Equações racionais

Resolva a seguinte equação racional, indicando claramente suas soluções válidas:

$\frac{3}{x} - \frac{1}{x+2} = \frac{5}{x(x+2)}$

Determine a solução da equação, prestando atenção aos valores que anulam os denominadores:

$\frac{2x}{x+1} + \frac{1}{x-1} = 2$

Resolva a equação racional reduzindo previamente ao mesmo denominador:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{3x} = \frac{11}{6}$

Encontre as soluções da seguinte equação:

$\frac{4}{x-2} - \frac{3}{x+2} = \frac{1}{x^2-4}$

Determine os valores de $x$ que satisfazem a seguinte igualdade:

$\frac{x+3}{x-1} = \frac{x-2}{x+1}$

Calcule os valores reais de $x$ para os quais vale a seguinte expressão:

$\frac{x^2-9}{x-3} = 6$

Resolva a equação racional fatorando previamente os denominadores para encontrar o mínimo múltiplo comum:

$\frac{x}{x^2-4} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x-2}$

Determine o número real $x$ que satisfaz a igualdade entre estas duas frações algébricas:

$\frac{x-1}{x} = \frac{x}{x+3}$

Resolva a seguinte equação racional:

$\frac{2}{x+3} + \frac{x}{x-3} = 1$

O Marcos precisa resolver na aula a seguinte equação racional:

No caderno dele, escreve os seguintes passos:

1. Fatora o denominador da direita: $x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)$.

2. Multiplica toda a equação por $(x-3)(x+1)$ e simplifica: $x(x+1) - 3(x-3) = 12$.

3. Desenvolve e reduz termos semelhantes: $x^2 + x - 3x + 9 = 12 \implies x^2 - 2x - 3 = 0$.

4. Aplica a fórmula de Bhaskara e obtém $x = 3$ e $x = -1$.

5. Conclui: «A equação tem duas soluções reais: $x_1 = 3$ e $x_2 = -1$».

Identifique o erro conceitual cometido pelo Marcos, explique com rigor matemático por que sua conclusão final é falsa, verificando o que acontece ao substituir esses valores na equação original, e determine qual é o verdadeiro conjunto solução.

Para resolver a equação racional:

dois alunos propõem estratégias distintas antes de operar:

• A Júlia propõe multiplicar diretamente cada termo pelo produto dos dois denominadores visíveis, $(x-1)\cdot(x^2-1)$, para não precisar fatorar.

• O Matheus insiste que primeiro se deve fatorar $x^2-1 = (x-1)(x+1)$ para multiplicar toda a equação unicamente pelo mínimo múltiplo comum, $(x-1)(x+1)$.

Compare os dois caminhos: justifique que inconvenientes algébricos (grau da equação resultante, volume de cálculo e possível aparecimento de soluções estranhas) a proposta da Júlia apresenta em relação à do Matheus. Depois, resolva a equação aplicando o método ótimo, indicando as restrições iniciais do domínio e verificando a validade das soluções obtidas.

Encontre as soluções da seguinte equação, descartando aquelas que resultarem falsas (soluções estranhas):

$\frac{2x+1}{x^2-x-6} - \frac{x}{x-3} = \frac{1}{x+2}$

Resolva a equação simplificando as frações algébricas:

$\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = \frac{4}{x^2-1}$

Determine os valores de $x$ que satisfazem a seguinte equação:

$\frac{x^2-x}{x^2-4x+3} = \frac{2x}{x-3} - 1$

Duas impressoras 3D trabalhando juntas levam $6$ horas para fabricar um lote completo de peças para um projeto de engenharia. Se trabalhassem separadamente, a impressora A levaria $5$ horas a menos que a impressora B para completar o mesmo lote. Monte uma equação racional e determine quanto tempo a impressora A levaria trabalhando sozinha.

Um trem de mercadorias deve percorrer uma distância de $300\text{ km}$. Se aumentasse sua velocidade média em $10\text{ km/h}$, levaria $1$ hora a menos para realizar o trajeto completo. Monte uma equação racional e calcule a velocidade média inicial do trem.

Um grupo de estudantes aluga um ônibus para uma excursão por um preço total de $400\text{ \text{R\$}\ }$. De última hora, mais $5$ estudantes se inscrevem na viagem, o que faz com que cada um dos que iam inicialmente pague $4\text{ \text{R\$}\ }$ a menos. Monte uma equação racional para calcular quantos estudantes formavam o grupo original.

Um designer gráfico está criando um cartaz retangular cuja área deve ser exatamente de $600\text{ cm}^2$. Se aumentasse a base do cartaz em $10\text{ cm}$ e reduzisse a altura em $5\text{ cm}$, a área total continuaria sendo a mesma. Monte uma equação racional e determine as dimensões originais do cartaz.

Após chuvas torrenciais provocadas por um sistema de baixa pressão na bacia do rio São Francisco, os bombeiros têm de escoar a água acumulada em uma passagem subterrânea. A motobomba municipal habitual demoraria $6\text{ horas}$ para esvaziá-la trabalhando sozinha. Ao incorporar uma segunda motobomba mais moderna de reforço, ambas funcionando simultaneamente conseguem esvaziá-la completamente em $2,4\text{ horas}$.

1. a) Estime e raciocine: antes de propor qualquer equação, justifique por que o tempo que a bomba moderna demoraria sozinha deve ser necessariamente menor que $6\text{ horas}$ mas estritamente maior que $2,4\text{ horas}$. Além disso, explique se você espera que demore mais ou menos de $3\text{ horas}$, comparando as $2,4\text{ horas}$ com o tempo que demorariam juntas se a moderna demorasse exatamente $3\text{ horas}$.
2. b) Formule a equação racional do trabalho conjunto por hora tomando como incógnita $t$ (tempo em horas que a bomba de reforço demoraria trabalhando sozinha), indicando as restrições de domínio da variável.
3. c) Resolva a equação e verifique se o seu resultado exato coincide com a estimativa que você fez.

Um aficionado por ciclismo realiza um treino de ida e volta num trecho plano de $20\text{ km}$ de ida e $20\text{ km}$ de volta ($40\text{ km}$ no total) em Castilla-La Mancha. De acordo com dados de uma estação próxima da AEMET, soprou um vento constante de $5\text{ km/h}$ na direção da estrada durante todo o percurso, de modo que na ida pedalou com vento a favor e na volta com vento contra. O ciclista completou o percurso total em exatamente $3\text{ horas}$, mantendo um esforço constante (a mesma velocidade média $v$ que teria sem vento).

1. a) Modele a situação estabelecendo uma equação racional em que a incógnita seja $v$ (em $\text{km/h}$), expressando o tempo de ida e o tempo de volta em função de $v$.
2. b) Determine as restrições do domínio: que condição física e algébrica mínima deve cumprir a velocidade $v$ para que o ciclista possa voltar contra o vento?
3. c) Resolva a equação para encontrar $v$ e calcule separadamente o tempo exato que ele gastou na ida e na volta.

Em um circuito eletrônico, conectam-se dois resistores em paralelo. A resistência equivalente do conjunto, $R_{eq}$, é calculada através da fórmula $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$. Sabe-se que o valor da resistência $R_2$ é $5\ \Omega$ maior que o de $R_1$, e que a resistência equivalente do circuito é de $6\ \Omega$. Monte e resolva uma equação racional para determinar o valor de ambas as resistências.

Um barco a motor realiza um trajeto por um rio, percorrendo $24\text{ km}$ a favor da correnteza e depois retornando ao ponto de partida contra a correnteza. O tempo total de navegação foi de $5\text{ horas}$. Se a velocidade da correnteza do rio é de $2\text{ km/h}$, monte uma equação racional para calcular a velocidade do barco em águas tranquilas.

Em um laboratório, têm-se $50\text{ L}$ de uma solução salina com uma concentração inicial de $0,04\text{ kg/L}$. Deseja-se evaporar água da mistura a um ritmo constante para aumentar sua concentração (a quantidade de sal permanece invariável). Se forem evaporados $x\text{ L}$ de água, a nova concentração deve ser de $0,1\text{ kg/L}$. Monte a equação racional correspondente e calcule a quantidade de água que deve ser evaporada.

Dois postes verticais de alturas $x$ e $x+2$ metros estão separados por uma certa distância em um terreno plano. Estendem-se dois cabos retilíneos e esticados do topo de cada poste até a base do poste oposto. O ponto onde os cabos se cruzam encontra-se a uma altura de $2,4\text{ m}$ do solo. Sabendo que a altura do cruzamento $h$ satisfaz a relação geométrica $\frac{1}{h} = \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2}$ (onde $h_1$ e $h_2$ são as alturas dos postes), monte uma equação racional e calcule a altura de ambos os postes.

Dada a equação racional com parâmetro $a$:

$\frac{x+a}{x-1} + \frac{x-a}{x+1} = \frac{2x^2+2}{x^2-1}$

Determine para quais valores do parâmetro $a$ a equação tem infinitas soluções, e para quais valores não tem nenhuma solução.

Resolva a seguinte equação racional, fatorando previamente os denominadores para operar com o mínimo múltiplo comum:

$\frac{1}{x^2-5x+6} + \frac{1}{x^2-7x+12} = \frac{2}{x^2-6x+8}$

Resolva a seguinte equação racional fazendo a mudança de variável $t = \frac{x^2+1}{x}$:

$\frac{x^2+1}{x} + \frac{6x}{x^2+1} = 5$

Determine todas as soluções reais da equação, simplificando as frações algébricas usando produtos notáveis antes de operar:

$\frac{x^3-8}{x-2} = \frac{x^3+1}{x+1} + 3$

Modele de forma fundamentada uma equação racional que cumpra estritamente todas e cada uma das seguintes condições:

1. Deve conter pelo menos duas frações algébricas com denominadores distintos não constantes.

2. Os únicos valores excluídos do domínio da equação devem ser $x = -2$ e $x = 3$.

3. Ao aplicar o procedimento padrão (multiplicar toda a equação pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores para eliminar frações), a equação polinomial de segundo grau resultante deve ter como soluções candidatas $x = 3$ e $x = 5$.

4. Ao comparar com as restrições do domínio, o valor $x = 3$ deve ser descartado por ser uma solução falsa ou estranha, resultando $x = 5$ como a única solução válida da equação.

Mostre a dedução inversa passo a passo para construir a dita equação (partindo das raízes procuradas e reconstruindo as frações algébricas) e resolva formalmente a equação que você obteve para demonstrar que satisfaz todas as condições exigidas.

Considere a seguinte equação racional dependente do parâmetro real $k$:

O Lucas resolve-a no quadro com este procedimento:

1. Fatore o denominador $x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$ e multiplique tudo por esse mínimo múltiplo comum: $k(x+2) + 2(x-1) = x+5$.

2. Desenvolva e agrupe os termos semelhantes: $kx + 2k + 2x - 2 = x + 5 \implies (k+1)x = 7 - 2k$.

3. Isole a incógnita: $x = \frac{7-2k}{k+1}$.

O Lucas conclui: «Para qualquer valor real de $k$, a equação tem sempre uma única solução dada por essa fórmula».

1. a) Indique os dois erros graves de raciocínio cometidos pelo Lucas: um de caráter algébrico ao isolar a incógnita na presença de um parâmetro e outro relativo à definição e ao domínio das funções racionais.
2. b) Faça uma discussão completa e rigorosa em função do parâmetro $k$: indique com precisão para que valores de $k$ a equação não tem solução (detalhando o motivo em cada caso), para quais tem uma solução única válida e se existe algum valor de $k$ para o qual tenha infinitas soluções.