Equação do segundo grau

Resolva a seguinte equação do segundo grau completa aplicando a fórmula de Bhaskara:

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Encontre as soluções da seguinte equação do segundo grau incompleta, colocando o fator comum em evidência:

$3x^2 - 12x = 0$

Resolva a seguinte equação do segundo grau incompleta isolando diretamente a incógnita:

$2x^2 - 18 = 0$

O Marcos precisa resolver numa prova a equação quadrática $5x^2 - 15x = 0$. Na folha dele, escreve o seguinte desenvolvimento:

1) Transponho o termo: $5x^2 = 15x$.

2) Divido ambos os membros por $x$: $\frac{5x^2}{x} = \frac{15x}{x} \implies 5x = 15$.

3) Isolo a incógnita: $x = \frac{15}{5} = 3$.

Conclusão do Marcos: «A única solução da equação é $x = 3$».

1. a) Detecte e explique com precisão algébrica o erro que o Marcos cometeu no passo 2 e que consequência direta isso tem sobre o número de soluções encontradas.
2. b) Resolva a equação corretamente usando a colocação do fator comum em evidência e justifique por que a lei do anulamento do produto ($A \cdot B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0$) garante que nenhuma solução se perde.

Dadas as três seguintes equações do segundo grau:

(A) $3x^2 - 75 = 0$

(B) $2x^2 + 8x = 0$

(C) $x^2 - 5x + 6 = 0$

Um colega afirma que a estratégia mais segura e rápida consiste em aplicar de forma sistemática a fórmula de Bhaskara $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ às três por igual.

1. a) Compare, para cada uma das equações, o uso da fórmula de Bhaskara com o método específico mais direto (isolamento da raiz quadrada, fatoração por fator comum ou relações de Girard (soma e produto das raízes) por cálculo mental). Justifique de forma fundamentada qual método minimiza o risco de cometer erros de cálculo em cada caso.
2. b) Resolva cada uma das equações aplicando o procedimento ótimo que você justificou.

Sem resolver a equação, determine o número de soluções reais que ela possui calculando o valor do seu discriminante:

$5x^2 - 3x + 2 = 0$

Determine o valor (ou valores) do parâmetro $k$ para que a equação $x^2 - kx + 9 = 0$ tenha uma única solução real dupla.

Dada a equação $4x^2 - 5x - 9 = 0$, calcule a soma e o produto de suas raízes utilizando as relações de Cardano-Vieta, sem necessidade de resolver a equação.

Na equação paramétrica $2x^2 + mx + 15 = 0$, sabe-se que uma das soluções é $x = 3$. Sem necessidade de usar a fórmula de Bhaskara, calcule o valor do parâmetro $m$ e encontre a outra solução.

Considere a equação quadrática $x^2 - 19x + 84 = 0$.

1. a) Sem calcular o discriminante nem aplicar a fórmula de Bhaskara, utilize as relações de Girard ($x_1 + x_2 = 19$, $x_1 \cdot x_2 = 84$) para estimar e delimitar de forma fundamentada entre quais valores devem se situar as soluções. Deduza primeiro o sinal de ambas as raízes e tente pares de números inteiros situados a distâncias simétricas em relação à metade da soma ($9,5$) até propor uma estimativa fundamentada das soluções.
2. b) Resolva formalmente a equação com a fórmula de Bhaskara e compare o resultado obtido com a sua estimativa inicial. Explique por que o conhecimento prévio da soma e do produto das raízes permite detectar imediatamente possíveis erros de cálculo na resolução.

Deseja-se determinar uma equação do segundo grau mônica ($x^2 + bx + c = 0$, com $b, c \in \mathbb{R}$) cujas soluções desconhecidas $x_1$ e $x_2$ verifiquem simultaneamente duas condições algébricas:

1) A distância entre ambas as raízes sobre a reta real é igual a $4$ ($|x_1 - x_2| = 4$).

2) A soma dos seus inversos é $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{2}{3}$.

1. a) Apoiando-se nas relações de Girard (soma e produto das raízes) e utilizando a identidade algébrica $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 \cdot x_2$, formule um sistema que relacione diretamente os coeficientes $b$ e $c$ sem calcular previamente as raízes individuais.
2. b) Resolva o sistema para deduzir quantas equações quadráticas distintas cumprem simultaneamente ambos os requisitos. Escreva cada uma das equações resultantes, determine as suas respectivas soluções e verifique que satisfazem as condições originais.

Discuta o número de soluções reais da equação $(m-1)x^2 - 2mx + (m+2) = 0$ em função dos diferentes valores que o parâmetro $m$ pode assumir.

Resolva a seguinte equação do quarto grau realizando uma mudança de variável adequada para transformá-la em uma equação do segundo grau:

$(x^2 - 3x)^2 - 2(x^2 - 3x) - 8 = 0$

Em um experimento de física, lança-se um foguete de água verticalmente para cima. Sua altura $h$ em metros em relação ao solo, em função do tempo $t$ em segundos, é dada pela expressão $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Determine em qual instante ou instantes o foguete se encontra exatamente a $17$ metros de altura.

Deseja-se emoldurar uma fotografia de $20 \text{ cm}$ de altura por $30 \text{ cm}$ de largura com uma moldura de madeira de largura uniforme $x$. Se a área total da moldura (sem contar a fotografia) é de $216 \text{ cm}^2$, monte uma equação e encontre a largura da moldura.

O produto de dois números inteiros ímpares consecutivos é $323$. Monte uma equação do segundo grau e resolva para encontrar quais são esses dois números. Existe mais de um par possível?

O Instituto Nacional de Meteorologia (INMET) registra durante um dia de alerta de calor em Goiânia que a temperatura $T$ (em graus Celsius) a partir das 12:00 do meio-dia é modelada pela função $T(t) = -t^2 + 8t + 28$, em que $t$ representa o tempo decorrido em horas desde as 12:00 ($t \in [0, 8]$).

1. a) O plano municipal de emergências estabelece medidas preventivas no trabalho ao ar livre quando a temperatura atinge ou ultrapassa os $43\text{ }^\circ\text{C}$. Formule a equação do segundo grau correspondente e determine a que horas exatas da tarde essas medidas são ativadas e desativadas.
2. b) Um relatório preliminar afirma que em algum momento da tarde serão atingidos os $46\text{ }^\circ\text{C}$. Sem necessidade de resolver a equação completa associada a esse valor, analise o sinal do seu discriminante e conclua, de forma fundamentada, se essa afirmação é viável de acordo com o modelo térmico.

Em um triângulo retângulo de catetos $6 \text{ cm}$ e $8 \text{ cm}$, inscreve-se um retângulo de forma que dois de seus lados estejam sobre os catetos e um de seus vértices sobre a hipotenusa. Se a área do retângulo deve ser exatamente de $12 \text{ cm}^2$, monte uma equação do segundo grau e encontre as dimensões possíveis do retângulo.

Um grupo de amigos decide alugar um veleiro para o fim de semana por um custo total de $360$ reais, que concordam em pagar em partes iguais. No último momento, dois dos amigos não podem ir, o que obriga o restante do grupo a pagar $9$ reais a mais cada um para cobrir o custo total. Monte uma equação que se reduza ao segundo grau para determinar quantos amigos formavam o grupo original.

Um trem de alta velocidade da Renfe cobre o trajeto direto entre Madrid e Valência, separadas por uma distância ferroviária de $390\text{ km}$. Em condições habituais, o trem circula a uma velocidade média constante $v$ (expressa em $\text{km/h}$). Devido a uma limitação temporária de velocidade imposta por obras na infraestrutura, numa determinada jornada o trem reduz a sua velocidade média em $65\text{ km/h}$, o que provoca um atraso de exatamente $30\text{ minutos}$ ($0,5\text{ h}$) em relação ao seu horário programado.

1. a) Modele a situação relacionando a distância, as velocidades e os tempos de viagem por meio de uma equação algébrica com incógnita $v$, e transforme-a passo a passo numa equação quadrática da forma $a v^2 + b v + c = 0$.
2. b) Resolva a equação obtida para encontrar a velocidade habitual $v$ do trem. Justifique com um argumento físico rigoroso por que razão se descarta uma das duas soluções matemáticas do problema.
3. c) Calcule o tempo gasto pelo trem em condições normais e o gasto no dia da limitação temporária, verificando que a diferença coincide com os dados do enunciado.