (einschließlich beider Grundflächen). Berechne dazu zuerst mit dem Satz des Pythagoras die Höhe der Seitenfläche des Pyramidenstumpfs. In der Abbildung ist $h$ die Höhe des Flakons und $a$ die Höhe der Seitenfläche.

Es soll ein Metallteil gebaut werden, indem ein regelmäßiges sechseckiges Prisma und eine regelmäßige sechseckige Pyramide, die genau auf seine obere Grundfläche passt, zusammengefügt werden. Die Seite des Sechsecks der Grundfläche misst $6\text{ cm}$, die Höhe des Prismas beträgt $15\text{ cm}$ und die Höhe der Pyramide beträgt $8\text{ cm}$. Berechne den Flächeninhalt der Außenfläche des gesamten Teils (beachte, dass die Fläche, an der beide Körper zusammengefügt sind, nicht zur Außenfläche zählt).

Eine Ameise läuft über die Oberfläche eines regelmäßigen Oktaeders mit der Kantenlänge $12\text{ cm}$. Das Oktaeder kann man als zwei regelmäßige quadratische Pyramiden auffassen, die an ihrer Grundfläche zusammengefügt sind. Berechne den gesamten Flächeninhalt der Oberfläche, über die die Ameise laufen kann. Denke daran, dass alle Flächen eines regelmäßigen Oktaeders gleichseitige Dreiecke sind. Gib das Ergebnis in Abhängigkeit von $\sqrt{3}$ an.

Ein gerades Prisma mit $20\text{ cm}$ Höhe hat als Grundfläche ein gleichschenkliges Trapez. Die parallelen Seiten des Trapezes messen $14\text{ cm}$ und $6\text{ cm}$, seine Höhe beträgt $3\text{ cm}$. Berechne den Oberflächeninhalt des Prismas. Tipp: Du musst zuerst mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Schenkel des Trapezes in der Grundfläche berechnen.

Der „Eulersche Polyedersatz“ besagt, dass für konvexe Polyeder $E + F = K + 2$ gilt (Ecken $E$, Flächen $F$, Kanten $K$). Stell dir ein Polyeder vor, das gleich viele Flächen wie Ecken hat. Die Anzahl der Kanten beträgt $6$. Leite her, wie viele Flächen es hat, und nenne ein regelmäßiges Polyeder, das diese Bedingung erfüllt. Berechne anschließend seinen Oberflächeninhalt, wenn seine Kante $\sqrt{10}\text{ cm}$ misst.

Es wurde ein Container für Industrieabfälle in Form eines geraden Prismas hergestellt, dessen Grundfläche eine Raute ist. Die Diagonalen der Raute in der Grundfläche messen $160\text{ cm}$ und $120\text{ cm}$. Die Höhe des Containers beträgt $2\text{ Meter}$. Berechne den Oberflächeninhalt der Außenfläche des Containers in Quadratmetern ($m^2$).

Betrachte einen Würfel mit der Kantenlänge $10\text{ cm}$. Wenn wir einen ebenen Schnitt durch die Mittelpunkte von drei Kanten legen, die in einer Ecke zusammenlaufen, erhalten wir eine kleine dreiseitige Pyramide (einen abgeschnittenen Tetraeder). Berechne den Oberflächeninhalt des Körpers, der übrig bleibt, nachdem diese kleine Pyramide an der Ecke entfernt wurde.

Für ein Kulturzentrum wird eine hohle dekorative Säule aus Metallblech in Form eines geraden Prismas mit $3\text{ m}$ Höhe geplant. Die Grundfläche des Prismas ist ein L-förmiges Vieleck mit lauter rechten Winkeln, dessen sechs aufeinanderfolgende Seiten $3\text{ m}$, $2\text{ m}$, $1\text{ m}$, $1\text{ m}$, $2\text{ m}$ und $1\text{ m}$ messen. Es soll der gesamte Blechbedarf (Seitenflächen plus die beiden L-förmigen Grundflächen) berechnet werden. Zwei Techniker des Teams schlagen unterschiedliche Strategien vor:

• Techniker A (Zerlegung): Er teilt die L-förmige Grundfläche in zwei eigenständige Rechtecke, berechnet den Oberflächeninhalt von zwei quaderförmigen Prismen getrennt und zieht dann die Flächen der fiktiven Innenflächen ab, an denen sie zusammengefügt sind.

• Techniker B (allgemeine Formel): Er bestimmt den gesamten Umfang des L-förmigen Vielecks, um die Mantelfläche direkt mit $M = U_G \cdot h$ zu berechnen, und addiert den doppelten Flächeninhalt der L-förmigen Grundfläche.

1. a) Führe beide Methoden Schritt für Schritt durch und überprüfe rechnerisch, ob beide zum selben Ergebnis führen.
2. b) Vergleiche die beiden Wege und begründe, welcher bei Körpern mit komplizierten vieleckigen Grundflächen effizienter und weniger fehleranfällig ist.

Ein Industriedesigner entwirft eine massive, polyedrische Trophäe. Der Körper besteht aus einem Würfel mit der Kantenlänge $a$, auf dessen Deckfläche eine regelmäßige Pyramide aufgesetzt ist; die Grundfläche der Pyramide passt genau auf die Deckfläche des Würfels und ihre vier Seitenflächen sind gleichseitige Dreiecke mit der Seitenlänge $a$.

1. a) Beschreibe das Netz des Körpers, indem du Anzahl und Art der Vielecke angibst, die seine gesamte äußere Oberfläche bilden, und nenne, welche Flächen im Inneren verborgen sind und nicht mitgezählt werden dürfen.
2. b) Der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge $a$ ist $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ und die gesamte Oberfläche der Trophäe beträgt genau $(500 + 100\sqrt{3})\text{ cm}^2$. Leite daraus begründet die genaue Länge der Kante $a$ her.
3. c) Ein Kunde bestellt eine maßstäblich vergrößerte Nachbildung, bei der die Kantenlänge verdreifacht wird ($a' = 3a$). Verdreifacht sich dann auch die Materialmenge für die Oberfläche? Begründe deine Antwort algebraisch, ohne den neuen Zahlenwert zu berechnen.