Técnicas de contagem

Para melhorar a segurança de um aplicativo móvel, um desenvolvedor decide criar códigos de acesso consistindo em uma letra maiúscula (considerando as 26 letras do alfabeto padrão) seguida de três dígitos (de 0 a 9).

• Quantos códigos diferentes podem ser criados se os dígitos puderem se repetir?

• Quantos códigos diferentes haveria se os três dígitos tivessem de ser distintos entre si?

• Se for gerado um código ao acaso com dígitos repetíveis, qual é a probabilidade de a letra ser um 'Z'?

O sistema ordinário de emplacamento de veículos da Dirección General de Tráfico (DGT) na Espanha atribui a cada automóvel um código composto por 4 dígitos (do 0000 até o 9999) seguidos de um bloco de 3 letras consoantes do alfabeto espanhol, sendo excluídas as 5 vogais (A, E, I, O, U) para evitar siglas e palavras inadequadas, bem como as letras Ñ e Q por possíveis confusões visuais. Dessa forma, dispõe-se de um conjunto de 20 consoantes admissíveis.

1. a) Modele a atribuição de placas e calcule quantos veículos diferentes podem ser emplacados no total. Justifique as técnicas de contagem aplicadas em cada bloco da placa.
2. b) Uma câmera de controle de trânsito registra a placa de um infrator, mas a imagem está parcialmente desfocada: o agente verifica que o bloco numérico é um palíndromo de quatro algarismos com o primeiro e o segundo algarismos distintos (por exemplo, 7337), e que as três letras são distintas entre si e aparecem em estrita ordem alfabética crescente (por exemplo, CFX). Quantas placas do parque teórico da DGT satisfazem esse padrão?
3. c) Se for escolhido um veículo ao acaso entre todos os possíveis do sistema, determine a probabilidade de a sua placa não conter nenhum dígito repetido e também não conter nenhuma consoante repetida. Expresse o resultado na forma de fração irredutível e com quatro casas decimais.

Para melhorar a segurança de uma plataforma de e-sports, exige-se que os usuários criem uma senha de acesso de 6 caracteres. Os dois primeiros devem ser letras maiúsculas do alfabeto espanhol (27 letras) e os quatro restantes devem ser dígitos de $0$ a $9$.

Calcule quantas senhas diferentes podem ser geradas se:

1. a) Forem permitidas repetições de letras e números.
2. b) Não for permitido repetir nenhuma letra, mas sim os números.
3. c) As letras deverem ser distintas e os números deverem formar uma sequência estritamente crescente (por exemplo: $1258$, mas não $1225$ nem $4321$).

Uma empresa de cibersegurança gera senhas de acesso mediante a permutação dos caracteres da palavra BLOCKCHAIN. Uma dessas senhas é escolhida ao acaso.

1. a) Calcule a probabilidade de a senha escolhida começar e terminar com vogal.
2. b) Determine a probabilidade de todas as vogais aparecerem juntas na senha.
3. c) Sabendo que a senha começa com B, qual é a probabilidade de a segunda letra ser L?

Uma turma de engenharia precisa escolher uma comissão de 3 representantes. Se na turma houver 20 estudantes, calcule:

• De quantas formas se pode escolher a comissão se os três cargos (representante, vice-representante e secretário) forem distintos?

• De quantas formas se pode escolher se os três representantes tiverem o mesmo cargo e a ordem não importar?

• Se houver 12 homens e 8 mulheres, qual é a probabilidade de a comissão (sem cargos diferenciados) ser formada apenas por mulheres? (Escreva a fração por meio de números combinatórios).

Numa escola secundária, a comissão de delegados do 12.º ano é composta por 10 estudantes: 6 raparigas e 4 rapazes. Para formar uma comissão de convivência, deve-se escolher por sorteio um grupo de 3 delegados.

O Marcos quer calcular a probabilidade de a comissão ser formada por exatamente 2 meninas e 1 menino, e raciocina da seguinte maneira:

«Para a primeira menina há 6 opções, para a segunda há 5 opções, e para o menino há 4 opções. Portanto, os casos favoráveis são $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$. Como os casos possíveis de escolher 3 pessoas em ordem entre as 10 são $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$, a probabilidade procurada é $\frac{120}{720} = \frac{1}{6}$».

1. a) Identifique com precisão o erro conceitual do Marcos ao calcular os casos favoráveis e explique por que razão a abordagem dele distorce o cálculo do espaço amostral.
2. b) Resolva o problema corretamente utilizando combinações $\binom{n}{r}$ por meio da regra de Laplace e compare o seu resultado com o obtido pelo Marcos.

Uma urna contém 12 bolas de cristal para um experimento de óptica: 5 são azuis, 4 são vermelhas e 3 são amarelas. Se extrairmos uma bola ao acaso, calcule as seguintes probabilidades utilizando a regra de Laplace:

• Que a bola seja vermelha ou amarela.

• Que a bola não seja azul.

• Que a bola seja branca.

Em um laboratório de robótica, foram misturados em uma caixa 8 sensores de proximidade em perfeito estado e 2 sensores defeituosos. Um aluno extrai dois sensores de forma consecutiva e sem reposição (sem devolver o primeiro à caixa).

Calcule a probabilidade de:

• Ambos os sensores funcionarem corretamente.

• O primeiro ser defeituoso e o segundo estar em bom estado.

Um posto de saúde rural de uma cidade do interior de Minas Gerais dispõe de um quadro de 11 profissionais de urgência entre médicos de família e enfermeiros. Para organizar o plantão noturno do fim de semana, escolhe-se ao acaso uma equipe de plantão formada por 3 profissionais do total de 11.

Sabe-se com certeza que a probabilidade de a equipe de plantão ser composta por 2 médicos e 1 enfermeiro é exatamente o dobro da probabilidade de ser composta por 1 médico e 2 enfermeiros.

1. a) Se denotarmos por $m$ o número de médicos do quadro (com $2 \le m \le 9$), formule a equação combinatória que modela a condição dada a partir da regra de Laplace.
2. b) Resolva algebricamente essa equação para descobrir a composição exata do quadro (quantos médicos e quantos enfermeiros há no posto de saúde).
3. c) Com o quadro já determinado, calcule a probabilidade de o plantão noturno ser constituído exclusivamente por profissionais de um mesmo grupo profissional de saúde.

Num grupo de 15 estudantes do 12.º ano que frequentam Matemática II encontram-se três amigos inseparáveis: a Lucía, o Mateo e a Sofía. O departamento vai selecionar ao acaso uma equipa de 4 estudantes para representar a escola nas Olimpíadas de Matemática da universidade local.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo matemático, faça uma estimativa qualitativa e intuitiva: você acha que a probabilidade de pelo menos dois dos três amigos coincidirem na equipe de 4 pessoas é superior a $50\,\%$, fica em torno de $15\,\%-20\,\%$ ou é um evento muito improvável (inferior a $5\,\%$)? Justifique brevemente a intuição na qual você se baseia.
2. b) Modele o problema por meio de técnicas combinatórias e calcule o valor exato dessa probabilidade como fração irredutível e em porcentagem.
3. c) Compare o valor obtido com a sua estimativa inicial e argumente por que a intuição humana sobre coincidências grupais costuma falhar nesse tipo de sorteio.

Em uma auditoria técnica de cibersegurança, analisam-se 18 servidores de dados pertencentes a uma instituição bancária. Foi detectado que 4 deles apresentam uma falha crítica de segurança sem correção aplicada, enquanto os 14 restantes são completamente seguros. A equipe auditora seleciona ao acaso uma amostra de 5 servidores para submetê-los a um teste de intrusão. Deseja-se calcular a probabilidade do evento $A$: «na amostra extraída há pelo menos dois servidores vulneráveis».

1. a) Desenvolva o cálculo de $P(A)$ por dois caminhos analíticos distintos:

• Caminho 1 (Contagem direta): particionar os casos favoráveis segundo o número exato de servidores vulneráveis encontrados.

• Caminho 2 (Passagem ao evento contrário): calcular a probabilidade do evento complementar $A^c$.

Verifique que ambos os procedimentos levam à mesma fração irredutível.

1. b) Se o tamanho do lote aumentasse para 30 servidores e a amostra a extrair fosse de 10 servidores, analise qual dos dois métodos oferece uma vantagem operacional real quanto a erros de cálculo e justifique com base na estrutura combinatória das partições.
2. c) Um assistente da equipe propõe calcular os casos favoráveis do evento $A$ do seguinte modo: «Escolhemos primeiro 2 servidores vulneráveis dentre os 4 disponíveis de $\binom{4}{2}$ formas; depois, escolhemos os 3 servidores restantes dentre os 16 que sobram no lote de $\binom{16}{3}$ formas. Portanto, os casos favoráveis são $\binom{4}{2} \cdot \binom{16}{3}$». Demonstre analiticamente por que esse raciocínio é errado e especifique se ele produz uma superestimação ou uma subestimação do número real de casos.

Para constituir uma banca de concurso público para docentes em um estado, a administração convoca por sorteio rigoroso 5 membros a partir de uma lista fechada de 30 candidatos qualificados, formada por 18 mulheres e 12 homens. A regulamentação do serviço público exige o princípio de presença equilibrada: a banca não pode ter mais de $60\,\%$ de membros do mesmo sexo (ou seja, a banca deve contar com pelo menos 2 mulheres e pelo menos 2 homens).

1. a) Modele a seleção da banca por meio de combinações e calcule a probabilidade de uma banca escolhida ao acaso cumprir diretamente a regulamentação de presença equilibrada.
2. b) Suponha que na lista de 30 pessoas figuram dois docentes específicos (um homem e uma mulher) que têm parentesco de primeiro grau, de modo que a lei do regime jurídico proíbe que ambos façam parte da mesma banca. Se a administração descartar por sorteio prévio a possibilidade de ambos coincidirem, restringindo o espaço amostral unicamente a bancas em que os dois familiares não estejam juntos, determine se a probabilidade de a banca cumprir a paridade aumenta ou diminui em relação à obtida no item a). Justifique quantitativamente a sua conclusão.
3. c) Propõe-se como alternativa modificar o procedimento de sorteio: em vez de um único sorteio de 5 pessoas entre os 30 candidatos, realizar duas urnas separadas (uma para mulheres e outra para homens) e sortear aleatoriamente 3 mulheres e 2 homens com probabilidade $0,5$, ou 2 mulheres e 3 homens com probabilidade $0,5$. Justifique matematicamente se esse novo mecanismo mantém ou altera a probabilidade individual de cada docente ser selecionado em relação ao sorteio equiprovável original.