Equações com valor absoluto

Resolva a seguinte equação linear com valor absoluto:

$|3x - 5| = 7$

Isole o valor absoluto e encontre as soluções da equação:

$2|x + 4| - 10 = 0$

Encontre os números cuja distância ao número $4$ na reta real é exatamente $9$. Monte e resolva a equação com valor absoluto correspondente.

Resolva a seguinte equação com coeficientes fracionários:

$\left| \frac{2x}{3} - 1 \right| = 5$

Na reta real, a distância entre dois números $x$ e $a$ se expressa por meio de $|x - a|$. A partir dessa interpretação geométrica:

1. a) Escreva uma equação com valor absoluto da forma $|x - c| = d$ (com $d > 0$) cujo conjunto solução seja exatamente $\{-3, 7\}$. Justifique a escolha dos valores numéricos de $c$ (centro ou ponto médio) e de $d$ (distância aos extremos).
2. b) Resolva formalmente a equação que você propôs no item anterior para verificar analiticamente que ela produz exatamente essas duas soluções.

Resolva a equação considerando que os argumentos dos módulos são iguais ou opostos:

$|2x - 1| = |x + 3|$

Analise e resolva a seguinte equação. Justifique sua resposta:

$|5x + 2| = -4$

Para resolver a equação $|2x - 8| = -4$, o Marcos escreve o seguinte procedimento no caderno dele:

O Marcos conclui que a equação tem duas soluções: $x = 2$ e $x = 6$.

1. a) Explique fundamentadamente o erro conceitual que o Marcos comete no ponto de partida, antes de realizar qualquer isolamento de variável, recorrendo à definição geométrica do valor absoluto.
2. b) Substitua os valores $x = 2$ e $x = 6$ na equação original para mostrar a contradição aritmética a que leva o raciocínio dele.
3. c) Determine qual é o verdadeiro conjunto solução da equação.

Determine os valores de $x$ que satisfazem a seguinte equação quadrática com módulo:

$|x^2 - 9| = 0$

Encontre todas as soluções reais da equação:

$|x^2 - 5x| = 6$

Determine as soluções da seguinte equação fazendo uma mudança de variável adequada ou distinguindo casos de acordo com o sinal de $x$:

$x^2 - 4|x| - 5 = 0$

Resolva a seguinte equação e verifique a validade das soluções obtidas, descartando aquelas que não façam sentido:

$|x - 5| = 2x - 1$

Encontre os valores de $x$ que satisfazem a seguinte equação, verificando as soluções na equação original:

$|x^2 - 4x| = 3x - 6$

Uma partícula oscila em torno de um ponto de equilíbrio. Sua posição $x$ em certos instantes críticos satisfaz a equação $|x^2 - 10| = 3x$. Encontre as posições exatas $x$ onde isso ocorre, certificando-se de descartar as soluções não válidas.

Resolva a seguinte equação racional com módulo:

$\left| \frac{x+2}{x-1} \right| = 3$

Durante um experimento químico, a margem de erro na medição do pH de uma solução tampão é dada pela equação $|2p - 14| = p - 4$, onde $p$ é o valor do pH. Calcule os possíveis valores de $p$ e descarte aqueles que não tenham sentido físico ou matemático nesta equação.

Em uma cooperativa de olivicultores de Jaén, engarrafa-se azeite de oliva extravirgem em garrafas com um volume nominal de $1\text{ litro}$. Durante uma auditoria de controle de qualidade, o sensor de enchimento detecta que o volume real de líquido $V$ (em litros) dos lotes anômalos satisfaz a seguinte igualdade:

1. a) Deduza a condição matemática que a expressão do membro direito ($0,5 \cdot V + 0,15 \ge 0$) deve satisfazer para que a equação possa ter solução e interprete o que isso significa em relação ao volume admissível das garrafas.
2. b) Resolva a equação separando os dois casos correspondentes e verifique se as soluções candidatas obtidas satisfazem a condição do item anterior.
3. c) Calcule o erro absoluto de cada volume válido em relação ao litro nominal ($|V - 1|$) e determine qual das duas embalagens defeituosas apresenta o maior desvio de volume.

Resolva a seguinte equação racional que envolve um módulo. Preste especial atenção aos valores que anulam o denominador:

$\left| \frac{x^2 - x - 2}{x^2 + x} \right| = 1$

Resolva a seguinte equação igualando o valor absoluto de uma expressão quadrática ao valor absoluto de uma expressão linear:

$|x^2 - 5x + 4| = |2x - 6|$

Resolva a seguinte equação com módulos aninhados:

$||2x - 1| - 4| = 5$

Determine as soluções da equação dividindo a reta real em intervalos de acordo com as raízes dos argumentos dos valores absolutos:

$|x - 2| + |x + 3| = 7$

Considere a equação com a soma de dois valores absolutos:

1. a) Estime: Interprete geometricamente $|x - 3|$ e $|x - 7|$ como as distâncias de um ponto $x$ da reta real aos pontos $3$ e $7$. Quanto vale a soma de ambas as distâncias se $x$ estiver situado no interior do segmento $[3, 7]$? A partir dessa observação, justifique por que as soluções não podem estar nesse intervalo, estime quantas soluções a equação deve ter e deduza, por simetria, a que distância dos extremos $3$ e $7$ elas devem se encontrar.
2. b) Verifique: Resolva a equação de forma rigorosa dividindo a reta real em três intervalos delimitados pelos valores críticos $x = 3$ e $x = 7$, eliminando os módulos de acordo com o sinal de cada argumento em cada trecho.
3. c) Compare os valores exatos encontrados no item (b) com as deduções que você fez na estimativa do item (a).

O perfil da entrada de uma barraca de camping de design moderno é modelado pela equação $y = |x - 4| + |x - 8|$, onde $x$ e $y$ estão em metros. Para colocar uma viga de suporte horizontal a uma altura de $y = 6$ metros, resolva a equação $|x - 4| + |x - 8| = 6$ para encontrar as coordenadas $x$ das extremidades do suporte.

Encontre todas as soluções reais da equação combinada:

$x^2 - 2|x - 1| = 2$

Um braço robótico move-se ao longo de um trilho linear. Sua distância a dois sinalizadores localizados nas posições $x=0$ e $x=10$ deve satisfazer a restrição dada pela equação $2|x| - |x - 10| = 5$. Encontre as coordenadas exatas $x$ onde o robô pode parar.

Propõe-se resolver em $\mathbb{R}$ a equação com dois valores absolutos igualados:

Para resolvê-la, três alunos propõem caminhos distintos:

• Método 1 (por intervalos): Determinar os sinais de $2x - 3$ e de $x + 4$ dividindo a reta real em três regiões por meio dos pontos críticos $x = -4$ e $x = 1,5$, retirando os módulos de forma fixa em cada trecho.

• Método 2 (propriedade de simetria): Aplicar diretamente a equivalência $|A| = |B| \iff A = B \text{ ou } A = -B$.

• Método 3 (elevação ao quadrado): Elevar ambos os membros ao quadrado para obter $(2x - 3)^2 = (x + 4)^2$ e resolver a equação quadrática resultante.

1. a) Resolva a equação aplicando o Método 2 e verifique a validade das soluções obtidas.
2. b) Resolva a equação aplicando o Método 3, expressando-a como diferença de quadrados $(2x - 3)^2 - (x + 4)^2 = 0$ e fatorando sem chegar a desenvolver os polinômios completos.
3. c) Compare criticamente os três métodos: justifique por que o Método 2 é o mais eficiente neste caso e argumente que desvantagens ou riscos de cálculo algébrico desnecessário os Métodos 1 e 3 apresentam.

Determine o valor do parâmetro $k$ para o qual a equação $|x^2 - 4x + 3| = k$ tem exatamente três soluções reais distintas.

Na figura você tem o gráfico de $f(x)=|x^2-4x+3|$. Use-o para raciocinar quantas soluções a equação tem conforme a altura da reta horizontal $y=k$, e justifique o valor de $k$ com cálculos.

Deseja-se construir uma equação com valores absolutos encaixados da forma:

onde $a$, $b$ e $c$ são números reais com $b > 0$ e $c > 0$, de tal modo que se cumpram simultaneamente as três condições seguintes:

1. A equação tem exatamente três soluções reais distintas.

2. A menor das soluções é $x = -2$.

3. A maior das soluções é $x = 8$.

1. a) Isole a equação 'de fora para dentro' separando-a nos dois ramos que o valor absoluto exterior gera. A partir desses dois ramos, deduza de forma fundamentada que relação obrigatória deve existir entre os parâmetros $b$ e $c$ para que a equação produza exatamente três soluções (e não duas nem quatro).
2. b) A partir da dedução anterior e das soluções extremas dadas ($x = -2$ e $x = 8$), calcule os valores numéricos exatos das constantes $a$, $b$ e $c$.
3. c) Escreva a equação final com os parâmetros obtidos e resolva-a passo a passo para verificar que as três soluções encontradas satisfazem todas as condições impostas.

Uma máquina corta cabos de aço para uma ponte pênsil. O comprimento $L$ (em metros) de um cabo é considerado aceitável se satisfaz a equação de tolerância $|2L - 150| = 1,5$. Calcule os comprimentos máximo e mínimo aceitáveis para o cabo.

Em um modelo econômico, o desvio do preço $P$ de uma ação em relação ao seu valor de referência de $120$ reais é proporcional ao próprio preço, modelado pela equação $|P - 120| = \frac{P}{5}$. Calcule os preços exatos que cumprem essa condição.

Um braço robótico move-se ao longo de um trilho linear. Sua distância a dois sinalizadores localizados nas posições $x=0$ e $x=10$ deve satisfazer a restrição dada pela equação $2|x| - |x - 10| = 5$. Encontre as coordenadas exatas $x$ onde o robô pode parar.