Hipérbole
Dois celulares captam o mesmo estrondo, mas um deles o ouve alguns segundos antes do outro. Só com essa diferença de tempo, já dá para saber que o ponto onde o som começou está sobre uma curva de dois ramos que se abrem para o infinito. Essa curva é a hipérbole, a mesma que aparece nos sistemas de localização por diferença de tempo e nas torres de resfriamento de usinas térmicas. Neste apartado você vai descobrir como encontrar a equação dela e como usá-la.
A hipérbole como lugar geométrico
Compare com a elipse: lá a soma das distâncias era constante; aqui é o módulo da diferença.
Determine o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença das distâncias aos pontos fixos $F(0, 10)$ e $F'(0, -10)$ é, em valor absoluto, igual a $12$. Escreva sua…
Determine o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença das distâncias aos pontos fixos $F(0, 10)$ e $F'(0, -10)$ é, em valor absoluto, igual a $12$. Escreva sua equação reduzida.
Elementos e equação reduzida
Se os focos estiverem no eixo $y$, os papéis se trocam: $\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1$, vértices $(0, \pm a)$ e focos $(0, \pm c)$. O eixo real é sempre o do termo positivo.
Escreva a equação reduzida da hipérbole cujos focos são $F(5, 0)$ e $F'(-5, 0)$ e cujo eixo real mede $8$.
Escreva a equação reduzida da hipérbole cujos focos são $F(5, 0)$ e $F'(-5, 0)$ e cujo eixo real mede $8$.
Dada a hipérbole de equação $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determine as coordenadas de seus vértices, de seus focos e as equações de suas assíntotas.
Dada a hipérbole de equação $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determine as coordenadas de seus vértices, de seus focos e as equações de suas assíntotas.
Encontre a equação reduzida da hipérbole que tem seus vértices nos pontos $V(3, 0)$ e $V'(-3, 0)$ e que passa pelo ponto $P(5, 4)$.
Encontre a equação reduzida da hipérbole que tem seus vértices nos pontos $V(3, 0)$ e $V'(-3, 0)$ e que passa pelo ponto $P(5, 4)$.
Pontos interiores e exteriores
Para saber onde um ponto $(x_0, y_0)$ está em relação a $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$, calcule $E=\dfrac{x_0^2}{a^2}-\dfrac{y_0^2}{b^2}$ e compare com $1$:
-
$E=1$: o ponto pertence à hipérbole;
-
$E>1$: o ponto está na região de dentro de um dos ramos (contém um foco);
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$E<1$: o ponto está na região entre os ramos.
Verifique analiticamente se os pontos $A(5, 4)$, $B(4, 0)$ e $C(6, -3)$ são interiores, exteriores ou se pertencem à hipérbole de equação…
Verifique analiticamente se os pontos $A(5, 4)$, $B(4, 0)$ e $C(6, -3)$ são interiores, exteriores ou se pertencem à hipérbole de equação $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$.
As assíntotas
Determine a equação de uma hipérbole equilátera centrada na origem sabendo que passa pelo ponto $P(4, 2)$ e que seus focos estão situados sobre o eixo das abscissas.
Determine a equação de uma hipérbole equilátera centrada na origem sabendo que passa pelo ponto $P(4, 2)$ e que seus focos estão situados sobre o eixo das abscissas.
Determine a equação reduzida $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ de uma hipérbole centrada na origem sabendo que as suas assíntotas são as retas de equações…
Determine a equação reduzida $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ de uma hipérbole centrada na origem sabendo que as suas assíntotas são as retas de equações $y = \pm 1,5x$ e que a distância entre os seus dois focos é exatamente igual a $2\sqrt{13}$ unidades.
- a) Determine os valores dos semieixos $a$ e $b$, e escreva as coordenadas dos seus vértices e dos seus focos.
- b) Calcule a excentricidade da hipérbole.
- c) Justifique por que razão a excentricidade de qualquer hipérbole depende unicamente do coeficiente angular $m$ das suas assíntotas através da relação $e = \sqrt{1 + m^2}$, e verifique que se cumpre com os dados obtidos.
Encontre a equação da hipérbole centrada na origem que tem um foco no ponto $F(0, \sqrt{13})$ e na qual uma de suas assíntotas é a reta de equação $2x - 3y = 0$.
Encontre a equação da hipérbole centrada na origem que tem um foco no ponto $F(0, \sqrt{13})$ e na qual uma de suas assíntotas é a reta de equação $2x - 3y = 0$.
Excentricidade
Como $\dfrac{b}{a}=\sqrt{e^2-1}$, a excentricidade determina o formato da hipérbole (e, portanto, a abertura das assíntotas).
O Lucas tenta calcular os focos, a excentricidade e as assíntotas da hipérbole $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$. No caderno dele, escreve a seguinte resolução:…
O Lucas tenta calcular os focos, a excentricidade e as assíntotas da hipérbole $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$. No caderno dele, escreve a seguinte resolução:
«Identifico $a^2 = 16$ e $b^2 = 9$. Como nas cônicas a relação fundamental é $a^2 = b^2 + c^2$, resolvo em relação a $c = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \approx 2,65$. Portanto, os focos estão em $(\pm\sqrt{7}, 0)$ e a excentricidade é $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{7}}{4} \approx 0,66$. Finalmente, as assíntotas são as retas $y = \pm\dfrac{a}{b}x$, ou seja, $y = \pm\dfrac{4}{3}x$».
Identifique e explique de forma fundamentada os dois erros conceituais que o Lucas cometeu, justifique por que o valor obtido para a excentricidade não tem qualquer sentido físico e geométrico a partir da definição de hipérbole, e escreva a resolução correta com os valores exatos dos focos, da excentricidade e das assíntotas.
Hipérbole com centro fora da origem
Se o centro é $C(h, k)$ e o eixo real é horizontal:
$$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$$Tudo se desloca junto: vértices $(h\pm a,\ k)$, focos $(h\pm c,\ k)$ e assíntotas $y-k=\pm\dfrac{b}{a}(x-h)$. Se o eixo real é vertical, o termo positivo é o de $y$.
Quando a equação vem na forma geral, complete os quadrados para chegar à forma reduzida.
Encontre as coordenadas do centro, os comprimentos dos semieixos e as equações das assíntotas da hipérbole cuja equação é $\frac{(x+2)^2}{9} - \frac{(y-1)^2}{16} = 1$.
Encontre as coordenadas do centro, os comprimentos dos semieixos e as equações das assíntotas da hipérbole cuja equação é $\frac{(x+2)^2}{9} - \frac{(y-1)^2}{16} = 1$.
Dada a equação geral de uma cônica $9x^2 - 4y^2 + 54x + 16y + 29 = 0$, agrupe-a completando quadrados para demonstrar que se trata de uma hipérbole. Calcule as…
Dada a equação geral de uma cônica $9x^2 - 4y^2 + 54x + 16y + 29 = 0$, agrupe-a completando quadrados para demonstrar que se trata de uma hipérbole. Calcule as coordenadas do centro, dos focos e dos vértices dela.
Reta e hipérbole
Para estudar reta e hipérbole, substitua a reta na equação da curva e analise o discriminante $\Delta$ da equação obtida:
-
$\Delta>0$: reta secante (dois pontos);
-
$\Delta=0$: reta tangente (um ponto);
-
$\Delta<0$: reta exterior (nenhum ponto).
Para a tangente em um ponto $P(x_0, y_0)$ da curva $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$, vale a equação $\dfrac{x_0x}{a^2}-\dfrac{y_0y}{b^2}=1$ (use-a sem demonstrar). A reta normal é a perpendicular à tangente por $P$.
Calcule os pontos de interseção da reta $x - y - 2 = 0$ e da hipérbole $x^2 - 2y^2 = 2$. Em seguida, determine o comprimento exato da corda que delimita a reta ao cortar…
Calcule os pontos de interseção da reta $x - y - 2 = 0$ e da hipérbole $x^2 - 2y^2 = 2$. Em seguida, determine o comprimento exato da corda que delimita a reta ao cortar a cônica.
Encontre a equação da reta tangente e da reta normal à hipérbole $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ no ponto $P\left(5, \frac{9}{4}\right)$.
Encontre a equação da reta tangente e da reta normal à hipérbole $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ no ponto $P\left(5, \frac{9}{4}\right)$.
Determine os valores do parâmetro $k$ para os quais a reta $y = x + k$ é tangente, secante ou exterior à hipérbole $x^2 - 2y^2 = 4$.
Determine os valores do parâmetro $k$ para os quais a reta $y = x + k$ é tangente, secante ou exterior à hipérbole $x^2 - 2y^2 = 4$.
Aplicações
A diferença constante de distâncias é a base da localização por diferença de tempo: duas estações (ou sensores) recebem o mesmo sinal em instantes diferentes; multiplicando a diferença de tempo pela velocidade da onda, obtém-se $2a$, e a fonte está sobre um ramo de hipérbole com focos nas estações. Esse princípio é usado em sonares, estações sismográficas e sistemas de navegação.
Volte ao início: o celular que ouviu o estrondo antes está mais perto da fonte. A diferença de tempo, multiplicada pela velocidade do som, dá $2a$, e a fonte está sobre o ramo de hipérbole mais próximo do celular que ouviu primeiro.
No projeto de uma torre de resfriamento para uma usina térmica, a estrutura tem forma de hiperboloide de revolução. A seção transversal vertical é uma hipérbole com o…
No projeto de uma torre de resfriamento para uma usina térmica, a estrutura tem forma de hiperboloide de revolução. A seção transversal vertical é uma hipérbole com o centro na origem das coordenadas. A torre tem uma altura total de $160\text{ m}$. A parte mais estreita (a garganta) tem um diâmetro de $60\text{ m}$ e se encontra a uma altura de $120\text{ m}$ sobre a base. Além disso, o diâmetro na parte mais alta da torre é de $100\text{ m}$. Determine a equação da hipérbole que perfila a torre e calcule o diâmetro da base circular.
O sistema de navegação LORAN determina a posição de um navio medindo a diferença de tempo na recepção de sinais de duas estações de rádio. As estações $A$ e $B$ estão…
O sistema de navegação LORAN determina a posição de um navio medindo a diferença de tempo na recepção de sinais de duas estações de rádio. As estações $A$ e $B$ estão situadas em um sistema de coordenadas cartesianas nos pontos $(-60, 0)$ e $(60, 0)$, com as distâncias expressas em quilômetros. Um navio $P$ recebe o sinal de $A$ um tempo depois do sinal de $B$, o que indica que o navio está $100\text{ km}$ mais perto de $B$ do que de $A$. Determine a equação da hipérbole sobre a qual o navio navega e calcule a distância do navio à estação $B$ sabendo que sua ordenada é $y = 45\text{ km}$.
Um cometa interestelar aproxima-se do sistema solar seguindo uma trajetória hiperbólica, com o Sol situado em um dos seus focos. Na sua aproximação máxima (periélio), o…
Um cometa interestelar aproxima-se do sistema solar seguindo uma trajetória hiperbólica, com o Sol situado em um dos seus focos. Na sua aproximação máxima (periélio), o cometa passa a $2\text{ UA}$ (unidades astronômicas) do Sol. As observações astronômicas indicam que o ângulo formado pelas duas assíntotas da trajetória do cometa é de $60^\circ$. Tomando o Sol no foco de abscissa positiva e o eixo focal sobre o eixo $X$ (com o vértice à esquerda do Sol), determine a equação da trajetória do cometa e a distância a que ele estará do Sol quando cruzar a vertical do Sol.