Tronco de pirâmide
Uma caixa-d'água de concreto, uma jardineira de praça, um vaso decorativo: muitos objetos parecem uma pirâmide com a "ponta" cortada. Como calcular quanto cabe de água dentro de um deles? E quanta tinta é preciso para pintá-lo por fora? Neste apartado você vai ver que tudo se resolve com uma ideia que você já conhece, a semelhança.
O que é um tronco de pirâmide
Pegue uma pirâmide e corte-a com um plano paralelo à base. Aparecem dois sólidos: uma pirâmide menor, no topo, e o que sobra embaixo. O que sobra é o tronco de pirâmide.
Se a pirâmide original é regular, as faces laterais são trapézios isósceles congruentes. A altura de cada trapézio é o apótema do tronco, $a_t$. Não confunda $a_t$ com a altura $h$ do tronco: $h$ é perpendicular às bases, e $a_t$ corre pela face lateral, inclinado.
Semelhança: o segredo do tronco
A pirâmide menor (a que foi cortada) é semelhante à pirâmide original. Se $k$ é a razão de semelhança (menor para maior), então:
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comprimentos (alturas, lados, apótemas): multiplicados por $k$;
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áreas: multiplicadas por $k^2$;
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volumes: multiplicados por $k^3$.
Por quê? Na secção vertical, o triângulo pequeno é semelhante ao grande (as bases são paralelas). Então a altura da pirâmide menor, $x$, e a da maior, $H$, estão na mesma razão que os lados das bases: $k = \dfrac{x}{H}$. As áreas são "comprimento vezes comprimento" ($k^2$) e os volumes são "comprimento vezes comprimento vezes comprimento" ($k^3$).
Isso dá um caminho direto para o volume do tronco:
$$V_{\text{tronco}} = V_{\text{pirâmide grande}} - V_{\text{pirâmide pequena}}$$Neste exercício você vai obter o volume de um tronco de pirâmide sem usar a fórmula pronta, apenas com semelhança. Uma pirâmide regular de base quadrada tem altura $12$…
Neste exercício você vai obter o volume de um tronco de pirâmide sem usar a fórmula pronta, apenas com semelhança. Uma pirâmide regular de base quadrada tem altura $12$ m e base de lado $6$ m. Corta-se a pirâmide por um plano paralelo à base, passando a $6$ m do vértice (metade da altura), obtendo-se uma pirâmide menor, semelhante à original, e um tronco de pirâmide de altura $6$ m.
- a) Justifique, usando semelhança de triângulos na secção vertical da pirâmide, por que a razão de semelhança entre a pirâmide menor e a original é $\dfrac{1}{2}$.
- b) Calcule o lado da base da pirâmide menor.
- c) Calcule os volumes da pirâmide original e da pirâmide menor, usando $V = \dfrac{1}{3} A_b \cdot h$, e obtenha o volume do tronco por diferença.
- d) Verifique que a fórmula $V = \dfrac{h}{3}\left(A_B + \sqrt{A_B \cdot A_b} + A_b\right)$, aplicada ao tronco, dá o mesmo valor encontrado no item c).
A fórmula do volume
Calcular por diferença sempre funciona, mas exige descobrir a pirâmide cortada. Dá para fazer isso uma vez só e guardar um resultado geral. Seja $H$ a altura da pirâmide inteira e $k$ a razão de semelhança. Então $A_b = k^2 A_B$, a altura da pirâmide cortada é $kH$ e a altura do tronco é $h = H(1-k)$. Assim:
$$V = \tfrac13 A_B H - \tfrac13 (k^2A_B)(kH) = \tfrac13 A_B H\,(1-k^3) = \tfrac13 A_B H(1-k)(1+k+k^2)$$Como $H(1-k) = h$, resulta $V = \dfrac h3\,(A_B + kA_B + k^2A_B)$. Mas $k^2A_B = A_b$ e $kA_B = \sqrt{A_B\cdot A_b}$. Então:
Confira com o exemplo anterior: $A_B = 36$, $A_b = 4$, $\sqrt{36\cdot 4} = 12$ e $h = 6$. Então $V = \dfrac63(36+12+4) = 2\cdot 52 = 104\ \text{m}^3$, o mesmo valor.
O volume de um tronco de pirâmide de bases paralelas de áreas $A_B$ (base maior) e $A_b$ (base menor) e altura $h$ é dado por: $$V = \frac{h}{3}\left(AB + \sqrt{A_B…
O volume de um tronco de pirâmide de bases paralelas de áreas $A_B$ (base maior) e $A_b$ (base menor) e altura $h$ é dado por:
$$V = \frac{h}{3}\left(A_B + \sqrt{A_B \cdot A_b} + A_b\right)$$Uma maceteira de concreto, numa praça de Curitiba, tem a forma de tronco de pirâmide regular de bases quadradas: a boca quadrada tem lado $6$ m, o fundo quadrado tem lado $4$ m e a profundidade é de $3$ m.
- a) Calcule as áreas $A_B$ e $A_b$ das duas bases quadradas.
- b) Calcule o termo médio $\sqrt{A_B \cdot A_b}$.
- c) Calcule o volume da maceteira, em metros cúbicos.
Um reservatório de água de uma granja em Goiás tem a forma de tronco de pirâmide regular de bases quadradas: a boca mede $8$ m de lado, o fundo mede $4$ m de lado e a…
Um reservatório de água de uma granja em Goiás tem a forma de tronco de pirâmide regular de bases quadradas: a boca mede $8$ m de lado, o fundo mede $4$ m de lado e a profundidade é de $3$ m. Use a fórmula $V = \dfrac{h}{3}\left(A_B + \sqrt{A_B \cdot A_b} + A_b\right)$ e lembre que $1$ m$^3 = 1.000$ litros.
- a) Calcule o volume do reservatório, em metros cúbicos.
- b) Expresse a capacidade em litros.
- c) Uma bomba enche o reservatório a uma vazão de $500$ litros por minuto. Quanto tempo leva para enchê-lo por completo? Dê a resposta em minutos e em horas e minutos.
Área lateral e área total
Para a área da superfície, desmonte o sólido (a planificação): duas bases e quatro trapézios (no caso de bases quadradas).
Cada face lateral é um trapézio de bases $\ell_B$ e $\ell_b$ e altura $a_t$, com área $\dfrac{(\ell_B+\ell_b)\,a_t}{2}$. Somando as $n$ faces iguais, os lados somados formam os perímetros das bases:
Se precisar de $a_t$ e só tiver $h$, use o triângulo retângulo formado por $h$, a diferença dos apótemas das bases e $a_t$. Para bases quadradas de lados $L$ e $\ell$:
$$a_t^2 = h^2 + \left(\frac{L-\ell}{2}\right)^2$$A área lateral de um tronco de pirâmide regular é a soma das áreas de suas faces laterais, que são trapézios isósceles congruentes. Se $P_B$ e $P_b$ são os perímetros…
A área lateral de um tronco de pirâmide regular é a soma das áreas de suas faces laterais, que são trapézios isósceles congruentes. Se $P_B$ e $P_b$ são os perímetros das bases e $a_t$ é o apótema do tronco (altura de cada face trapezoidal), então:
$$A_l = \frac{P_B + P_b}{2} \cdot a_t$$Um vaso decorativo tem a forma de tronco de pirâmide regular de bases quadradas de lados $20$ cm e $12$ cm, e apótema do tronco $a_t = 10$ cm.
- a) Calcule os perímetros $P_B$ e $P_b$ das bases.
- b) Calcule a área lateral do vaso.
- c) Calcule a área total (lateral mais as duas bases).
- d) O artesão cobra R$ 0,35 por centímetro quadrado de pintura da área total. Quanto custará a pintura de um vaso?
Volte ao começo
No início, perguntamos como saber quanto cabe em um objeto com forma de pirâmide cortada e quanta tinta ele pede. Agora você sabe: a capacidade vem de $V = \frac h3(A_B + \sqrt{A_BA_b} + A_b)$, convertida para litros, e a tinta vem de $A_l$ (e das bases, se for o caso), multiplicando a área pelo preço ou pelo rendimento.
Resumo
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Tronco de pirâmide: o que sobra da pirâmide depois de um corte paralelo à base. Tem duas bases semelhantes e faces laterais trapezoidais.
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Semelhança: a pirâmide cortada tem razão $k$ com a original; áreas $k^2$, volumes $k^3$. A razão usa a altura da pirâmide inteira.
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Volume: $V = V_{\text{grande}} - V_{\text{pequena}}$ ou $V = \dfrac h3\left(A_B + \sqrt{A_B A_b} + A_b\right)$.
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Área lateral: $A_l = \dfrac{P_B+P_b}{2}\,a_t$, e $A_t = A_l + A_B + A_b$.
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Não confunda $h$ com $a_t$; use $a_t^2 = h^2 + (\text{diferença dos apótemas das bases})^2$.
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Capacidade: $1\ \text{m}^3 = 1.000\ \text{L}$ e $1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{L}$.