Problemas com cônicas e lugares geométricos
Uma antena parabólica, a órbita de um satélite, o sinal que chega a um receptor de GPS: tudo isso é cônica. Você já conhece as quatro curvas separadamente. O desafio agora é decidir rápido qual delas aparece, a partir de uma equação ou de um enunciado, e então resolver o problema inteiro, em vários passos.
Retas notáveis: mediatriz e bissetrizes
Dois lugares geométricos de retas aparecem o tempo todo em problemas com cônicas.
A mediatriz de $AB$ é o conjunto dos pontos $P$ com $d(P,A)=d(P,B)$. Ela passa pelo ponto médio de $AB$ e é perpendicular a $AB$.
As bissetrizes de duas retas concorrentes são os pontos que estão à mesma distância das duas retas. Como a distância de $P(x,y)$ à reta $ax+by+c=0$ é $\dfrac{\lvert ax+by+c\rvert}{\sqrt{a^2+b^2}}$, igualamos as duas distâncias. O módulo gera dois sinais, e portanto duas bissetrizes, perpendiculares entre si.
Circuncentro. O ponto equidistante de três pontos $A$, $B$, $C$ é o encontro das mediatrizes de dois lados. Ele é o centro da circunferência que passa pelos três pontos, e a distância dele a qualquer um deles é o raio.
Encontre a equação da mediatriz do segmento cujos extremos são os pontos $A(2, -3)$ e $B(-4, 5)$.
Encontre a equação da mediatriz do segmento cujos extremos são os pontos $A(2, -3)$ e $B(-4, 5)$.
Escreva as equações das bissetrizes dos ângulos formados pelas retas $r: 3x - 4y + 12 = 0$ e $s: 5x + 12y - 10 = 0$.
Escreva as equações das bissetrizes dos ângulos formados pelas retas $r: 3x - 4y + 12 = 0$ e $s: 5x + 12y - 10 = 0$.
Três estações sísmicas detectam um terremoto nas coordenadas $A(1, 4)$, $B(-3, 2)$ e $C(5, -2)$ (em quilômetros). Supondo que as ondas sísmicas viajam à mesma velocidade…
Três estações sísmicas detectam um terremoto nas coordenadas $A(1, 4)$, $B(-3, 2)$ e $C(5, -2)$ (em quilômetros). Supondo que as ondas sísmicas viajam à mesma velocidade e chegam ao mesmo tempo às três estações, encontre as coordenadas do epicentro e o raio da zona afetada (distância às estações).
Qual cônica é? Olhe a equação geral
Para obter centro, raio ou eixos, complete quadrados em $x$ e em $y$ separadamente e leve a equação à forma reduzida.
Na circunferência, após completar quadrados, o lado direito é $r^2$. Se ele for $0$, a "curva" é um único ponto; se for negativo, não há pontos.
Determine as coordenadas do centro e o comprimento do raio da circunferência cuja equação geral é $x^2 + y^2 - 8x + 10y - 8 = 0$.
Determine as coordenadas do centro e o comprimento do raio da circunferência cuja equação geral é $x^2 + y^2 - 8x + 10y - 8 = 0$.
Uma circunferência tem o seu centro no ponto $C(-3, 5)$ e passa pela origem do sistema de coordenadas. Escreva a equação reduzida e a equação geral dela.
Uma circunferência tem o seu centro no ponto $C(-3, 5)$ e passa pela origem do sistema de coordenadas. Escreva a equação reduzida e a equação geral dela.
Dada a cônica de equação geral $9x^2 + 25y^2 - 54x + 200y + 256 = 0$. Classifique-a completando quadrados e encontre as coordenadas do seu centro, dos seus vértices, dos…
Dada a cônica de equação geral $9x^2 + 25y^2 - 54x + 200y + 256 = 0$. Classifique-a completando quadrados e encontre as coordenadas do seu centro, dos seus vértices, dos seus focos e o valor da sua excentricidade.
Elementos de cada cônica na forma reduzida
Com a equação reduzida, os elementos saem direto. Com o centro na origem:
| Cônica | Equação | Relações | Elementos |
|---|---|---|---|
| Elipse (eixo maior horizontal) | $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, $a>b$ | $a^2=b^2+c^2$, $e=\dfrac ca<1$ | focos $(\pm c, 0)$, vértices $(\pm a, 0)$ |
| Hipérbole (eixo transverso horizontal) | $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ | $c^2=a^2+b^2$, $e=\dfrac ca>1$ | focos $(\pm c, 0)$, vértices $(\pm a, 0)$, assíntotas $y=\pm\dfrac bax$ |
| Parábola (eixo horizontal) | $y^2=2px$ | $p$ = distância do foco à diretriz | foco $\left(\dfrac p2, 0\right)$, diretriz $x=-\dfrac p2$, vértice $(0,0)$ |
Se a variável do eixo focal for $y$, troque os papéis de $x$ e $y$. Na elipse, $a$ é sempre o maior denominador. Na hipérbole, $a^2$ fica sempre sob o termo positivo. Na parábola, o sinal de $p$ diz para onde ela abre: $p>0$ abre para $+x$ e $p<0$ abre para $-x$.
Encontre o comprimento dos semieixos, as coordenadas dos focos e a excentricidade da elipse de equação $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$.
Encontre o comprimento dos semieixos, as coordenadas dos focos e a excentricidade da elipse de equação $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$.
Dada a hipérbole de equação $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determine seus vértices, seus focos e as equações de suas assíntotas.
Dada a hipérbole de equação $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determine seus vértices, seus focos e as equações de suas assíntotas.
Encontre as coordenadas do vértice, do foco e a equação da reta diretriz da parábola $y^2 = -20x$.
Encontre as coordenadas do vértice, do foco e a equação da reta diretriz da parábola $y^2 = -20x$.
Qual cônica é? Olhe o enunciado
Quando não há equação, descubra qual condição de distância o problema impõe:
| Condição sobre $P$ | Lugar geométrico |
|---|---|
| distância constante a um ponto | circunferência |
| soma das distâncias a dois pontos constante | elipse |
| diferença (em módulo) das distâncias a dois pontos constante | hipérbole |
| mesma distância a um ponto e a uma reta | parábola |
| mesma distância a dois pontos | mediatriz (reta) |
| $d(P,A)=k\cdot d(P,B)$, com $k\neq1$ | circunferência (de Apolônio) |
Identifique o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença de distâncias, em valor absoluto, aos pontos $F_1(5, 0)$ e $F_2(-5, 0)$ é sempre igual a $8$. Escreva a…
Identifique o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença de distâncias, em valor absoluto, aos pontos $F_1(5, 0)$ e $F_2(-5, 0)$ é sempre igual a $8$. Escreva a sua equação reduzida.
Em uma prova de Geometria Analítica, o Marcos se depara com o seguinte enunciado: «Determine o lugar geométrico dos pontos $P(x, y)$ do plano cuja distância ao ponto…
Em uma prova de Geometria Analítica, o Marcos se depara com o seguinte enunciado: «Determine o lugar geométrico dos pontos $P(x, y)$ do plano cuja distância ao ponto $A(-3, 0)$ é exatamente o triplo da sua distância ao ponto $B(1, 0)$». Sem fazer cálculos, o Marcos afirma: «Como intervêm dois pontos fixos que atuam como focos e uma constante de proporcionalidade, a curva resultante é com certeza uma elipse com focos em $A$ e $B$».
- a) Explique de forma fundamentada o erro conceitual cometido pelo Marcos, a partir da definição métrica rigorosa da elipse em comparação com a condição dada no enunciado.
- b) Formule analiticamente a condição do enunciado ($d(P, A) = 3 \cdot d(P, B)$), elimine os radicais e obtenha a equação reduzida ou ordinária da cônica para demonstrar ao Marcos que figura geométrica se obtém realmente, especificando as coordenadas do seu centro e o valor do seu raio.
Um drone submarino se move de tal forma que a sua distância a uma boia fixa em $A(-2, 0)$ é sempre o dobro da sua distância a outra boia fixa em $B(4, 0)$. Encontre a…
Um drone submarino se move de tal forma que a sua distância a uma boia fixa em $A(-2, 0)$ é sempre o dobro da sua distância a outra boia fixa em $B(4, 0)$. Encontre a equação da trajetória do drone, simplifique-a e identifique que tipo de curva geométrica ela descreve.
Lugares geométricos por inclinações e por diretriz
Há duas condições clássicas que também geram cônicas.
Produto dos coeficientes angulares. Fixe $A(-a, 0)$ e $B(a, 0)$. Os pontos $P(x,y)$ tais que o produto dos coeficientes angulares de $PA$ e $PB$ vale $k$ satisfazem
$$\frac{y}{x+a}\cdot\frac{y}{x-a}=k\ \Rightarrow\ y^2=k\,(x^2-a^2),$$com $x\neq\pm a$, pois nesses pontos uma das retas é vertical. Se $k<0$, a curva é uma elipse (circunferência se $k=-1$). Se $k>0$, é uma hipérbole.
Foco, diretriz e excentricidade. Se a distância de $P$ a um ponto $F$ é $e$ vezes a distância de $P$ a uma reta $d$, ou seja, $d(P,F)=e\cdot d(P,d)$, então a curva é elipse ($e<1$), parábola ($e=1$) ou hipérbole ($e>1$). Na elipse e na hipérbole com centro na origem, as diretrizes ficam em $x=\pm\dfrac ae$.
Encontre o lugar geométrico dos pontos do plano $P(x, y)$ tais que o produto dos coeficientes angulares das retas que os unem aos pontos fixos $A(-4, 0)$ e $B(4, 0)$ é…
Encontre o lugar geométrico dos pontos do plano $P(x, y)$ tais que o produto dos coeficientes angulares das retas que os unem aos pontos fixos $A(-4, 0)$ e $B(4, 0)$ é igual a $-\frac{9}{16}$. Identifique a cônica resultante, calcule sua excentricidade e represente-a graficamente.
Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância ao ponto fixo $F(4, 0)$ é igual à metade da sua distância à reta vertical $x = 16$. Identifique…
Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância ao ponto fixo $F(4, 0)$ é igual à metade da sua distância à reta vertical $x = 16$. Identifique a cônica resultante, encontre seus semieixos e represente-a graficamente ilustrando a propriedade da diretriz.
Construir a equação a partir de condições; hipérbole equilátera
Para construir uma cônica com condições dadas, siga a ordem: (1) tipo de cônica e centro, (2) o que cada condição diz sobre $a$, $b$, $c$, (3) equação reduzida, (4) desenvolva para a equação geral.
Uma hipérbole é equilátera quando $a=b$. Então as assíntotas são $y=\pm x$ (perpendiculares) e $e=\sqrt2$. Centrada em $(h,k)$, sua equação é $(x-h)^2-(y-k)^2=\pm a^2$.
A hipérbole $xy=k$. Quando as assíntotas são os eixos coordenados, a hipérbole equilátera é $xy=k$ (a famosa $y=\frac kx$ da proporção inversa). Ela é a hipérbole $x^2-y^2=a^2$ girada $45^\circ$. Para $k>0$ (usar, sem demonstrar):
-
$a=b=\sqrt{2k}$, e o eixo transverso fica sobre a reta $y=x$;
-
vértices $\left(\sqrt k,\sqrt k\right)$ e $\left(-\sqrt k,-\sqrt k\right)$;
-
focos $\left(\sqrt{2k},\sqrt{2k}\right)$ e $\left(-\sqrt{2k},-\sqrt{2k}\right)$.
Modele e construa, justificando a escolha de cada parâmetro, a equação geral de uma cônica da forma $Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0$ com coeficientes inteiros que…
Modele e construa, justificando a escolha de cada parâmetro, a equação geral de uma cônica da forma $Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0$ com coeficientes inteiros que satisfaça simultaneamente as seguintes três condições:
1) É uma hipérbole equilátera (as suas assíntotas são perpendiculares entre si e vale que $a = b$).
2) O seu centro está situado no ponto $C(2, -1)$.
3) Passa pela origem do sistema de coordenadas $(0, 0)$.
Depois de obter a equação geral desenvolvida, explique detalhadamente que relação entre os sinais e valores dos coeficientes $A$ e $B$ garante que a cônica seja uma hipérbole e por que razão as suas assíntotas resultam perpendiculares.
Uma partícula subatômica move-se em um campo magnético descrevendo uma trajetória hiperbólica equilátera cujas assíntotas coincidem com os eixos coordenados. Sabendo que…
Uma partícula subatômica move-se em um campo magnético descrevendo uma trajetória hiperbólica equilátera cujas assíntotas coincidem com os eixos coordenados. Sabendo que a partícula passa pelo ponto $P(4, 2)$, resolva:
- a) Determine a equação da trajetória.
- b) Determine as coordenadas exatas dos vértices e dos focos.
- c) Represente graficamente a curva (na figura você tem os eixos e o ponto $P$; você pode copiá-la para o seu caderno).
Você pode fazê-lo em papel e enviar uma foto com a sua resposta.
Problemas de contexto com vários passos
Problemas reais quase nunca dão $a$, $b$ ou $c$ diretamente. Primeiro traduza o enunciado para esses dados e escolha um sistema de coordenadas conveniente (de preferência com a origem no centro ou no vértice).
Outros "tradutores" úteis:
-
Torre de resfriamento (hipérbole): a parte mais estreita (a "cintura") é o vértice, e a largura dela é $2a$. Um ponto da base dá a segunda equação para achar $b$. Cuidado: o ponto está abaixo da cintura, então sua coordenada $y$ é negativa se o centro está na cintura.
-
Cabo de ponte pênsil (parábola): o ponto mais baixo é o vértice. Se o vértice não é a origem, use $(x-h)^2=2p(y-k)$.
Um satélite descreve uma órbita elíptica em torno de um planeta, o qual se encontra situado em um dos seus focos. A distância mínima do satélite ao planeta (periastro) é…
Um satélite descreve uma órbita elíptica em torno de um planeta, o qual se encontra situado em um dos seus focos. A distância mínima do satélite ao planeta (periastro) é de $3 \text{ Mm}$ e a distância máxima (apoastro) é de $9 \text{ Mm}$. Determine a equação da órbita e a sua excentricidade, supondo que o centro da elipse está na origem e o eixo focal coincide com o eixo das abscissas.
A seção transversal de uma torre de resfriamento nuclear tem a forma de uma hipérbole. A parte mais estreita da torre mede $40 \text{ m}$ de largura e fica a…
A seção transversal de uma torre de resfriamento nuclear tem a forma de uma hipérbole. A parte mais estreita da torre mede $40 \text{ m}$ de largura e fica a $50 \text{ m}$ de altura em relação ao solo. Se a base da torre tem uma largura de $80 \text{ m}$, encontre a equação da hipérbole supondo que o seu centro coincide com o centro da parte mais estreita.
O cabo principal de uma ponte pênsil adota a forma parabólica. As duas torres que o sustentam estão separadas por $120 \text{ m}$ e têm uma altura de $40 \text{ m}$…
O cabo principal de uma ponte pênsil adota a forma parabólica. As duas torres que o sustentam estão separadas por $120 \text{ m}$ e têm uma altura de $40 \text{ m}$ sobre o tabuleiro da ponte. O ponto mais baixo do cabo encontra-se a $10 \text{ m}$ sobre o tabuleiro. Determine a equação da parábola e calcule a altura do cabo a $30 \text{ m}$ do centro da ponte.
Retas e cônicas: interseções
Para achar os pontos comuns de uma reta e uma cônica, substitua a reta (isolando $y$ ou $x$) na equação da cônica. Resulta uma equação do 2º grau, e o discriminante decide:
-
$\Delta>0$: reta secante (dois pontos);
-
$\Delta=0$: reta tangente (um ponto);
-
$\Delta<0$: reta exterior (nenhum ponto).
Na circunferência, há um atalho geométrico: compare a distância $d$ do centro à reta com o raio $r$ (fórmula de distância ponto–reta). Isso serve também para um disco (a região $\leq$): o disco encontra a reta quando $d\leq r$.
Para a elipse o procedimento é o mesmo: substitua e analise $\Delta$. Se $\Delta=0$, a reta é tangente.
Um radar marítimo tem um alcance de detecção modelado pelo círculo $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 \leq 0$. Um navio segue uma trajetória retilínea dada pela equação…
Um radar marítimo tem um alcance de detecção modelado pelo círculo $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 \leq 0$. Um navio segue uma trajetória retilínea dada pela equação $3x + 4y + k = 0$. Determine os valores do parâmetro $k$ para os quais o navio é detectado pelo radar em algum momento de sua trajetória.
Calcule os pontos de interseção entre a circunferência $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ e a reta $x - y - 2 = 0$. Represente graficamente a situação mostrando ambos os…
Calcule os pontos de interseção entre a circunferência $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ e a reta $x - y - 2 = 0$. Represente graficamente a situação mostrando ambos os lugares geométricos e os pontos de corte.
Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.
Considere a elipse de equação reduzida $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ e a reta $r: x + y - 4 = 0$. a) Antes de efetuar cálculos algébricos, faça uma estimativa…
Considere a elipse de equação reduzida $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ e a reta $r: x + y - 4 = 0$.
- a) Antes de efetuar cálculos algébricos, faça uma estimativa geométrica fundamentada: obtenha os quatro vértices da elipse, determine os pontos de interseção da reta $r$ com os eixos coordenados e deduza justificadamente se a reta é exterior, tangente ou secante à elipse, indicando se você espera encontrar zero, um ou dois pontos de interseção.
- b) Confirme a sua estimativa mediante o método analítico: estabeleça o sistema de equações, substitua a reta na elipse, calcule o discriminante ($\Delta$) da equação do segundo grau resultante e interprete o seu sinal. Por fim, determine as coordenadas exatas dos pontos de contato para confirmar se a sua previsão inicial estava correta.
Tangentes a uma cônica
Tangente em um ponto $(x_0,y_0)$ da curva. Troque, na equação, cada termo pelo "desdobramento":
-
Elipse $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$: $\ \dfrac{x_0\,x}{a^2}+\dfrac{y_0\,y}{b^2}=1$.
-
Parábola $y^2=2px$: $\ y_0\,y=p\,(x+x_0)$.
-
Circunferência com centro $C$: a tangente é perpendicular ao raio $CP_0$.
Tangentes traçadas de um ponto exterior $P$. Existem dois caminhos, e ambos usam o feixe de retas $y-y_P=m(x-x_P)$:
-
Método A (discriminante): substitua o feixe na cônica e imponha $\Delta=0$.
-
Método B (distância, só para circunferência): imponha $d(C,\text{reta})=r$.
O método B quase sempre dá contas mais curtas. Os dois levam às mesmas equações.
Ângulo entre duas retas. Com coeficientes angulares $m_1$ e $m_2$: $\operatorname{tg}\theta=\left\lvert\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right\rvert$. Para uma reta vertical, use diretamente o ângulo que a outra reta faz com a vertical.
Propriedade refletora (só enunciar): na parábola, todo raio que sai do foco reflete paralelo ao eixo (faróis, antenas parabólicas). Na elipse, todo raio que sai de um foco reflete passando pelo outro.
Um raio laser incide sobre um espelho elíptico cuja forma é dada pela equação $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$. O ponto de incidência tem abcissa $x = 3$ e ordenada…
Um raio laser incide sobre um espelho elíptico cuja forma é dada pela equação $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$. O ponto de incidência tem abcissa $x = 3$ e ordenada positiva. Encontre a equação da reta tangente ao espelho em tal ponto.
A partir de uma estação de controle situada no ponto $P(0, 7)$ são enviados sinais de laser a um satélite cuja órbita circular nesse instante é dada pela equação…
A partir de uma estação de controle situada no ponto $P(0, 7)$ são enviados sinais de laser a um satélite cuja órbita circular nesse instante é dada pela equação $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 15 = 0$. Encontre as equações das duas trajetórias retilíneas tangentes à órbita a partir da estação de controle.
Para determinar as retas tangentes à circunferência $C: x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ traçadas a partir do ponto exterior $P(5, 5)$, propõem-se dois caminhos…
Para determinar as retas tangentes à circunferência $C: x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ traçadas a partir do ponto exterior $P(5, 5)$, propõem-se dois caminhos metodológicos:
-
Método A (Algébrico geral): Estabelecer o feixe de retas que passa por $P$, $y - 5 = m(x - 5)$, substituir na cônica e impor que o discriminante da equação do segundo grau resultante seja nulo ($\Delta = 0$).
-
Método B (Geométrico métrico): Obter o centro $C$ e o raio $R$ da circunferência completando quadrados, e impor que a distância do centro à reta geral $mx - y + (5 - 5m) = 0$ seja igual ao raio ($d(C, r) = R$).
- a) Resolva o problema aplicando ambos os métodos de forma completa para obter os valores dos coeficientes angulares $m$ e escreva as equações gerais das duas tangentes resultantes.
- b) Compare criticamente ambos os métodos: qual dos dois se revela visivelmente mais ágil e com menor carga de cálculo neste caso? Você poderia aplicar o Método B com a mesma simplicidade se a cônica fosse uma elipse da forma $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$? Justifique a sua resposta a partir das propriedades geométricas de ambas as curvas.
Reflexão em espelhos cônicos
Os problemas com faróis, salas de sussurro e espelhos usam a propriedade refletora: o raio incidente, a tangente e o raio refletido se relacionam por ângulos iguais. O roteiro é sempre o mesmo:
-
escolha o sistema de coordenadas e ache a equação da cônica (focos, $a$, $b$ ou $p$);
-
ache o ponto de incidência;
-
ache a tangente nesse ponto;
-
calcule o ângulo pedido.
Sala elíptica. Se uma sala tem teto semielíptico, com $2a$ no chão e altura $b$ no centro, os focos ficam no chão, a distância $c=\sqrt{a^2-b^2}$ do centro. Quem sussurra em um foco é ouvido no outro.
Inspirando-se na célebre «Sala de los Secretos» do Monasterio de El Escorial (Madrid), uma sala de divulgação científica tem uma abóbada de seção semielíptica para…
Inspirando-se na célebre «Sala de los Secretos» do Monasterio de El Escorial (Madrid), uma sala de divulgação científica tem uma abóbada de seção semielíptica para aproveitar a propriedade acústica focal: qualquer sussurro emitido a partir de um dos seus focos reflete no teto e é escutado com nitidez no outro foco. A base horizontal do chão mede $10\text{ m}$ de largura (eixo maior coincidente com o chão) e a altura máxima no centro da sala é de $3\text{ m}$.
- a) Posicione a origem de coordenadas no centro do chão e escreva a equação reduzida da elipse que modela a seção da cobertura, identificando os semieixos $a$ e $b$.
- b) A que distância exata das paredes laterais devem ficar em pé dois visitantes para estarem sobre os focos acústicos e vivenciarem o fenômeno?
- c) Uma escultura vertical de $2,5\text{ m}$ de altura vai ser colocada em pé sobre o chão a uma distância horizontal de $3\text{ m}$ em relação ao centro da sala. Justifique, por meio do cálculo da altura do teto nesse ponto, se a escultura vai ou não tocar na cobertura.
Um farol de automóvel tem uma seção transversal parabólica. A lâmpada se encontra no foco $F(3, 0)$ e o vértice da parábola está na origem das coordenadas. Um raio de…
Um farol de automóvel tem uma seção transversal parabólica. A lâmpada se encontra no foco $F(3, 0)$ e o vértice da parábola está na origem das coordenadas. Um raio de luz sai da lâmpada, incide na parábola em um ponto de ordenada $y = 6$ e se reflete. Calcule a equação da reta tangente no ponto de incidência e encontre o ângulo que o raio incidente forma com essa tangente.
Cônica com cônica: sistemas e eixo radical
Cônica com cônica. Para achar os pontos comuns, resolva o sistema. O truque é eliminar uma variável por substituição, aproveitando termos iguais. Sempre verifique as soluções na equação original: algumas raízes da equação auxiliar podem ser impossíveis (por exemplo, um $x$ negativo em $y^2=4x$).
Eixo radical de duas circunferências. Escreva as duas na forma geral ($x^2+y^2+\dots=0$) e subtraia as equações. Os termos $x^2$ e $y^2$ somem e o que resta é uma reta: o eixo radical. Se as circunferências são secantes, ele contém os dois pontos de interseção (é a reta da corda comum), e é perpendicular à reta dos centros.
Para as circunferências serem secantes, compare a distância $d$ entre os centros com os raios: $\lvert R-r\rvert Um cometa segue uma trajetória parabólica dada pela equação $y^2 = 8x$. Um asteroide segue uma órbita hiperbólica equilátera descrita por $x^2 - y^2 = 9$. Encontre as coordenadas exatas dos pontos de interseção de ambas as trajetórias. Duas redes de telecomunicações têm áreas de cobertura modeladas pelas circunferências $C_1: x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ e $C_2: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$. Encontre a equação do eixo radical, demonstre analiticamente que as circunferências são secantes e calcule a distância exata entre os seus pontos de interseção.Um cometa segue uma trajetória parabólica dada pela equação $y^2 = 8x$. Um asteroide segue uma órbita hiperbólica equilátera descrita por $x^2 - y^2 = 9$. Encontre as…
Duas redes de telecomunicações têm áreas de cobertura modeladas pelas circunferências $C_1: x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ e $C_2: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$. Encontre a…
Das elipses às hipérboles: o desafio
A excentricidade liga tudo: $e=0$ (circunferência), $0
Para uma elipse com $a$ (semieixo maior) e $e$ dados: $c=a\cdot e$ e $b=\sqrt{a^2-c^2}$. Para uma hipérbole: $c=a\cdot e$ e $b=\sqrt{c^2-a^2}$.
Em problemas de rastreamento por diferença de distâncias (sonar, estações que ouvem um sinal), a condição $d(P,A)-d(P,B)=2a$ sem módulo descreve um só ramo da hipérbole: o ramo mais próximo do ponto de onde o sinal chega primeiro. Com módulo, são os dois ramos.
O centro de Salvamento Marítimo de Finisterre (Galiza) monitora a trajetória de uma boia à deriva no oceano por meio de duas estações fixas situadas em $A(-5, 0)$ e…
O centro de Salvamento Marítimo de Finisterre (Galiza) monitora a trajetória de uma boia à deriva no oceano por meio de duas estações fixas situadas em $A(-5, 0)$ e $B(5, 0)$ (coordenadas em quilômetros).
- a) Em uma primeira fase, a boia $P(x, y)$ emite impulsos acústicos que chegam a $B$ antes de chegarem a $A$, mantendo-se constante a diferença de distâncias às duas estações: $d(P, A) - d(P, B) = 6\text{ km}$. Identifique, justificando, sobre que tipo de cônica e sobre qual dos seus dois ramos a boia se desloca, deduza seus parâmetros ($a, b, c$) e escreva sua equação reduzida.
- b) Em uma segunda fase, a boia entra na área litorânea em frente a uma linha reta de costa descrita por $r: x = -7$. Os sensores registram que, nesse trecho, a boia se move mantendo em todos os momentos a mesma distância à estação $A(-5, 0)$ e à linha de costa $r$. Identifique essa segunda cônica, determine as coordenadas do seu vértice, do seu foco e o seu parâmetro $p$, e obtenha sua equação canônica ou reduzida.
- c) Determine analiticamente as coordenadas dos pontos onde as duas trajetórias registradas podem ter se cruzado (interseção das duas cônicas na região $x > 0$) e discuta a coerência geométrica das soluções obtidas.
Desafio do tema. Missão de resgate orbital: da elipse à hipérbole. O seu objetivo é modelar a trajetória de um corpo celeste e analisar formalmente suas transições…
Desafio do tema. Missão de resgate orbital: da elipse à hipérbole.
O seu objetivo é modelar a trajetória de um corpo celeste e analisar formalmente suas transições cônicas.
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Coleta de dados: Entre no banco de dados JPL Small-Body Database da NASA e selecione um cometa ou asteroide próximo da Terra. Anote o semieixo maior $a$ (em UA, ex. $1,45\text{ UA}$) e a excentricidade $e$ dele.
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Construção no GeoGebra: Defina a elipse como lugar geométrico a partir de seus focos. Deduza a equação reduzida $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, calculando $b=\sqrt{a^2-c^2}$. Represente também a circunferência diretriz associada de raio $a$.
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Limites e continuidade: Modele a excentricidade como função contínua $e(c)=\frac{c}{a}$ em $[0, a]$. Justifique a continuidade dela e calcule $\lim_{c \to 0} e(c)$ para explicar geometricamente o caso limite da circunferência. Considere o que acontece se uma perturbação elevar $e > 1$, transformando a órbita em uma hipérbole de escape; determine analiticamente suas assíntotas $y = \pm \frac{b}{a}x$, redefinindo para a hipérbole $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ o parâmetro $b=\sqrt{c^2-a^2}$ (agora $c>a$).
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Produto final: Elabore um relatório sintético (no máximo duas páginas) com o arquivo ou capturas de tela do GeoGebra, os desenvolvimentos algébricos e suas conclusões físicas.
Será valorizado:
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Precisão na modelagem das cônicas a partir dos dados astronômicos reais.
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Rigor algébrico na dedução de lugares geométricos, continuidade e cálculo de limites.
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Qualidade analítica e justificativa geométrica das transições orbitais no relatório.
Voltando ao começo: para reconhecer a cônica, olhe os coeficientes dos termos quadráticos (na equação) ou a operação que as distâncias mantêm constante (no enunciado). Depois traduza os dados para $a$, $b$, $c$ ou $p$ e resolva.