Teorema do resto e teorema de D'Alembert

Calcule, sem efetuar a divisão, o resto da divisão do polinômio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ por $x - 2$.

Calcule o valor numérico do polinômio $P(x) = -x^5 + 3x^3 - 2x^2 + x - 5$ para $x = -1$ e indique qual é o significado desse valor em relação à divisão polinomial de $P(x)$ por $x + 1$.

Determine o resto da divisão de $P(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x - \frac{1}{2}$ por $x - 2$ avaliando o polinômio.

A posição de um móvel em linha reta em função do tempo $t$ (em segundos) é dada pelo polinômio $x(t) = -2t^3 + 8t^2 - 5t + 3$ (em metros). Utilize o teorema do resto para calcular a posição do móvel no instante $t = 3$ e explique a relação conceitual entre o valor encontrado e a divisão polinomial de $x(t)$ por $t - 3$.

Determine se o polinômio $Q(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ é divisível por $x + 4$ aplicando o teorema do resto.

Verifique mediante o teorema do resto se $x = 3$ é uma raiz do polinômio $P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 6$.

O crescimento de uma colônia de bactérias em um meio controlado é modelado pelo polinômio $P(t) = t^4 - 7t^3 + 17t^2 - 17t + 6$, onde $t$ é o tempo em dias e $P(t)$ representa o desvio em relação à população inicial. Demonstre, utilizando o teorema do fator, que nos dias $t=1$, $t=2$ e $t=3$ a população volta exatamente ao seu nível inicial.

Determine o valor do parâmetro $k$ para que o resto da divisão de $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 3x + 1$ por $x - 1$ seja $4$.

Encontre o valor de $m$ sabendo que a divisão do polinômio $R(x) = x^4 + mx^3 - 2x^2 + 5x - 6$ por $x - 2$ é exata.

Sabendo que o resto da divisão de $P(x) = x^3 - 2x^2 + ax + 5$ por $x + 2$ é $-7$, calcule o valor do coeficiente $a$.

O Lucas tenta descobrir se o binômio $x + 2$ é um fator do polinômio $P(x) = 2x^3 + 5x^2 - x + k$. Para resolver, escreve em seu caderno: «Pelo teorema do resto, calculo $P(2) = 2 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^2 - 2 + k = 16 + 20 - 2 + k = 34 + k$. Para que seja fator, o resto deve ser zero, portanto $34 + k = 0 \implies k = -34$». Identifique e explique com rigor o erro conceitual cometido pelo Lucas, esclareça qual valor numérico ele deveria ter calculado na realidade segundo o teorema do resto e encontre o valor correto do parâmetro $k$ para que a divisão seja exata.

Dado o polinômio $P(x) = 3x^4 - 20x^3 + 5x - 12$:

1. a) Antes de fazer qualquer cálculo detalhado no papel, estime mentalmente o sinal do resto ao dividir $P(x)$ por $x - 4$. Para isso, analise os dois termos de maior grau ao substituir $x = 4$ e pondere se predominará a contribuição positiva ou a negativa.
2. b) Aplique o teorema do resto para calcular o valor exato desse resto. Verifique se a sua estimativa qualitativa estava correta e justifique por que razão o termo dominante ($3x^4$) não conseguiu fazer com que o valor final fosse positivo.

Determine os valores dos parâmetros $m$ e $n$ para que o polinômio $P(x) = x^3 + mx^2 + nx - 10$ seja divisível por $x - 2$ e deixe um resto $-24$ ao dividi-lo por $x + 2$.

Determine o valor de $k$ para que o resto da divisão do polinômio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + x - k$ por $x - 2$ seja idêntico ao resto da divisão do polinômio $Q(x) = x^2 - kx + 3$ por $x + 1$.

Calcule os valores de $a$ e $b$ sabendo que o polinômio $P(x) = ax^4 + bx^3 - x^2 + 2x - 4$ é divisível simultaneamente por $(x - 1)$ e por $(x + 1)$.

A deflexão de uma viga em um ponto $x$ (em metros) é dada pelo polinômio $D(x) = kx^4 - 2x^3 + 3x^2$. Sabendo que a deflexão em $x = 2$ é de $20$ mm, determine o valor da constante $k$ baseando-se no teorema do resto e determine qual será a deflexão na coordenada $x = -1$.

Um polinômio $P(x)$ de terceiro grau tem como coeficiente principal $2$. Sabendo que é divisível por $(x - 1)$ e por $(x + 2)$, e que ao dividi-lo por $(x - 2)$ deixa resto $16$, determine a expressão completa do polinômio $P(x)$ na sua forma expandida.

Determine os coeficientes $a, b, c, d$ do polinômio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ sabendo que é divisível pelo binômio $x^2 - 4$, que ao dividi-lo por $x - 1$ deixa um resto de $15$, e que seu termo independente é $-12$.

A capacidade calorífica de um material experimental é aproximada pelo polinômio de terceiro grau $C(T) = aT^3 + bT^2 + cT + d$. Sabemos que $C(T)$ é divisível por $T$, que em $T=1$ seu valor é $4$, em $T=-1$ seu valor é $0$ e em $T=2$ seu valor é $18$. Monte o sistema de equações correspondente utilizando o teorema do resto e determine a expressão analítica do polinômio $C(T)$.

O perfil de um canal de drenagem em um projeto arquitetônico segue a equação $y = P(x) = -kx^3 + 2kx^2 - 5x + c$, onde $y = 0$ representa o nível do chão. Sabe-se que o perfil corta o nível do chão nos pontos $x = 5$ e $x = -2$. Determine os valores exatos de $k$ e $c$ empregando o teorema do fator e determine a cota do perfil (altura em relação ao chão, negativa se estiver abaixo dele) no ponto $x = 1$.

Seja o polinômio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 4$. Sabendo que é divisível por $x - 2$ e que a soma dos restos de sua divisão por $x - 1$ e por $x + 1$ é igual a $-10$, monte o sistema de equações pertinente e determine os coeficientes $a$ e $b$.

Para determinar se o polinômio $P(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^3 - x^2 + 5x - 4$ é divisível pelo binômio $x - 1$, três estudantes da 1ª série do Ensino Médio propõem estratégias distintas:

• A Júlia propõe efetuar a divisão longa euclidiana de polinômios para observar se o resto final é o polinômio nulo.

• O Miguel propõe aplicar o dispositivo de Briot-Ruffini completando a tabela de coeficientes e verificar se a última casa é zero.

• A Clara propõe aplicar o teorema do fator avaliando diretamente $P(1)$ por meio de cálculo aritmético.

1. a) Compare de forma fundamentada os três métodos considerando o número de operações, a probabilidade de cometer erros de sinal e o tempo de resolução.
2. b) Escolha o método mais eficiente de acordo com a sua análise e aplique-o para determinar de forma justificada se $x - 1$ é um fator de $P(x)$.

O custo de produção de $q$ milhares de unidades de um componente eletrônico segue a lei $C(q) = 0,5q^4 - 3q^3 + 5q^2 + 12$ (em milhares de reais). Aplique o teorema do resto para determinar o custo exato de fabricar $4000$ unidades ($q=4$).

O Serviço Nacional de Meteorologia registra a evolução da temperatura $T$ (em $^{\circ}\text{C}$) em uma estação da Serra da Mantiqueira durante um dia de inverno por meio da função polinomial $T(t) = -0,05t^3 + 0,6t^2 - 1,1t - 2$, em que $t$ representa o tempo em horas decorrido desde as 08:00 ($t = 0$), com $t \in [0, 12]$.

1. a) Interprete o significado físico do resto da divisão de $T(t)$ pelo binômio $t - 6$ e calcule-o aplicando o teorema do resto para saber a temperatura exata às 14:00.
2. b) A equipe de manutenção de rodovias no inverno precisa saber a que horas a temperatura cruzou pela primeira vez exatamente o ponto de congelamento ($0\ ^{\circ}\text{C}$). Use o teorema de D'Alembert para verificar se $t - 4$ é um divisor exato de $T(t)$ e interprete o resultado obtido no contexto do degelo na rodovia.

Em um sistema de segurança criptográfico, uma chave é gerada avaliando-se um polinômio de grau muito elevado. A chave corresponde exatamente ao resto da divisão do polinômio $P(x) = x^{2024} - 3x^{2023} + 2x^5 - 7x + 4$ pelo binômio $x - 3$. Calcule o valor numérico dessa chave de segurança justificando sua resposta.

Demonstre, aplicando o teorema do resto, que o polinômio $P(x) = x^n - a^n$ é sempre divisível por $x - a$ para qualquer número natural $n$. Utilize esse resultado para deduzir fundamentadamente o resto da divisão de $x^5 - 32$ por $x - 2$.

Determine o resto da divisão do polinômio $P(x) = (x - 2)^{200} + (x - 1)^{100} - 5$ pelo polinômio de segundo grau $Q(x) = (x - 1)(x - 2)$.

Nota: Lembre-se de que o resto da divisão por um polinômio de grau 2 é, no máximo, da forma $mx + n$. Aplique o teorema do resto avaliando estrategicamente nas raízes do divisor.

Encontre a expressão expandida de um polinômio $P(x)$ de terceiro grau tal que, ao dividi-lo por $x+1$, $x-2$ e $x+3$, deixe em todos os casos o mesmo resto igual a $5$, e que ao dividi-lo por $x-1$ deixe um resto de $-7$.

Nota: Pense na relação entre o polinômio auxiliar $P(x) - 5$ e o teorema do fator.

Um polinômio $P(x)$ com coeficientes reais, do qual não conhecemos a expressão completa nem o grau, cumpre simultaneamente duas condições: ao dividi-lo por $x - 2$ obtém-se um resto igual a $7$, e ao dividi-lo por $x + 3$ obtém-se um resto igual a $-8$.

1. a) Sem conhecer o quociente da divisão, deduza de forma fundamentada a expressão algébrica do resto $R(x)$ que se obtém ao dividir $P(x)$ pelo polinômio de segundo grau $D(x) = x^2 + x - 6$, justificando o grau máximo que esse resto pode ter.
2. b) Modele e escreva a expressão de um polinômio mônico concreto de grau $3$ que cumpra simultaneamente ambas as propriedades e verifique algebricamente que, ao dividi-lo por $x^2 + x - 6$, reproduz o resto $R(x)$ deduzido no item anterior.

Considere a família de polinômios de grau elevado $P(x) = x^{2026} + ax^{2025} + b$, onde $a$ e $b$ são constantes reais desconhecidas.

1. a) Utilize o teorema do resto e do fator para formular e resolver um sistema linear que determine os valores exatos de $a$ e $b$, sabendo que $P(x)$ é divisível por $x + 1$ e que, ao dividi-lo por $x - 1$, se obtém um resto de $4$.
2. b) Com os valores obtidos no item anterior, justifique formalmente se o polinômio resultante é ou não divisível pelo binômio quadrático $x^2 - 1$.
3. c) Justifique analiticamente, sem recorrer a derivadas nem a representações gráficas, por que razão este polinômio específico não pode ter nenhuma raiz real estritamente positiva, analisando a estrutura e o sinal dos seus termos para qualquer $x > 0$.