Binômio de Newton
Desenvolver $(2x-y)^4$ multiplicando parênteses à mão é demorado e é fácil errar os sinais. O binômio de Newton fornece os coeficientes desse desenvolvimento sem multiplicar nada: basta contar combinações. É a mesma ideia que conta caminhos em um tabuleiro de Galton ou genótipos em uma população, e aparece sempre que algo se repete $n$ vezes com duas possibilidades.
Fatorial e números binomiais
O fatorial de um número natural, $n!$, é o produto de todos os naturais de $1$ até $n$ (por convenção, $0!=1$). O número binomial $\binom{n}{p}$ conta de quantas maneiras é possível escolher $p$ elementos entre $n$, sem importar a ordem. É o mesmo valor da combinação $C_{n,p}$ que você estudou na 2ª série.
Calcule o valor da seguinte expressão utilizando as propriedades dos fatoriais e dos números combinatórios: $\frac{10!}{8! \cdot 2!} + \binom{7}{3}$.
Calcule o valor da seguinte expressão utilizando as propriedades dos fatoriais e dos números combinatórios: $\frac{10!}{8! \cdot 2!} + \binom{7}{3}$.
Simplifique ao máximo a seguinte expressão algébrica com fatoriais: $\frac{(n+2)!}{n! \cdot (n+1)}$.
Simplifique ao máximo a seguinte expressão algébrica com fatoriais: $\frac{(n+2)!}{n! \cdot (n+1)}$.
Encontre o valor do número natural $x$ que satisfaz a seguinte equação com números combinatórios: $\binom{x}{2} = 21$.
Encontre o valor do número natural $x$ que satisfaz a seguinte equação com números combinatórios: $\binom{x}{2} = 21$.
O triângulo de Pascal
Os números binomiais $\binom{n}{0},\binom{n}{1},\dots,\binom{n}{n}$ da linha $n$ são exatamente os coeficientes do desenvolvimento de $(a+b)^n$. Dispostos em um triângulo, cada número é a soma dos dois que estão acima dele: é o triângulo de Pascal (ou de Tartaglia).
Utilize o triângulo de Pascal (ou de Tartaglia) para obter os coeficientes da sexta linha e desenvolva a expressão $(m + 2n)^6$.
Utilize o triângulo de Pascal (ou de Tartaglia) para obter os coeficientes da sexta linha e desenvolva a expressão $(m + 2n)^6$.
A fórmula do binômio de Newton
O binômio de Newton desenvolve $(a+b)^n$ sem multiplicar parênteses um a um: cada termo combina uma potência de $a$ que diminui, uma de $b$ que aumenta e o coeficiente correspondente do triângulo de Pascal.
Desenvolva completamente o binômio $(x + 3)^4$ utilizando a fórmula do binômio de Newton.
Desenvolva completamente o binômio $(x + 3)^4$ utilizando a fórmula do binômio de Newton.
Desenvolva a expressão $(2a - b)^5$ e indique quantos termos tem o desenvolvimento final.
Desenvolva a expressão $(2a - b)^5$ e indique quantos termos tem o desenvolvimento final.
Desenvolva o binômio com frações $\left(x + \frac{1}{2}\right)^3$ e simplifique cada um dos termos resultantes.
Desenvolva o binômio com frações $\left(x + \frac{1}{2}\right)^3$ e simplifique cada um dos termos resultantes.
O termo geral
Nem sempre é preciso o desenvolvimento completo: se só pedem «o quarto termo» ou «o termo em $x^3$», a fórmula do termo geral o fornece diretamente.
Escreva diretamente o quarto termo do desenvolvimento do binômio $(x^2 - 2y)^7$, sem calcular todo o desenvolvimento.
Escreva diretamente o quarto termo do desenvolvimento do binômio $(x^2 - 2y)^7$, sem calcular todo o desenvolvimento.
Calcule o coeficiente do termo que contém $x^3$ no desenvolvimento do binômio $(x - 4)^5$.
Calcule o coeficiente do termo que contém $x^3$ no desenvolvimento do binômio $(x - 4)^5$.
A Sofia está calculando o termo que ocupa a quarta posição ($T_4$) no desenvolvimento do binômio $(x^2 - 2)^6$. Na prova ela escreve o seguinte: «Como pedem o quarto…
A Sofia está calculando o termo que ocupa a quarta posição ($T_4$) no desenvolvimento do binômio $(x^2 - 2)^6$. Na prova ela escreve o seguinte:
«Como pedem o quarto termo, uso $k = 4$:
$T_4 = \binom{6}{4} (x^2)^{6-4} (-2)^4 = 15 \cdot x^4 \cdot 16 = 240x^4$».
- a) Identifique e explique de forma fundamentada o erro conceitual que a Sofia comete ao associar o número do termo ao índice $k$ da fórmula geral $T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.
- b) Corrija a resolução calculando passo a passo o verdadeiro quarto termo do desenvolvimento, indicando claramente o seu sinal, o seu coeficiente numérico e o seu grau.
- c) Que termo do desenvolvimento a Sofia realmente calculou no seu procedimento?
Em um estudo de genética de populações, a distribuição teórica de certos genótipos em uma geração é dada pelo desenvolvimento do binômio $(p + q)^4$, em que $p$ e $q$…
Em um estudo de genética de populações, a distribuição teórica de certos genótipos em uma geração é dada pelo desenvolvimento do binômio $(p + q)^4$, em que $p$ e $q$ são as frequências alélicas. Se $p = 0,6$ e $q = 0,4$, calcule o valor numérico do termo que contém a expressão $p^2q^2$ e interprete seu significado matemático dentro do desenvolvimento.
Radicais, frações e termo independente
O termo geral funciona igual quando $a$ ou $b$ são frações, raízes ou trazem seu próprio sinal; só é preciso cuidado ao reunir as potências de $x$ (os expoentes se somam).
Determine o termo central no desenvolvimento do binômio $\left(\sqrt{x} - \frac{2}{x}\right)^6$ e simplifique a expressão resultante.
Determine o termo central no desenvolvimento do binômio $\left(\sqrt{x} - \frac{2}{x}\right)^6$ e simplifique a expressão resultante.
Encontre o quinto termo no desenvolvimento do binômio $\left(2x^2 - \frac{1}{x}\right)^7$. Simplifique o resultado combinando as potências de $x$.
Encontre o quinto termo no desenvolvimento do binômio $\left(2x^2 - \frac{1}{x}\right)^7$. Simplifique o resultado combinando as potências de $x$.
Encontre o termo independente de $x$ (ou seja, o termo que não contém a variável $x$) no desenvolvimento do binômio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^9$.
Encontre o termo independente de $x$ (ou seja, o termo que não contém a variável $x$) no desenvolvimento do binômio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^9$.
Encontre o termo independente de $x$ no desenvolvimento do binômio $\left(\sqrt[3]{x^2} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{14}$ e determine qual posição ocupa esse termo no…
Encontre o termo independente de $x$ no desenvolvimento do binômio $\left(\sqrt[3]{x^2} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{14}$ e determine qual posição ocupa esse termo no desenvolvimento ordenado segundo as potências decrescentes da primeira parcela.
Propriedades e aplicações
Duas propriedades são muito úteis. A soma de todos os coeficientes de uma linha é sempre $2^n$ (basta usar $a=b=1$). E, para a soma dos coeficientes de um polinômio qualquer, basta calcular seu valor com todas as variáveis iguais a $1$. Além disso, substituir valores pequenos na fórmula permite aproximar situações reais.
Demonstre que a soma de todos os números combinatórios de uma mesma linha $n$ satisfaz $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n$ utilizando o…
Demonstre que a soma de todos os números combinatórios de uma mesma linha $n$ satisfaz $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n$ utilizando o desenvolvimento do binômio de Newton para $(1+1)^n$. Aplique este resultado para determinar quantos grupos distintos (de qualquer tamanho, incluindo o grupo vazio) podem ser formados com os $8$ funcionários de um escritório.
Calcule a soma de todos os coeficientes do polinômio resultante ao desenvolver $(3x - 2y)^5$. Dica: Pense em quais valores numéricos você pode atribuir às variáveis $x$…
Calcule a soma de todos os coeficientes do polinômio resultante ao desenvolver $(3x - 2y)^5$. Dica: Pense em quais valores numéricos você pode atribuir às variáveis $x$ e $y$ para que a expressão avaliada coincida exatamente com a soma de seus coeficientes.
Em economia, o capital final acumulado após $5$ anos a juros compostos anuais de $r$ é calculado pela fórmula $C = C_0(1 + r)^5$. Utilize o binômio de Newton para…
Em economia, o capital final acumulado após $5$ anos a juros compostos anuais de $r$ é calculado pela fórmula $C = C_0(1 + r)^5$. Utilize o binômio de Newton para desenvolver $(1 + r)^5$. Se a taxa de juros for $r = 0,03$, calcule uma aproximação do capital final para um capital inicial de $1000$ reais utilizando apenas os três primeiros termos do desenvolvimento.
Demonstre a propriedade fundamental dos números combinatórios $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ utilizando a definição algébrica com fatoriais.…
Demonstre a propriedade fundamental dos números combinatórios $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ utilizando a definição algébrica com fatoriais. Posteriormente, utilize as propriedades dos números combinatórios para resolver o seguinte sistema de equações para $x$ e $y$ naturais:
$\binom{x}{y} = \binom{x}{y+1}$
$4x - 5y = 19$
Voltando ao início: com a fórmula do binômio, $(2x-y)^4 = (2x)^4 - 4(2x)^3y + 6(2x)^2y^2 - 4(2x)y^3 + y^4 = 16x^4 - 32x^3y + 24x^2y^2 - 8xy^3 + y^4$, em um só passo e sem multiplicar parênteses.