Forma polar e trigonométrica de um número complexo

Expresse o número complexo $z = 3 + 3\sqrt{3}i$ na forma polar e na forma trigonométrica.

Observe a representação no plano complexo do vetor que define $z$. Determine seu módulo e seu argumento e escreva sua expressão na forma polar e trigonométrica.

O Marcos precisa passar o número complexo $z = -2 + 2\sqrt{3}i$ para a forma polar. Na prova dele, escreve:

«$r = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.

$\alpha = \arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{-2}\right) = \arctan(-\sqrt{3}) = -60^\circ = 300^\circ$.

Logo, $z = 4_{300^\circ}$».

Identifique o erro conceitual que o Marcos cometeu ao determinar o argumento, explique, analisando os sinais da parte real e da parte imaginária, em que quadrante deve ficar o afixo de $z$ e escreva a forma polar correta com o seu argumento principal no intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$.

Considere o número complexo $z = -3\sqrt{2} - \sqrt{6}i$.

1. a) Antes de calcular: sabendo que $\sqrt{2} \approx 1,41$ e $\sqrt{6} \approx 2,45$, estime de forma fundamentada o quadrante em que se encontra o seu afixo. Compare o valor absoluto da parte real ($|a| \approx 4,24$) com o da parte imaginária ($|b| \approx 2,45$): o argumento principal estará mais perto de $180^\circ$ ou de $270^\circ$? Apresente uma estimativa do seu argumento (com uma margem de $\pm 10^\circ$) e uma aproximação do seu módulo.
2. b) Calcule algebricamente o valor exato do módulo $r$ e do argumento principal $\alpha$ de $z$. Escreva $z$ na forma polar e na forma trigonométrica, e compare o resultado exato com as estimativas feitas no item anterior, justificando se o cálculo é coerente com a posição geométrica do afixo.

Dado o número complexo na forma polar $z = 4_{120^\circ}$, determine sua expressão na forma algébrica.

Encontre o conjugado e o oposto do número complexo $z = 6_{45^\circ}$. Expresse ambos os resultados na forma polar com argumentos positivos compreendidos entre $0^\circ$ e $360^\circ$.

Procura-se um número complexo $z$ cujo afixo está no quarto quadrante e cuja distância à origem das coordenadas é igual a $6$. Sabe-se que o seu conjugado, $\bar{z}$, cumpre que a sua parte real é exatamente metade do seu módulo ($a = r/2$). Determine de forma fundamentada o argumento de $\bar{z}$, deduza a forma polar de $z$ com o seu argumento no intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$ e determine a forma algébrica exata do seu oposto, $-z$.

Para calcular a forma algébrica do oposto do conjugado do número complexo $z = 4_{150^\circ}$, isto é, $-\bar{z}$, dois estudantes debatem sobre qual é a estratégia mais conveniente:

• Método 1 (via algébrica): converter primeiro $z = 4_{150^\circ}$ para a forma algébrica usando $a = r\cos\alpha$ e $b = r\sin\alpha$, calcular depois o seu conjugado $\bar{z} = a - bi$, e finalmente mudar o sinal de ambas as componentes para obter $-\bar{z}$.

• Método 2 (via polar): calcular diretamente o argumento de $-\bar{z}$ utilizando as propriedades do argumento do conjugado ($\arg(\bar{z}) = -\alpha$) e do oposto ($\arg(-w) = \arg(w) + 180^\circ$), simplificar o ângulo resultante em $[0^\circ, 360^\circ)$ sabendo que o módulo não varia, e passar unicamente para a forma algébrica o resultado final.

Aplique ambos os métodos passo a passo para determinar $-\bar{z}$ na forma algébrica e argumente qual dos dois caminhos minimiza o risco de cometer erros de cálculo com os sinais e as razões trigonométricas.

Considere dois números complexos não nulos, $z_1 = r_\alpha$ e $z_2 = s_\beta$, com argumentos principais expressos no intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$. Dispõe-se da seguinte informação sobre eles:

1. O produto dos seus módulos é $r \cdot s = 12$ e o quociente dos seus módulos $r / s$ é igual a $3$.

2. O quociente $z_1 / z_2$ é um número imaginário puro com parte imaginária estritamente negativa.

3. O afixo do oposto de $z_2$, isto é, $-z_2$, situa-se sobre a bissetriz do quarto quadrante.

1. a) A partir das propriedades do módulo e da posição geométrica do oposto, determine o valor exato do módulo $s$ e do argumento $\beta$ de $z_2$.
2. b) Utilizando a condição sobre o quociente $z_1 / z_2$, determine o módulo $r$ e todos os possíveis argumentos principais $\alpha \in [0^\circ, 360^\circ)$ de $z_1$.
3. c) Escreva as soluções encontradas para $z_1$ e $z_2$ na forma trigonométrica exata e verifique analiticamente que o quociente $z_1 / z_2$ cumpre todas as condições impostas.

Calcule o produto dos números complexos $z_1 = 2_{30^\circ}$ e $z_2 = 5_{45^\circ}$. Expresse o resultado na forma polar.

Realize a divisão dos números complexos $z_1 = 12_{150^\circ}$ e $z_2 = 3_{60^\circ}$. Expresse o resultado final na forma trigonométrica.

Em um circuito de corrente alternada, a tensão é representada pelo número complexo $V = 220_{30^\circ}$ e a impedância por $Z = 10_{-15^\circ}$. A lei de Ohm para corrente alternada estabelece que a intensidade é $I = \frac{V}{Z}$. Calcule a intensidade $I$ na forma polar e expresse-a posteriormente na forma algébrica.

Em um experimento de óptica, a defasagem entre duas ondas de luz é modelada multiplicando suas representações complexas. Se a primeira onda é $z_1 = 3_{45^\circ}$ e a segunda é $z_2 = 2_{135^\circ}$, encontre na forma trigonométrica o resultado de $z_1 \cdot z_2^2$.

Determine o valor de $a \in \mathbb{R}$ para que o argumento do número complexo $z = \frac{a + 2i}{1 + i}$ seja de $45^\circ$.

Encontre dois números complexos $z_1$ e $z_2$ sabendo que o quociente deles é $\frac{z_1}{z_2} = 2_{120^\circ}$ e que o produto deles é $z_1 \cdot z_2 = 18_{60^\circ}$. Expresse ambos os números na forma polar.

Aplique a fórmula de Moivre para calcular a quarta potência do número complexo $z = 2_{20^\circ}$. Expresse o resultado na forma polar.

Encontre o inverso do número complexo $z = 4_{210^\circ}$ e expresse-o na forma algébrica. Verifique que o produto de $z$ pelo seu inverso resulta na unidade real.

Calcule o valor da expressão $\frac{(1 - \sqrt{3}i)^5}{(-2+2i)^3}$. Para isso, converta previamente o numerador e o denominador para a forma polar.

Utilize a fórmula de Moivre para desenvolver a expressão $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partir da igualdade entre as partes reais e imaginárias, deduza as identidades trigonométricas para $\cos(3\alpha)$ e $\sin(3\alpha)$ em função de $\cos \alpha$ e $\sin \alpha$.

Seja o número complexo $z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Demonstre que $z^3 = 1$ e, em seguida, calcule o valor da expressão $S = z^{2023} + z^{2024} + z^{2025}$.

No desenvolvimento de um jogo eletrônico 2D, a posição de um personagem é dada pelo afixo do número complexo $z = 4 - 4i$. O motor gráfico aplica uma rotação de $60^\circ$ no sentido anti-horário multiplicando sua posição pelo complexo $w = 1_{60^\circ}$. Determine a nova posição do personagem na forma algébrica.

Um braço robótico articulado é composto por dois segmentos. O primeiro segmento é representado no plano complexo pelo vetor $z_1 = 5_{60^\circ}$. O segundo segmento, $z_2$, tem um comprimento de $3$ unidades e está rotacionado $45^\circ$ no sentido anti-horário em relação à direção de $z_1$. Calcule a posição final da extremidade do braço robótico (ou seja, $z_1 + z_2$) na forma binômica, arredondando para duas casas decimais.

Você pode fazer em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Uma boia oceanográfica do Porto de Santos fundeada ao largo da costa do Espírito Santo registra a ação combinada do vento e da corrente marítima para os modelos de previsão do INMET. A força sobre o sensor é modelada no plano complexo, onde o semieixo real positivo aponta para Leste e o semieixo imaginário positivo aponta para Norte (as forças se expressam em quilonewtons, $\text{kN}$).

O sensor detecta uma força devida à corrente de $F_1 = 3\sqrt{3} - 3i\text{ kN}$. Simultaneamente, uma rajada de vento introduz uma segunda força $F_2$ cujo módulo é de $6\text{ kN}$ e cujo afixo forma um ângulo de $150^\circ$ no sentido anti-horário em relação ao vetor da corrente $F_1$.

1. a) Determine o módulo e o argumento principal de $F_1$ para expressar esta força na forma polar e indique em que quadrante geográfico atua a corrente marítima.
2. b) Deduza a forma polar da força do vento $F_2$ no sistema geral do plano complexo e determine a sua expressão na forma algébrica exata.
3. c) Calcule a força resultante $F_{\text{total}} = F_1 + F_2$ na forma algébrica, expresse-a na forma polar e interprete fisicamente o resultado: com que intensidade total e em que direção geográfica resultante a água empurra a boia?

Calcule as raízes quadradas do número complexo $z = 9_{80^\circ}$ e expresse os resultados na forma polar.

Encontre as três raízes cúbicas do número complexo $z = 8i$. Expresse os resultados na forma polar e justifique geometricamente a figura formada por seus afixos no plano complexo.

Resolva a equação $z^4 + 81 = 0$ utilizando a forma polar dos números complexos. Expresse as quatro soluções obtidas na forma algébrica.

Os vértices de um hexágono regular centrado na origem do plano complexo correspondem às raízes sextas de um número complexo $W$. Se um dos vértices do hexágono é a imagem do número $z_1 = 2_{30^\circ}$, determine o valor do número complexo $W$ na forma algébrica e calcule a área exata do hexágono.

Encontre todos os números complexos $z$ que satisfazem a equação $z^6 - 7z^3 - 8 = 0$. Expresse as soluções na forma polar. (Dica: faça uma mudança de variável).

Cinco forças coplanares de igual magnitude $F = 10\text{ N}$ são aplicadas sobre um ponto material situado na origem. As direções dessas forças correspondem aos afixos das raízes quintas do número complexo $z = 100000_{0^\circ}$. Demonstre matematicamente, utilizando as propriedades dos números complexos na forma polar, que a força resultante é nula.

Calcule o perímetro do polígono formado pelos afixos das soluções da equação $z^4 + 2z^2 + 4 = 0$ no plano complexo.