Exercícios: Tronco de pirâmide

O volume de um tronco de pirâmide de bases paralelas de áreas $A_B$ (base maior) e $A_b$ (base menor) e altura $h$ é dado por:

$$V = \frac{h}{3}\left(A_B + \sqrt{A_B \cdot A_b} + A_b\right)$$

Uma maceteira de concreto, numa praça de Curitiba, tem a forma de tronco de pirâmide regular de bases quadradas: a boca quadrada tem lado $6$ m, o fundo quadrado tem lado $4$ m e a profundidade é de $3$ m.

1. a) Calcule as áreas $A_B$ e $A_b$ das duas bases quadradas.
2. b) Calcule o termo médio $\sqrt{A_B \cdot A_b}$.
3. c) Calcule o volume da maceteira, em metros cúbicos.

Um reservatório de água de uma granja em Goiás tem a forma de tronco de pirâmide regular de bases quadradas: a boca mede $8$ m de lado, o fundo mede $4$ m de lado e a profundidade é de $3$ m. Use a fórmula $V = \dfrac{h}{3}\left(A_B + \sqrt{A_B \cdot A_b} + A_b\right)$ e lembre que $1$ m$^3 = 1.000$ litros.

1. a) Calcule o volume do reservatório, em metros cúbicos.
2. b) Expresse a capacidade em litros.
3. c) Uma bomba enche o reservatório a uma vazão de $500$ litros por minuto. Quanto tempo leva para enchê-lo por completo? Dê a resposta em minutos e em horas e minutos.

A área lateral de um tronco de pirâmide regular é a soma das áreas de suas faces laterais, que são trapézios isósceles congruentes. Se $P_B$ e $P_b$ são os perímetros das bases e $a_t$ é o apótema do tronco (altura de cada face trapezoidal), então:

$$A_l = \frac{P_B + P_b}{2} \cdot a_t$$

Um vaso decorativo tem a forma de tronco de pirâmide regular de bases quadradas de lados $20$ cm e $12$ cm, e apótema do tronco $a_t = 10$ cm.

1. a) Calcule os perímetros $P_B$ e $P_b$ das bases.
2. b) Calcule a área lateral do vaso.
3. c) Calcule a área total (lateral mais as duas bases).
4. d) O artesão cobra R$ 0,35 por centímetro quadrado de pintura da área total. Quanto custará a pintura de um vaso?

Neste exercício você vai obter o volume de um tronco de pirâmide sem usar a fórmula pronta, apenas com semelhança. Uma pirâmide regular de base quadrada tem altura $12$ m e base de lado $6$ m. Corta-se a pirâmide por um plano paralelo à base, passando a $6$ m do vértice (metade da altura), obtendo-se uma pirâmide menor, semelhante à original, e um tronco de pirâmide de altura $6$ m.

1. a) Justifique, usando semelhança de triângulos na secção vertical da pirâmide, por que a razão de semelhança entre a pirâmide menor e a original é $\dfrac{1}{2}$.
2. b) Calcule o lado da base da pirâmide menor.
3. c) Calcule os volumes da pirâmide original e da pirâmide menor, usando $V = \dfrac{1}{3} A_b \cdot h$, e obtenha o volume do tronco por diferença.
4. d) Verifique que a fórmula $V = \dfrac{h}{3}\left(A_B + \sqrt{A_B \cdot A_b} + A_b\right)$, aplicada ao tronco, dá o mesmo valor encontrado no item c).