Latitude e longitude

Imagine que você é um cartógrafo iniciante. No seu primeiro mapa, você deve posicionar as linhas de referência mais importantes da Terra. Observe o desenho e associe cada letra ao nome correspondente:

1. Equador.

2. Meridiano de Greenwich.

3. Polo Norte.

4. Um paralelo qualquer.

Indique em qual hemisfério (Norte ou Sul para a latitude, Leste ou Oeste para a longitude) estão os seguintes pontos geográficos:

• Ponto A: $34^\circ$ N, $120^\circ$ L

• Ponto B: $12^\circ$ S, $45^\circ$ O

• Ponto C: $89^\circ$ N, $5^\circ$ O

• Ponto D: $40^\circ$ S, $170^\circ$ L

Um explorador anotou por engano as seguintes coordenadas em seu diário. Explique por que essas coordenadas são geograficamente impossíveis:

1. a) Latitude: $105^\circ$ S, Longitude: $20^\circ$ L.
2. b) Latitude: $45^\circ$ N, Longitude: $210^\circ$ O.

Dois navios, o Alfa e o Beta, navegam pelo Oceano Atlântico. Suas coordenadas são:

• Navio Alfa: $20^\circ$ N, $30^\circ$ O

• Navio Beta: $20^\circ$ N, $60^\circ$ O

Responda justificadamente:

1. a) Eles se encontram sobre o mesmo paralelo ou sobre o mesmo meridiano?
2. b) Qual dos dois navios está mais próximo do Meridiano de Greenwich?

Observe a seguinte representação plana (planisfério) de uma zona do oceano. Identifique as coordenadas (Latitude e Longitude) do ponto $P$ marcado com uma estrela.

Diz-se que os antípodas de um lugar são o ponto da superfície terrestre diametralmente oposto. Se as coordenadas da sua cidade são $40^\circ$ $25'$ N de latitude e $3^\circ$ $41'$ O de longitude:

1. a) Qual seria a latitude dos seus antípodas?
2. b) Qual seria a longitude dos seus antípodas?

(Dica: para a latitude, mude o hemisfério; para a longitude, procure o meridiano que complete $180^\circ$ e mude de hemisfério L/O).

Duas cidades, Villa Sol e Villa Luna, estão sobre o mesmo meridiano. Se Villa Sol tem uma latitude de $45^\circ$ N e Villa Luna tem uma latitude de $20^\circ$ S, quantos graus de arco de meridiano as separam?

Em uma prova de Geometria, o Sérgio precisa calcular a distância que separa duas boias marítimas situadas no mesmo meridiano terrestre ($0^\circ$, o meridiano de Greenwich): a boia Alpha, situada a $42^\circ\text{ N}$, e a boia Beta, situada a $18^\circ\text{ S}$. O Sérgio escreve na sua folha de respostas:

«Como ambas as boias se encontram sobre o meridiano de Greenwich, a diferença angular entre elas é $\alpha = 42^\circ - 18^\circ = 24^\circ$. Portanto, multiplicando pela distância teórica por grau de meridiano, a distância é $d = 24 \cdot 111{,}2 = 2668{,}8\text{ km}$».

1. a) Localize e explique de forma fundamentada o erro conceitual do Sérgio, com base na definição geométrica do equador como referência para a latitude.
2. b) Corrija o procedimento e determine a distância real correta entre as duas boias ao longo do meridiano.

Duas cidades espanholas, Santander ($43{,}5^\circ\text{ N}$) e Jaén ($37{,}8^\circ\text{ N}$), estão situadas quase exatamente sobre o mesmo meridiano terrestre ($3{,}8^\circ\text{ O}$).

1. a) Estime: sem usar calculadora nem decimais, arredonde ambas as latitudes para o número inteiro mais próximo. Calcule mentalmente a diferença de graus e estime a distância em quilômetros sabendo que cada grau de meridiano equivale aproximadamente a $110\text{ km}$.
2. b) Calcule: faça agora o cálculo rigoroso utilizando os valores decimais reais fornecidos ($43{,}5^\circ$ e $37{,}8^\circ$) e a equivalência teórica de $111{,}2\text{ km}$ por grau.
3. c) Verifique: determine a diferença em quilômetros entre a sua estimativa e o cálculo preciso. Você considera que a estimativa inicial foi suficientemente boa para que uma empresa de transportes avalie o gasto de combustível? Justifique a sua resposta.

Uma baleia-jubarte migra seguindo exatamente o mesmo meridiano desde uma área de alimentação situada a $65^\circ$ N de latitude até uma área de reprodução a $15^\circ$ S. Se o raio médio da Terra for considerado de $6\,371$ km, calcule a distância total, em quilômetros, que a baleia percorre na viagem de ida.

Dois navios de pesquisa oceanográfica encontram-se sobre a linha do Equador. O navio A está em uma longitude de $12^\circ$ E e o navio B encontra-se a uma distância de $2\,500$ km a oeste do navio A. Determine a longitude exata do navio B, sabendo que o raio da Terra é de $6\,371$ km.

Na náutica, utiliza-se a "milha náutica", que se define como o comprimento de um arco de meridiano de $1'$ (um minuto de grau).

1. a) Calcule a quantos quilômetros equivale uma milha náutica (Raio da Terra = $6\,371$ km).
2. b) Se um veleiro navegou por um meridiano desde uma latitude de $30^\circ$ N até $35^\circ$ N, quantas milhas náuticas percorreu?

Duas cidades, P e Q, estão situadas no mesmo meridiano. A cidade P está a $42^\circ$ N e a cidade Q a $15^\circ$ N. Outra cidade, R, está situada no mesmo paralelo que Q, mas a uma distância de $20^\circ$ de longitude para o leste.

Calcule, usando $R = 6\,371$ km:

1. a) A distância entre P e Q sobre o meridiano.
2. b) A distância entre Q e R sobre o paralelo.

Qual das duas distâncias é maior?

Uma boia de pesquisa oceanográfica de um instituto oceanográfico parte ancorada no mar a $44^\circ\text{ N}$ e $5^\circ\text{ O}$. Durante uma forte tempestade, solta-se de suas amarras e desloca-se em linha reta rumo ao sul ao longo do seu meridiano ($5^\circ\text{ O}$). Semanas mais tarde, o satélite localiza a boia após ela ter navegado exatamente $5448{,}8\text{ km}$.

1. a) Sabendo que a cada grau de meridiano correspondem $111{,}2\text{ km}$, calcule a diferença angular $\alpha$ percorrida pela boia.
2. b) Deduza as coordenadas geográficas finais exatas (latitude e longitude) em que a boia se encontra e justifique em que hemisfério ela ficou retida.
3. c) Proponha uma equação geral em que a incógnita seja a latitude final $x$, que permita resolver este problema quando se parte de uma latitude norte $\text{Lat}_0$ e se avança para o sul, ultrapassando o equador, uma distância dada $d$.

Calcule a distância mais curta entre dois pontos, P e Q, situados sobre a superfície terrestre se as suas coordenadas forem:

• P: $(40^\circ \text{ N}, 10^\circ \text{ O})$

• Q: $(40^\circ \text{ S}, 10^\circ \text{ O})$

Considere que a Terra é uma esfera perfeita de raio $6371 \text{ km}$. Expresse o resultado em quilômetros. O viajante se desloca por um meridiano ou por um paralelo? Justifique a sua resposta.

Uma companhia de transporte aéreo desenha uma rota entre Tromsø (Noruega, situado a $70^\circ\text{ N}, 19^\circ\text{ E}$) e uma estação científica em Point Hope (Alasca, situada a $70^\circ\text{ N}, 161^\circ\text{ O}$). Observe que os meridianos $19^\circ\text{ E}$ e $161^\circ\text{ O}$ são antimeridianos (somam $180^\circ$), de modo que juntos formam uma circunferência máxima completa que passa por ambos os polos. Propõem-se dois trajetos seguindo arcos de círculo máximo:

• Método Polar: Voar para o norte pelo meridiano $19^\circ\text{ E}$ até o Polo Norte ($90^\circ\text{ N}$) e continuar descendo pelo meridiano $161^\circ\text{ O}$ até os $70^\circ\text{ N}$.

• Método Equatorial: Voar para o sul pelo meridiano $19^\circ\text{ E}$ até o equador ($0^\circ$), percorrer meio equador ($180^\circ$ de longitude sobre a circunferência equatorial, cujo raio é igual ao do meridiano) até o meridiano $161^\circ\text{ O}$, e subir para o norte até os $70^\circ\text{ N}$.

1. a) Calcule a distância em quilômetros percorrida seguindo o Método Polar usando a equivalência de $111{,}2\text{ km}$ por grau.
2. b) Calcule a distância em quilômetros percorrida seguindo o Método Equatorial.
3. c) Compare ambos os métodos quantificando a diferença em quilômetros e justifique geometricamente por que os voos comerciais intercontinentais entre latitudes altas do hemisfério norte escolhem rotas polares em vez de descer em direção a latitudes mais temperadas.

Dois navios de pesquisa oceanográfica navegam sobre o mesmo meridiano atlântico ($15^\circ\text{ O}$). O navio A parte do ponto ($44^\circ\text{ N}, 15^\circ\text{ O}$) rumo ao sul, e o navio B parte do ponto ($10^\circ\text{ S}, 15^\circ\text{ O}$) rumo ao norte. Ambos iniciam o seu trajeto simultaneamente às 08:00 (hora solar do seu meridiano) a uma velocidade constante idêntica de $27{,}8\text{ km/h}$.

1. a) Modele a distância inicial em quilômetros que separa ambos os navios (considerando $111{,}2\text{ km}$ por grau de meridiano) e calcule a velocidade conjunta de aproximação expressa tanto em $\text{km/h}$ como em graus de latitude por hora.
2. b) Quantas horas eles demorarão para se encontrar e quais serão as coordenadas geográficas exatas (latitude e longitude) do ponto de encontro? Justifique se esse ponto está no hemisfério norte ou no sul.
3. c) Quando acontece o encontro, eles enviam uma mensagem por rádio a uma base receptora situada na longitude $75^\circ\text{ E}$. Determine a diferença horária solar teórica entre o local de encontro e a base receptora, e deduza que hora solar teórica é na base receptora no instante em que a mensagem é recebida.

Sabemos que a Terra demora 24 horas para completar uma volta de $360^\circ$ em torno do seu eixo.

1. a) Quantos graus de longitude correspondem a uma hora de diferença?
2. b) Se em uma cidade situada a $0^\circ$ de longitude (Greenwich) são 12:00 (meio-dia), que horas serão em uma cidade situada a $30^\circ$ E?

Se você viajar de avião desde São Paulo ($40^\circ$ N, $3^\circ$ O) para uma cidade que está exatamente nos seus antípodas (o ponto oposto da esfera terrestre):

1. a) Qual seria a latitude desse ponto? (Mesmo valor, mas direção oposta).
2. b) Se a longitude de um ponto e a do seu antípoda devem somar $180^\circ$ e estar em hemisférios opostos, qual seria a longitude desse ponto?

Um grupo de amigos em Madri (longitude $3^\circ$ $41'$ O) quer ver ao vivo o lançamento de um foguete espacial a partir do Cabo Canaveral (longitude $80^\circ$ $36'$ O). Se o lançamento está programado para as 14:30, hora local da Flórida, e sabendo que cada fuso horário de $15^\circ$ equivale a uma hora de diferença teórica, a que horas deverão sintonizar a transmissão ao vivo na Espanha? Utilize o esquema de fusos horários teóricos para realizar o cálculo.

Um avião decola de Tóquio ($35^\circ$ N, $139^\circ$ E) às 08:00 de segunda-feira com destino a São Francisco ($37^\circ$ N, $122^\circ$ O). Se o voo dura 10 horas, que horas e que dia será em São Francisco quando o avião pousar? Leve em conta a mudança de data ao atravessar o antimeridiano de Greenwich ($180^\circ$).

O «meio-dia solar» astronômico ocorre quando o Sol cruza exatamente o meridiano do lugar. A Terra completa uma rotação de $360^\circ$ em 24 horas, o que determina que cada fuso teórico de $15^\circ$ de longitude equivalha a 1 hora (ou $1^\circ$ a 4 minutos).

1. a) Escreva a fórmula matemática que relaciona a diferença de longitude angular $\Delta \lambda$ (em graus) entre duas localidades e a defasagem dos seus respectivos meios-dias solares $\Delta t$ (em minutos).
2. b) Mahón (Menorca) localiza-se a $4{,}2^\circ\text{ E}$ de longitude e o Cabo Touriñán (Galiza) situa-se a $9{,}3^\circ\text{ O}$. Modele e calcule a diferença angular total entre ambas as localidades e determine a defasagem solar exata em minutos.
3. c) Se em Mahón o meio-dia solar acontece às 13:10 da hora oficial do relógio de inverno, a que hora oficial ocorre o meio-dia solar em Cabo Touriñán? A partir do resultado, interprete por que razão na Galiza a sensação social é de que anoitece «muito tarde» em relação à hora do relógio.

Um avião de reconhecimento decola de uma base situada nas coordenadas $(30^\circ \text{ N}, 15^\circ \text{ O})$ às 08:00, hora local. Voa diretamente para Leste seguindo o mesmo paralelo até alcançar uma cidade situada a $60^\circ$ de longitude Leste. O voo tem uma duração total de 9 horas.

A que hora local da cidade de destino o avião pousará? Leve em conta a mudança de fusos horários durante o trajeto (considere fusos teóricos de $15^\circ$ cada um).

Um submarino se desloca pelo fundo do mar desde um ponto X $(0^\circ, 175^\circ \text{ E})$ até um ponto Y $(0^\circ, 170^\circ \text{ O})$. A figura mostra o Equador visto do Polo Norte, com os dois pontos assinalados.

1. a) Quantos graus de longitude o submarino percorreu se seguiu a rota mais curta pelo Equador?

1. b) Se o submarino viaja a uma velocidade constante de $20 \text{ nudos}$ ($1 \text{ nudo} \approx 1,85 \text{ km/h}$), quanto tempo demorará para completar a viagem? (Raio da Terra: $6371 \text{ km}$).

1. c) Houve alguma mudança de data durante o trajeto? Explique por quê.

Constrói-se um octaedro truncado a partir de um octaedro regular de aresta $12 \text{ cm}$. Para isso, cortam-se cada um dos seis vértices de modo que sejam eliminadas pequenas pirâmides quadrangulares de base regular, convertendo cada face triangular original em um hexágono regular.

1. Determine o número de faces, vértices e arestas do poliedro resultante e verifique se satisfaz o Teorema de Euler.

2. Se a aresta do novo poliedro (a do hexágono resultante) é de $4 \text{ cm}$, calcule a área total da superfície do octaedro truncado.

Uma empresa de perfumes projeta um frasco com a forma de um tronco de cone invertido coroado por uma semiesfera que se encaixa perfeitamente na base superior. Os dados do projeto são os seguintes:

• Altura do tronco de cone: $8 \text{ cm}$.

• Raio da base inferior (onde se apoia): $3 \text{ cm}$.

• Raio da base superior (onde se encaixa a semiesfera): $6 \text{ cm}$.

Calcule o volume total do frasco e determine se ele é capaz de conter um frasco padrão de $330 \text{ ml}$ de essência. (Considere $\pi \approx 3,14$).

Um depósito de água tem a forma de um prisma hexagonal regular reto. Sabe-se que o raio da circunferência na qual se inscreve a base hexagonal mede $4 \text{ m}$ e que a altura do prisma é o triplo da apótema da base.

Calcule o custo de impermeabilizar as paredes laterais e o fundo (base inferior) se o preço do material for de $12,50 \text{ \text{R\$}\ /m}^2$. Arredonde o resultado para as centésimas.

Existe um cilindro de raio $R$ e altura $2R$. No seu interior é introduzida uma esfera de raio $R$ que fica tangente às paredes e às bases do cilindro.

1. Demonstre analiticamente a relação que existe entre o volume da esfera e o volume do cilindro.

2. Se o volume do cilindro for $54 \text{ cm}^3$, que volume de ar fica livre dentro do cilindro depois de introduzida a esfera?

Desafio do tema. Desenhe um abrigo bioclimático de emergência para uma reserva natural do seu estado.

1. Localização: Acesse o visualizador do IBGE ou o Google Earth, localize a reserva escolhida e anote as suas coordenadas geográficas exatas (latitude e longitude).

2. Estrutura geométrica: Desenhe o abrigo combinando um poliedro (módulo base habitável, por exemplo um prisma reto) e um sólido de revolução (cobertura semiesférica ou reservatório cilíndrico de água). Assinale no seu esboço pelo menos um par de planos paralelos e duas arestas perpendiculares essenciais para a sua estabilidade.

3. Cálculo com planilha: Meça uma embalagem doméstica para usá-la como maquete na escala $1:20$ ou defina dimensões reais em metros. Em uma planilha, programe as fórmulas para calcular a área do poliedro (isolamento térmico necessário) e o volume total do corpo geométrico composto resultante.

4. Proposta final: Redija um relatório breve justificando a viabilidade do abrigo, a sua capacidade habitável em $\text{m}^3$ e o custo de impermeabilização à razão de $18,50\text{ \text{R\$}\ /m}^2$.

Será valorizado:

• Determinação rigorosa da latitude e longitude, e identificação correta de paralelismo e perpendicularidade.

• Precisão no cálculo da área do poliedro e do volume do sólido composto.

• Automatização correta de fórmulas na planilha com uso da vírgula decimal.

• Qualidade e coerência do relatório técnico entregue.