Princípio de Cavalieri e aplicações

O Princípio de Cavalieri afirma: se dois sólidos estão apoiados num mesmo plano horizontal e toda secção dos dois por um mesmo plano paralelo ao de apoio tem áreas iguais, então os dois sólidos têm volumes iguais.

Uma vela cilíndrica reta e outra vela cilíndrica inclinada (oblíqua) têm bases de mesma área, $20$ cm$^2$, e mesma altura vertical, $10$ cm.

1. a) Explique por que toda secção horizontal das duas velas, feita à mesma altura, é um círculo de mesma área nas duas.
2. b) Aplique o Princípio de Cavalieri para comparar os volumes das duas velas.
3. c) Calcule o volume de cada vela, usando $V = A_b \cdot h$.

Sobre a mesa de Gustavo há uma pilha de folhas de papel retangulares de $20$ cm por $25$ cm. Alinhadas com perfeição, as folhas formam um bloco retangular reto de $5$ cm de altura. Depois de um esbarrão, a pilha fica inclinada, como um bloco oblíquo, mantendo a mesma altura vertical de $5$ cm, pois as folhas apenas deslizaram umas sobre as outras.

1. a) Calcule o volume do bloco reto.
2. b) Explique, folha a folha, por que cada secção horizontal da pilha inclinada tem a mesma área da secção correspondente da pilha reta.
3. c) Aplique o Princípio de Cavalieri para concluir o volume da pilha inclinada.
4. d) Se a pilha tem $500$ folhas, qual é a espessura de cada folha, em milímetros? (Lembre que $1$ cm $= 10$ mm.)

Sabe-se que o volume de uma pirâmide é $V = \dfrac{1}{3} A_b \cdot h$. Neste exercício você vai justificar, com o Princípio de Cavalieri, que um cone de mesma área de base e mesma altura tem o mesmo volume. Considere uma pirâmide e um cone, ambos com área da base $30$ cm$^2$ e altura $12$ cm, apoiados no mesmo plano horizontal.

1. a) Num plano paralelo à base, a uma distância $d$ do vértice, a secção da pirâmide é semelhante à base com razão $\dfrac{d}{h}$. Mostre que a área dessa secção é $A_b \cdot \left(\dfrac{d}{h}\right)^2$.
2. b) O mesmo vale para a secção do cone à mesma distância $d$ do vértice. Conclua que, à mesma altura, as duas secções têm áreas iguais.
3. c) Aplique o Princípio de Cavalieri e escreva a fórmula do volume do cone.
4. d) Calcule o volume do cone de área da base $30$ cm$^2$ e altura $12$ cm.

Neste exercício, guiado passo a passo, você vai deduzir o volume da esfera de raio $R$ usando o Princípio de Cavalieri. Apoie, num mesmo plano horizontal:

• uma semiesfera de raio $R$, com a face plana sobre o plano;

• um cilindro reto de raio da base $R$ e altura $R$, do qual foi retirado um cone cuja base é a base superior do cilindro e cujo vértice é o centro da base inferior (o sólido resultante é chamado "clepsidra" ou taça cilíndrica).

1. a) Numa altura $h$ qualquer, com $0 < h < R$, a secção da semiesfera é um círculo. Usando o Teorema de Pitágoras no raio da esfera, mostre que o raio dessa secção é $\sqrt{R^2 - h^2}$ e que sua área é $\pi(R^2 - h^2)$.
2. b) Na taça cilíndrica, à mesma altura $h$, a secção é uma coroa circular: círculo externo de raio $R$ menos o círculo da secção do cone retirado. Mostre, por semelhança, que o raio do cone à altura $h$ é exatamente $h$, e conclua que a área da coroa é $\pi R^2 - \pi h^2 = \pi(R^2 - h^2)$.
3. c) Aplique o Princípio de Cavalieri para concluir que a semiesfera e a taça cilíndrica têm o mesmo volume. Calcule esse volume como $V_{\text{cilindro}} - V_{\text{cone}}$ e mostre que vale $\dfrac{2}{3}\pi R^3$.
4. d) Conclua a fórmula do volume da esfera inteira de raio $R$.