Combinatória e probabilidade

Um estudante da 2ª série do Ensino Médio quer configurar um código de acesso de $4$ dígitos distintos para o seu armário da academia. Ele decide utilizar apenas os dígitos ímpares $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ e não pode repetir nenhum algarismo.

1. a) Quantos códigos diferentes ele pode criar?

1. b) Se o estudante esquece o código, mas lembra que o primeiro dígito era um $7$, quantos códigos distintos ele teria de experimentar no máximo?

Para escolher a delegação de estudantes que representará uma escola no Conselho Escolar municipal, devem-se selecionar $3$ alunos de um grupo de $24$ voluntários da 2ª série do Ensino Médio. O Marcos raciocina da seguinte forma na prova: «Para o primeiro lugar tenho 24 opções, para o segundo 23 e para o terceiro 22, então o número total de delegações possíveis é $V_{24,3} = 24 \cdot 23 \cdot 22 = 12\,144$».\n\na) Identifique o erro conceitual cometido pelo Marcos a partir das duas perguntas-chave da combinatória: a ordem importa neste caso? Podem-se repetir elementos?\nb) Corrija o cálculo e encontre o número real de delegações possíveis, justificando por qual operação deve ser substituída a fórmula do Marcos.\nc) Se os três lugares tivessem cargos diferenciados (um porta-voz, um secretário e um vogal), o cálculo original do Marcos seria correto? Justifique a sua resposta.

A federação de xadrez de um estado organiza uma fase prévia eliminatória na qual todos os participantes inscritos devem jogar exatamente uma partida contra cada um dos demais adversários («todos contra todos»). A sala contratada e o calendário disponível permitem disputar apenas um máximo de $100$ partidas no total.\n\na) Formule uma inequação em função do número de jogadores, $n$, que modele o total de partidas do torneio. Justifique que estrutura combinatória representa esse número de partidas.\nb) Resolva a inequação para determinar o número máximo de participantes que podem se inscrever sem ultrapassar o limite de partidas e calcule quantas partidas seriam jogadas exatamente com esse número máximo.\nc) Se, por fim, se inscreverem $8$ participantes e a organização decidir entregar um troféu de ouro, um de prata e um de bronze aos três primeiros colocados (sem empates), quantas atribuições possíveis de pódio existem?

Um serviço municipal de aluguel de bicicletas elétricas numa cidade brasileira renova seus cadeados inteligentes. Cada usuário deve configurar um código PIN de $4$ dígitos com duas condições: o primeiro dígito não pode ser $0$ e não podem aparecer dois dígitos consecutivos iguais (por exemplo, o código $4727$ é válido, mas o $4772$ não é).\n\na) Antes de realizar qualquer cálculo matemático, estime de forma intuitiva se o número de códigos válidos estará mais próximo de $5\,000$, de $6\,500$ ou de $9\,000$. Justifique brevemente em que você baseia a sua estimativa.\nb) Aplique o princípio fundamental da contagem para calcular com exatidão quantos códigos diferentes satisfazem ambas as condições.\nc) Verifique se o resultado exato obtido apoia a sua estimativa inicial e calcule que porcentagem ele representa em relação ao total de combinações de quatro dígitos que não começam por zero (de $1\,000$ a $9\,999$).

Uma plataforma de streaming está projetando uma nova interface personalizada. Para o perfil de usuário, é possível escolher um avatar combinando os seguintes elementos: 4 formatos de rosto distintos, 5 tipos de penteado e 3 estilos de óculos. Além disso, o nome de usuário deve ser uma sequência de 5 caracteres formada por 3 letras minúsculas (de um alfabeto de 26) seguidas de 2 dígitos.

1. a) Quantos avatares diferentes podem ser criados?
2. b) Quantos nomes de usuário distintos podem ser gerados se não for permitido repetir letras nem dígitos?
3. c) Se um usuário decidir escolher seu avatar e seu nome ao acaso (com as condições do item b), qual é a probabilidade de que seu nome comece com a letra "z" e termine com o dígito "9"?

Em um campeonato de robótica, uma equipe deve selecionar $3$ representantes de um grupo de $8$ estudantes para explicar o projeto diante do júri.

1. a) De quantas formas distintas se pode escolher o grupo de representantes se a ordem de seleção não importa?

1. b) Se entre os $8$ estudantes houver $2$ que sejam especialistas em programação e for decidido que pelo menos um deles deve estar no grupo, quantas seleções diferentes são possíveis?

Um laboratório dispõe de 8 sensores de temperatura de precisão e 6 sensores de umidade. Para um experimento de controle ambiental, devem ser selecionados ao acaso 4 sensores.

1. a) De quantas formas distintas se pode realizar a seleção dos 4 sensores se a ordem não importa?
2. b) Qual é a probabilidade de que sejam selecionados exatamente 2 sensores de temperatura e 2 de umidade?
3. c) Qual é a probabilidade de que todos os sensores selecionados sejam do mesmo tipo?

Para corrigir as provas do vestibular de Matemática num polo universitário, deve-se formar uma banca avaliadora de $6$ corretores. O corpo docente disponível é composto por $10$ professores: $6$ vêm de escolas públicas e $4$ de escolas particulares conveniadas. O regulamento da comissão organizadora exige que a banca conte com pelo menos $2$ professores de escolas públicas e pelo menos $2$ de escolas particulares conveniadas.\n\na) Modele a situação identificando todos os casos válidos de composição da banca de acordo com o número de professores de cada procedência.\nb) Calcule quantas bancas distintas podem ser constituídas cumprindo o regulamento estabelecido.\nc) Se a banca de $6$ pessoas fosse escolhida completamente ao acaso entre os $10$ professores (sem exigir nenhuma cota de representatividade), qual seria a probabilidade de a banca cumprir o regulamento legal? Interprete se a restrição exclui muitas ou poucas das possíveis combinações.

Uma equipe de cibersegurança está analisando a vulnerabilidade de um sistema de acesso que utiliza senhas de $8$ caracteres. Os caracteres permitidos são as $26$ letras do alfabeto (sem diferenciar maiúsculas de minúsculas) e os dígitos de $0$ a $9$. Uma senha é considerada "robusta" se cumprir as seguintes condições:

1. Contém exatamente $2$ números distintos e $6$ letras.

2. As letras não podem se repetir.

3. Os dois números devem estar em posições consecutivas.

Calcule:

1. a) O número total de senhas robustas que podem ser geradas.
2. b) Se um software de força bruta gerar uma senha aleatória seguindo apenas a estrutura de $8$ caracteres (letras ou números), qual é a probabilidade de acertar uma senha robusta específica na primeira tentativa?

Na cerimónia de graduação do 12.º ano (2.º de Bachillerato), são atribuídas $8$ menções de honra. No palco foram colocadas $8$ cadeiras alinhadas e numeradas de $1$ a $8$. Entre os $8$ alunos galardoados encontram-se a Clara e o Sergio, que tiveram um desentendimento recente e a organização pretende sentá-los de modo a que não fiquem em cadeiras contíguas. Dois membros da comissão organizadora discutem como calcular o número de disposições válidas:\n- Método A (método dos intervalos ou direto): Sentam-se primeiro os outros $6$ alunos por ordem e depois escolhem-se dois dos $7$ intervalos possíveis (extremidades ou entre colegas) para posicionar a Clara e o Sergio.\n- Método B (método do complementar): Calcula-se o total de formas de sentar os $8$ alunos sem qualquer restrição e subtraem-se os casos desfavoráveis, nos quais a Clara e o Sergio se sentam juntos formando um único bloco.\n\na) Desenvolve detalhadamente o raciocínio combinatório e o resultado numérico aplicando o Método A.\nb) Desenvolve detalhadamente o raciocínio combinatório e o resultado numérico aplicando o Método B.\nc) Verifica que ambos os caminhos conduzem à mesma solução e justifica de forma fundamentada qual dos dois métodos seria claramente preferível e menos propenso a erros se a restrição exigisse que três alunos determinados (Clara, Sergio e Pablo) não pudessem sentar-se em posições contíguas nenhuns entre si.

O sistema ordinário de emplacamento de veículos na Espanha atribui a cada veículo uma placa formada por um bloco de $4$ dígitos (do $0000$ até o $9999$) seguido de um bloco de $3$ letras consoantes escolhidas entre $20$ letras possíveis (excluem-se as vogais A, E, I, O, U, e as letras Ñ e Q para evitar confusões e combinações de mau gosto).\n\na) Calcule o número total de placas teóricas que este sistema permite emitir e expresse o resultado utilizando potências de base dez.\nb) Um aficionado por combinatória procura «placas simétricas»: aquelas cujo bloco numérico de $4$ dígitos é uma capicua (por exemplo, $4884$ ou $0330$) e cujo bloco de $3$ letras é um palíndromo (a primeira e a terceira letra coincidem, como em $TRT$). Determine quantas placas simétricas existem e calcule a probabilidade de um veículo emplacado ao acaso apresentar esta propriedade.\nc) A Dirección General de Tráfico investiga um algoritmo de leitura de placas e detecta falhas nas placas que designa por «heterogêneas mistas»: aquelas que têm os seus $4$ dígitos estritamente distintos entre si e, simultaneamente, no bloco de letras contêm exatamente duas letras iguais e uma diferente (em qualquer ordem, como em $LBL$ ou $DDH$). Modele e calcule quantas placas «heterogêneas mistas» existem na frota potencial espanhola.

Um concurso público consiste em $80$ tópicos. O candidato estuda $55$ tópicos ao acaso. A banca examinadora sorteia $3$ tópicos e o candidato deve escolher um para desenvolver.

1. a) Qual é a probabilidade de o candidato não saber nenhum dos três tópicos sorteados?
2. b) Qual é a probabilidade de saber exatamente dois dos tópicos?
3. c) Se o candidato foi aprovado no exame (o que implica que sabia pelo menos um dos tópicos), qual é a probabilidade de que soubesse os três tópicos sorteados?