Polinômios

Sejam os polinômios $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ e $Q(x) = -x^3 + 4x^2 - 2x + 5$. Calcule o polinômio resultante da operação $2P(x) - Q(x)$ e expresse o resultado ordenado do maior para o menor grau.

Para calcular o resto da divisão do polinômio $P(x) = 3x^{50} - 4x^{25} + 2x - 1$ pelo binômio $x - 1$, três alunos da turma propõem estratégias distintas:

• A Alba propõe aplicar a divisão euclidiana tradicional pelo método da chave.

• O Bruno sugere utilizar o dispositivo de Briot-Ruffini completando com zeros os termos de grau intermediário.

• A Carla afirma que é muito mais imediato aplicar o teorema do resto.

1. a) Compare de forma fundamentada os três métodos e explique por que dois deles se tornam totalmente inviáveis ou ineficientes neste caso concreto.
2. b) Seguindo o método mais adequado, calcule o resto da divisão.
3. c) A partir do valor do resto obtido, deduza de forma justificada se o binômio $(x - 1)$ é ou não um fator do polinômio $P(x)$.

Efetue a seguinte divisão de polinômios e indique claramente qual é o polinômio quociente $C(x)$ e o polinômio resto $R(x)$:

$(x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 5) : (x^2 - x + 1)$

Na divisão do polinômio $P(x) = 2x^4 - x^3 + kx^2 - 3x + 5$ por $Q(x) = x^2 - x + 2$, determine o valor do parâmetro $k$ para que o resto da divisão seja um número constante (ou seja, um polinômio de grau 0). Qual é o valor exato desse resto?

Utilize o dispositivo de Briot-Ruffini para efetuar a divisão do polinômio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ pelo binômio $x + 2$. Indique o quociente e o resto.

O Marcos precisa calcular o quociente e o resto da divisão do polinômio $P(x) = 2x^3 - 5x + 3$ por $x + 2$. Em sua prova, ele escreve a seguinte tabela de Ruffini: coloca na linha superior os coeficientes $2$, $-5$ e $3$, e na casa lateral esquerda coloca o número $2$. Após realizar as operações, ele conclui que o resto da divisão é $9$ e que o quociente é $C(x) = 2x + 1$.

1. a) Identifique e explique de forma fundamentada os dois erros conceituais que o Marcos cometeu ao aplicar a regra de Ruffini.
2. b) Corrija a resolução realizando a divisão de maneira adequada e escreva com clareza o polinômio quociente $C(x)$ e o resto $R$.
3. c) Verifique se o resto obtido está correto avaliando o polinômio por meio do teorema do resto.

Aplique o Teorema do Resto para calcular o resto da divisão do polinômio $P(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 5x + 8$ por $x - 3$, sem necessidade de efetuar a divisão completa.

Utilizando o Teorema do Fator, verifique se os valores $x = 2$ e $x = -1$ são raízes do polinômio $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$. Justifique sua resposta mostrando os cálculos.

Considere o polinômio $P(x) = x^4 - 3x^3 + 5x - 40$ e o divisor $d(x) = x - 4$.

1. a) Antes de calcular o resultado exato, faça uma estimativa fundamentada do valor do resto analisando a ordem de grandeza dos dois termos de maior grau quando $x = 4$. Você espera que o resto seja positivo ou negativo? Da ordem das dezenas ou das centenas?
2. b) Calcule o resto exato da divisão aplicando o teorema do resto e avalie criticamente se a sua estimativa inicial foi acertada.
3. c) Aplique o dispositivo de Briot-Ruffini para obter o polinômio quociente $C(x)$ e verifique a igualdade fundamental da divisão, $P(x) = (x - 4)\cdot C(x) + R$, avaliando ambos os membros para o valor numérico $x = 1$.

Demonstre, utilizando o Teorema do Fator, que o polinômio $P(x) = x^n - a^n$ é sempre divisível por $x - a$ para qualquer número natural $n \ge 1$. Em seguida, aplique essa propriedade para extrair a raiz evidente e fatorar completamente o polinômio $P(x) = x^5 - 32$ no conjunto dos números reais.

Extraia o fator comum e utilize os produtos notáveis para fatorar completamente o polinômio $P(x) = 3x^3 - 12x$.

Simplifique ao máximo a seguinte fração algébrica, fatorando previamente o numerador e o denominador:

$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$

Efetue a seguinte multiplicação de frações algébricas e simplifique o resultado:

$\frac{2x}{x-1} \cdot \frac{x^2 - 1}{4x^2}$

Em um circuito elétrico, a resistência equivalente $R_{eq}$ é dada pela seguinte expressão de frações algébricas:

$R_{eq}(x) = \frac{2}{x^2-1} - \frac{1}{x-1} + \frac{x}{x+1}$

Efetue as operações indicadas, calcule o mínimo múltiplo comum dos denominadores e simplifique a fração resultante ao máximo. Qual é o valor da resistência se $x = 3 \ \Omega$?

Fatore completamente o polinômio de quarto grau $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$. A partir de sua forma fatorada, indique todas as suas raízes reais.

A área de uma janela de design especial em um edifício é dada pela expressão $A(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$. Simplifique essa fração algébrica fatorando previamente o numerador (diferença de cubos) e o denominador. Em seguida, calcule a área quando $x = 3$ metros.

No projeto de um mecanismo de engrenagens, a relação de transmissão é modelada pela seguinte expressão algébrica complexa:

$T(x) = \frac{\frac{x^2 - 4}{x^3 + 8}}{\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 2x + 4}}$

Simplifique $T(x)$ ao máximo fatorando previamente todos os numeradores e denominadores. Qual problema matemático (e, portanto, físico) ocorre com a relação de transmissão se $x = 2$?

Dada a fração algébrica que modela a relação sinal-ruído em uma rede de telecomunicações:

$S(x) = \frac{x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12}{x^3 - 5x^2 + 2x + 8}$

Fatore completamente o numerador e o denominador utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini e a resolução de equações do segundo grau. Simplifique a fração ao máximo e determine, se existir, para qual valor real de $x$ a fração simplificada é igual a $3$.

Desenvolva completamente a potência do binômio $(2x - y)^4$ utilizando a fórmula do Binômio de Newton ou o triângulo de Pascal.

Em um estudo de combinações genéticas, a distribuição de certa probabilidade está relacionada ao desenvolvimento do binômio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^6$. Encontre o valor numérico exato do termo independente (o termo que não depende de $x$) nesse desenvolvimento.

No desenvolvimento do binômio $(x + 2)^n$, sabe-se que o coeficiente do termo que contém $x^{n-2}$ é exatamente $180$. Monte a equação correspondente utilizando a fórmula do Binômio de Newton, encontre o valor do número natural $n$ e calcule o termo independente desse desenvolvimento.

Os lucros diários de uma empresa, em milhares de reais, são modelados pelo polinômio $B(x) = -x^3 + ax^2 + bx + 4$, onde $x$ é o dia da semana (de 1 a 7). Sabe-se que no dia 1 o lucro é zero. Além disso, ao dividir $B(x)$ por $x-2$, o resto é $2$. Calcule os parâmetros $a$ e $b$ e fatore o polinômio para determinar em qual outro dia da semana o lucro volta a ser exatamente zero.

Uma empresa de embalagens projeta caixas retangulares sem tampa a partir de uma chapa de papelão de $30 \text{ cm}$ por $20 \text{ cm}$. Para isso, recortam quadrados de lado $x$ em cada canto e dobram as bordas para cima. Expresse o volume $V(x)$ da caixa como um polinômio na forma padrão (expandido). Depois, calcule o volume exato se forem recortados quadrados de $x = 4 \text{ cm}$.

Desenhe um polinômio mônico $P(x)$ do menor grau possível que cumpra simultaneamente as seguintes quatro condições:

1. Admite $x = -2$ como raiz com multiplicidade 2 (raiz dupla).

2. O seu termo independente é $-12$.

3. Ao dividi-lo por $(x - 1)$, o resto obtido é exatamente $-18$.

4. Não tem mais raízes reais do que as estritamente necessárias para verificar as condições anteriores.

1. a) Justifique por que o polinômio procurado não pode ser de grau 2 e deduza qual deve ser o seu grau mínimo.
2. b) Determine a expressão algébrica de $P(x)$ tanto na sua forma fatorada quanto na sua forma desenvolvida e ordenada do maior para o menor grau.
3. c) Verifique de forma explícita que o polinômio encontrado satisfaz todas e cada uma das condições do enunciado.

A curva de dilatação térmica de um novo polímero é aproximada por um polinômio cúbico $E(t) = at^3 + bt^2 + ct + d$. Nos ensaios de laboratório, comprovou-se que nas temperaturas $t = 1 \ ^\circ\text{C}$, $t = 2 \ ^\circ\text{C}$ e $t = -1 \ ^\circ\text{C}$ a dilatação é nula. No entanto, a $t = 0 \ ^\circ\text{C}$, a dilatação é de $2 \text{ mm}$. Determine o valor dos coeficientes $a, b, c, d$ do polinômio.

A curva de flexão de uma viga submetida a carga é modelada pelo polinômio $y(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$. Sabe-se que o polinômio é exatamente divisível por $(x-1)^2$. Além disso, ao dividi-lo por $x+1$, o resto é $-8$, e ao dividi-lo por $x-2$, o resto é $4$. Monte o sistema de equações correspondente e determine os valores de $a, b, c$ e $d$.

Uma embalagem cilíndrica está inscrita em uma esfera de raio $R = 10 \text{ cm}$. O volume do cilindro em função de sua semialtura $x$ é $V(x) = 2\pi x (100 - x^2)$. Deseja-se que o volume seja exatamente $768\pi \text{ cm}^3$. Formule a equação polinomial $P(x) = 0$, encontre sua raiz inteira utilizando a regra de Ruffini e fatore o polinômio resultante para determinar todas as possíveis semialturas $x$ que satisfazem a condição geométrica.

Em um projeto de design 3D, parte-se de um cubo maciço de aresta $x+2 \text{ cm}$. Faz-se um furo em seu interior, extraindo outro cubo concêntrico de aresta $x-1 \text{ cm}$. Expresse o volume de material restante como um polinômio na forma padrão (desenvolvendo os binômios ao cubo e simplificando). Depois, determine o valor de $x$ sabendo que o volume de material restante é exatamente de $117 \text{ cm}^3$.

O volume de água armazenada em um reservatório da bacia do rio São Francisco ao longo de um ano hidrológico de 12 meses ($t \in [0, 12]$, em que $t = 0$ representa 1º de outubro) é modelado pelo polinômio cúbico $V(t) = -t^3 + b t^2 + c t + d$, expresso em hectômetros cúbicos ($\text{hm}^3$). Os dados oficiais da agência de águas registram o seguinte:

• No início do ano hidrológico ($t = 0$), o reservatório continha $180\text{ hm}^3$.

• Ao terminar o mês de dezembro ($t = 3$), o volume voltou a ser exatamente de $180\text{ hm}^3$.

• Ao concluir o mês de março ($t = 6$), após as chuvas do final do verão, o volume armazenado atingiu os $288\text{ hm}^3$.

1. a) Traduza a informação para um sistema de equações e calcule de forma fundamentada os coeficientes $b$, $c$ e $d$.
2. b) Por meio da regra de Ruffini, decomponha o polinômio $V(t) - 180$ em um produto de três fatores lineares e determine em que outro mês do ano hidrológico as reservas voltam a se situar exatamente no nível inicial de $180\text{ hm}^3$.
3. c) Interprete o sinal do polinômio fatorado $V(t) - 180$ no intervalo $[0, 12]$ para indicar em que período do ano as reservas se situam acima dos $180\text{ hm}^3$, e fundamente se o modelo prevê em algum momento o esvaziamento total do reservatório ($V(t) \le 0$).

Um polinômio $P(x)$, cujo grau não é especificado a priori, produz um resto igual a $-4$ quando é dividido por $(x - 2)$, e um resto igual a $8$ quando é dividido por $(x + 1)$.

1. a) Se dividirmos $P(x)$ pelo polinômio quadrático $Q(x) = (x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2$, justifique formalmente, a partir da identidade fundamental da divisão euclidiana $D(x) = d(x)\cdot C(x) + R(x)$, qual é o grau máximo que o resto $R(x)$ pode ter.
2. b) Modele a expressão algébrica geral desse resto $R(x)$ e calcule seus coeficientes exatos aplicando o teorema do resto, demonstrando por que não é necessário conhecer a fórmula global de $P(x)$ para determiná-lo.
3. c) Se acrescentarmos o dado de que $P(x)$ é mônico, de grau 3 e seu termo independente é $6$ (isto é, o resto ao dividi-lo por $x$ é $6$), reconstrua a expressão completa de $P(x)$ e fatore-a em $\mathbb{R}$ encontrando todas as suas raízes.