Experimentos aleatórios

Classifique os seguintes experimentos como determinísticos ou aleatórios, justificando brevemente a sua resposta em cada caso:

1. a) Soltar um smartphone de uma altura de um metro e observar se cai no chão.
2. b) Abrir uma lista de reprodução no modo aleatório e anotar qual é a primeira música que toca.
3. c) Calcular o tempo que um carro demora para percorrer $200$ km se andar a uma velocidade constante de $100$ km/h.
4. d) Perguntar à primeira pessoa que encontrar na rua em que mês nasceu.
5. e) Retirar uma carta de um baralho de $40$ cartas e observar o seu naipe.

Retiramos uma bola de uma urna que contém $5$ bolas numeradas de $1$ a $5$. Indique se os seguintes eventos são possíveis, certos ou impossíveis:

1. a) $A = \text{"obter um número maior que 0"}$.
2. b) $B = \text{"obter o número 7"}$.
3. c) $C = \text{"obter um número par"}$.
4. d) $D = \text{"obter um número menor ou igual que 5"}$.
5. e) $F = \text{"obter um número negativo"}$.

Um estudante tem em seu estojo três canetas de cores diferentes: Azul (A), Preto (N) e Vermelho (R). Ele decide retirar duas canetas de forma consecutiva e sem repor a primeira no estojo.

1. a) Escreva o espaço amostral $E$ deste experimento.
2. b) Indique quantos eventos elementares formam esse espaço amostral.
3. c) Defina o evento composto $S = \text{"retirar a caneta azul em qualquer posição"}$.

Consideramos o experimento aleatório que consiste em lançar um dado tetraédrico (4 faces) com as faces numeradas de $1$ a $4$, e uma moeda de $1$ real. Anotamos o número da face inferior do dado e se a moeda mostra cara $(C)$ ou coroa $(X)$.

1. a) Utilize um diagrama em árvore para representar todos os resultados possíveis.
2. b) Escreva o espaço amostral $E$.
3. c) Determine os elementos do evento $A = \text{"obter um número par no dado e cara na moeda"}$.

Em uma turma do 12º ano, analisam-se as assinaturas de plataformas de streaming. Chamamos $A$ ao evento "ser assinante da Netflix" e $B$ ao evento "ser assinante do Spotify". Expresse em palavras o significado dos seguintes eventos relacionados com as operações de conjuntos:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $\bar{A}$ (ou evento complementar de $A$)
4. d) $A - B$
5. e) $\bar{A} \cap \bar{B}$

Observe o seguinte diagrama de Venn que representa a distribuição de alunos que praticam Basquetebol ($B$) e Futebol ($F$) em um centro esportivo municipal.

A partir do gráfico, defina mediante operações de eventos as seguintes regiões:

1. a) Alunos que praticam ambos os esportes.
2. b) Alunos que praticam basquetebol, mas não futebol.
3. c) Alunos que praticam pelo menos um dos dois esportes.
4. d) Alunos que não praticam nenhum dos dois esportes mencionados.

Em um experimento aleatório, o espaço amostral é formado por um conjunto de números inteiros positivos $E = \{1, 2, 3, \dots, n\}$. Definem-se três eventos $A$, $B$ e $C$ sobre os quais se conhece a seguinte informação:\n1. $A \cap B = \{4, 6\}$\n2. $A - B = \{2, 8\}$\n3. $B - A = \{1, 3, 5\}$\n4. $C$ é um evento incompatível com $A$ ($A \cap C = \emptyset$), mas compatível com $B$, verificando-se que $B \cap C = \{3\}$.\n5. $\overline{A \cup B \cup C} = \{7, 9, 10\}$\n6. O número de eventos elementares que formam $C$ é igual a $3$.\na) Reconstrua de forma fundamentada os conjuntos que definem os eventos $A$, $B$, $C$ e o espaço amostral completo $E$, determinando o valor da cardinalidade $n$.\nb) Expresse por meio de operações formais entre conjuntos (uniões, interseções ou complementares) e escreva explicitamente os elementos do evento: «ocorre exatamente um dos três eventos ($A$, $B$ ou $C$)».

Em um novo jogo de tabuleiro estratégico, um jogador deve lançar um dado tetraédrico (faces numeradas de $1$ a $4$) e, simultaneamente, retirar uma carta de um baralho reduzido que contém apenas os quatro ases e os quatro reis do baralho espanhol.

Considerando o experimento aleatório de anotar o número do dado e o valor da carta (Ás ou Rei):

1. a) Descreva o espaço amostral $E$ do experimento.
2. b) Sejam os eventos:

$A$ = "Obter um número par no dado".

$B$ = "Obter um Ás de qualquer naipe".

$C$ = "Obter um número menor que $3$ no dado e que a carta seja um Rei".

Determine os elementos que compõem os eventos $A \cup B$, $A \cap B$ e $B \cap C$.

Seja $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ o espaço amostral de um experimento aleatório. Dados os eventos $A = \{1, 3, 5, 7\}$ e $B = \{2, 3, 5, 8\}$, obtenha os seguintes conjuntos:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $A \cap \bar{B}$
4. d) Verifique se vale a Primeira Lei de De Morgan: $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$.

Uma equipe de analistas de dados de uma plataforma de comércio eletrônico com sede na Espanha classifica cada reclamação segundo dois fatores: o canal de entrada (Telefone, Web, App móvel) e o departamento de resolução atribuído (Logística, Faturamento, Garantias, Atendimento ao cliente). O experimento aleatório consiste em registrar ambos os fatores para a próxima reclamação recebida.\na) Sem escrever a lista detalhada de casos, faça uma estimativa intuitiva de quantos resultados elementares compõem o espaço amostral $E$ e quantos eventos distintos no total (subconjuntos de $E$) podem ser definidos teoricamente neste experimento. Verifique as suas estimativas calculando a cardinalidade de $E$ por meio do princípio multiplicativo e a cardinalidade do conjunto das partes $\mathcal{P}(E)$. Comente se a magnitude do número total de eventos corresponde à sua intuição inicial.\nb) Definem-se os eventos $A$: «a reclamação não entra pelo App móvel» e $B$: «a reclamação é atribuída a Logística ou Faturamento». Descreva com precisão o significado verbal do evento $\overline{A \cup B}$, transforme-o aplicando as Leis de De Morgan e determine quantos eventos elementares o compõem.\nc) Justifique analiticamente se os eventos $A$ e $\overline{B}$ são compatíveis ou incompatíveis.

Sejam $A, B$ e $C$ três eventos quaisquer de um experimento aleatório. Demonstre formalmente, utilizando as propriedades da álgebra de eventos (distributiva, complementaridade, etc.), a seguinte identidade:

Explique qual nome essa operação recebe na teoria dos conjuntos e represente o evento resultante mediante um diagrama de Venn sombreado.

Um satélite de comunicações envia rajadas de dados compostas por sequências binárias de comprimento $n=3$. Devido ao ruído cósmico, cada bit tem uma probabilidade de ser alterado. Definimos o espaço amostral $E$ como o conjunto de todas as ternas binárias possíveis. Sejam os eventos:

• $A = \{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$

• $B = \{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1)\}$

Utilizando as Leis de De Morgan, simplifique ao máximo a expressão do evento $S = \overline{(\overline{A} \cup B) \cap (A \cup \overline{B})}$. Uma vez simplificado, descreva com palavras qual característica comum têm as sequências que formam esse evento $S$ em relação ao número de "uns" presentes na rajada.

Um jogo eletrônico de RPG permite criar um personagem escolhendo entre duas facções: Guerreiro (G) ou Mago (M). Além disso, o personagem pode ser de três raças: Humano (H), Elfo (E) ou Anão (D).

Escolhe-se um personagem ao acaso do servidor de jogo.

1. a) Escreva o espaço amostral $E$ utilizando a nomenclatura das iniciais (por exemplo, $GH$ para Guerreiro Humano).
2. b) Descreva o evento $S = \text{"o personagem não é um Mago"}$.
3. c) Se chamarmos de $A$ o evento $\text{"o personagem é um Elfo"}$, indique quais elementos compõem o evento complementar $\bar{A}$.

Hugo, estudante da 2ª série do Ensino Médio, analisa o controle de qualidade de componentes eletrônicos em uma fábrica do setor automotivo em Minas Gerais. Para cada componente selecionado ao acaso, define os eventos $A$: «o componente apresenta defeito elétrico» e $B$: «o componente apresenta defeito mecânico». Ao redigir o relatório técnico, Hugo afirma: «O evento que consiste em um componente não apresentar nenhum dos dois defeitos exprime-se formalmente como $\overline{A} \cup \overline{B}$».\na) Encontre o erro conceitual cometido por Hugo e explique com precisão que tipo de componentes estão realmente representados pela união $\overline{A} \cup \overline{B}$.\nb) Corrija a proposta dele escrevendo de forma matematicamente rigorosa o evento «o componente não apresenta nenhum dos dois defeitos» de duas formas equivalentes: primeiro como uma interseção de eventos e depois aplicando as Leis de De Morgan a partir de uma união.

Num ambiente de desenvolvimento de aplicativos móveis, um programador está testando a segurança de um sistema de acesso. Define-se um experimento aleatório que consiste em gerar uma senha aleatória de 4 dígitos usando unicamente os números $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Consideram-se os seguintes eventos:

• $A$: "A senha contém pelo menos dois dígitos iguais consecutivos".

• $B$: "A soma dos dígitos da senha é um número primo maior que 15".

• $C$: "A senha é um palíndromo (lê-se igual da esquerda para a direita e da direita para a esquerda)".

Descreva detalhadamente o espaço amostral $E$ indicando a sua cardinalidade e utilize a álgebra de eventos para expressar simbolicamente os seguintes eventos:

1. a) A senha não é um palíndromo ou a soma dos seus dígitos não é um número primo maior que 15.

1. b) A senha é um palíndromo e tem pelo menos dois dígitos iguais consecutivos, mas a soma dos seus dígitos não é um número primo maior que 15.

1. c) Demonstre se os eventos $A$ e $C$ são compatíveis ou incompatíveis, justificando a sua resposta com um exemplo de um elemento do espaço amostral.

Consideramos o experimento aleatório que consiste em lançar um dado octaédrico (faces de $1$ a $8$) e um dado cúbico convencional (faces de $1$ a $6$). Definimos os seguintes eventos:

$A$ = "A soma dos pontos é um número primo".

$B$ = "O produto dos pontos é múltiplo de $10$".

1. a) $A$ e $B$ são eventos compatíveis ou incompatíveis? Justifique a resposta indicando pelo menos um elemento da interseção, se existir.
2. b) Calcule o número de elementos do evento complementar de $B$.