Estatística descritiva bidimensional

No estudo das relações entre duas variáveis, é fundamental distinguir se existe uma dependência exata ou uma relação estatística. Indique em quais dos seguintes casos a relação é funcional (existe uma fórmula exata) e em quais é estatística (existe uma tendência, mas com variabilidade):

• a) O número de litros de gasolina abastecidos em um posto de combustível e o custo total a pagar.

• b) A nota obtida em uma prova de Matemática e o número de horas que o aluno dedicou aos estudos nessa semana.

• c) O tempo que uma lâmpada de baixo consumo permanece acesa e o consumo de energia registrado pelo medidor.

• d) A altura de uma pessoa e o número do calçado que ela usa.

• e) A temperatura máxima diária em uma cidade e o número de sorvetes vendidos em uma sorveteria dessa mesma cidade.

Um grupo de 20 adolescentes foi classificado segundo seu hábito de leitura (Leitor frequente / Não leitor) e sua preferência pelo formato de livros (Papel / Digital). Os dados obtidos são:

• 8 são leitores frequentes e preferem o formato papel.

• 4 são leitores frequentes e preferem o formato digital.

• 2 não são leitores, mas preferem o formato papel.

• 6 não são leitores e preferem o formato digital.

Organize esta informação em uma tabela de frequências conjuntas (tabela de contingência), incluindo os totais marginais nas linhas e colunas.

A partir da seguinte tabela de contingência que mostra o tipo de dispositivo principal usado para estudar e o ano do aluno (4º da ESO ou 1º do Bacharelado), responda às perguntas propostas:

• a) Qual é a frequência absoluta conjunta dos alunos que estão no 1º do Bacharelado e usam principalmente o notebook?

• b) Determine a frequência marginal dos alunos que usam Tablet.

• c) Quantos alunos no total participaram do estudo?

• d) Qual porcentagem do total de alunos é do 4º da ESO?

Dada a seguinte tabela de frequências conjuntas das variáveis $X$ (número de filhos) e $Y$ (número de quartos na residência):

1. a) Calcule as distribuições marginais de $X$ e $Y$.
2. b) Determine a média e a variância da variável $Y$ condicionada a $X = 1$.
3. c) Calcule a covariância $S_{xy}$ e conclua se as variáveis são independentes ou apresentam algum tipo de associação.

Dados os seguintes pares de variáveis, indique se você espera encontrar uma correlação positiva, negativa ou nula:

• a) O número de quilômetros percorridos por um carro e a quantidade de combustível que resta no tanque.

• b) A nota média no Ensino Médio e o número de horas que um aluno passa jogando videogames.

• c) A idade de uma pessoa e o número do seu documento de identidade.

• d) A renda mensal de uma pessoa e a quantidade de dinheiro que ela economiza por mês.

• e) A velocidade média de um atleta em uma corrida e o tempo que ele leva para completá-la.

Dispõe-se de uma variável bidimensional $(X, Y)$ em que $X$ representa a temperatura externa em $^\circ\text{C}$ e $Y$ o consumo elétrico de um shopping center em $kW$. Sabemos que o centro de gravidade da distribuição é o ponto $(\bar{x}, \bar{y}) = (22, 450)$.

Se a reta de regressão de $Y$ sobre $X$ tem um coeficiente angular de $b = 15$:

• a) Escreva a equação da reta de regressão de $Y$ sobre $X$ utilizando a forma ponto-coeficiente angular: $y - \bar{y} = b(x - \bar{x})$.

• b) Qual seria o consumo esperado para uma temperatura de $30^\circ\text{C}$?

Uma empresa de entregas estuda a relação entre o peso dos pacotes em kg ($X$) e o custo do envio em reais ($Y$). Foram analisadas 5 entregas com os seguintes resultados:

Calcule:

1. O centro de gravidade da distribuição $(\bar{x}, \bar{y})$.

2. Os desvios padrão marginais $\sigma_x$ e $\sigma_y$.

Foi realizada uma pesquisa com 10 estudantes da 1ª série do Ensino Médio sobre o número de horas semanais que dedicam à prática de esportes ($X$) e a sua frequência cardíaca em repouso ($Y$). Os resultados foram representados no seguinte diagrama de dispersão:

Observando o gráfico, responda às seguintes questões:

• a) A correlação entre as variáveis é positiva ou negativa? Explique o que isso significa no contexto do problema.

• b) Você acha que a correlação é forte ou fraca? Justifique sua resposta com base na proximidade dos pontos a uma possível linha reta.

Associe cada um dos seguintes valores do coeficiente de correlação linear de Pearson, $r$, ao gráfico que melhor o representa:

• 1) $r = 0,95$

• 2) $r = -0,85$

• 3) $r = 0,05$

Um analista de redes sociais reuniu dados sobre o número de vídeos curtos publicados por um grupo de criadores de conteúdo ($X$) e o número de novos seguidores obtidos em uma semana ($Y$). O diagrama de dispersão resultante é mostrado a seguir:

A partir do gráfico:

1. Indique se existe correlação entre ambas as variáveis e, em caso afirmativo, determine o seu sinal e a sua força aproximada.

2. Trata-se de uma relação funcional ou estatística? Justifique a sua resposta.

3. Estime, justificando, qual dos seguintes valores poderia corresponder ao coeficiente de correlação linear de Pearson $r$: $-0,92$; $0,15$; $0,94$ ou $1$.

Foi realizado um estudo sobre a relação entre o tempo que um estudante da 1ª série do Ensino Médio dedica a jogar videogames diariamente em horas ($X$) e o seu tempo de reação medido em milissegundos em um teste específico ($Y$). Os parâmetros obtidos são:

$\bar{x} = 2,5$; $\bar{y} = 310$; $\sigma_x = 1,2$; $\sigma_y = 45$ e a covariância $\sigma_{xy} = -48,6$.

1. Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson.

2. Interprete o resultado obtido em função do contexto do problema. O que acontece com a capacidade de reação à medida que aumentam as horas de jogo?

Um clube de basquete quer prever o número de pontos marcados pelos seus jogadores ($Y$) em função dos minutos jogados ($X$). Após analisar os jogadores, obtêm-se os seguintes dados:

$\sum x_i = 240$

$\sum y_i = 120$

$\sum x_i^2 = 6500$

$\sum y_i^2 = 1800$

$\sum x_i y_i = 3200$

Número de jogadores analisados: $n = 10$.

1. Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson.

2. Se um jogador jogar $25$ minutos, faça uma estimativa dos pontos que ele marcará utilizando a reta de regressão correspondente.

Analisa-se a relação entre o tempo de estudo semanal ($X$, em horas) e a nota média ($Y$) de um grupo de estudantes. Sabe-se que a covariância é $S_{xy} = 4,5$ e que o coeficiente de correlação é $r = 0,75$. Se todos os estudantes forem premiados com 1 ponto extra na sua nota média e, além disso, decidirem estudar o dobro de horas na semana seguinte:

1. a) Demonstre matematicamente como variam a nova covariância $S'_{xy}$ e o novo coeficiente de correlação $r'$.
2. b) A confiabilidade das previsões do modelo linear mudaria após essas alterações? Justifique a resposta com base nas propriedades dos parâmetros bidimensionais.

Em uma competição de e-sports, mede-se a idade dos jogadores ($X$) e o seu tempo de reação diante de um estímulo visual ($Y$, em milissegundos). A nuvem de pontos sugere uma relação linear inversa. Dispõe-se da seguinte informação simplificada:

$\sum x_i = 200$, $\sum y_i = 2500$, $\sum x_i^2 = 4150$, $\sum y_i^2 = 628000$, $\sum x_i y_i = 49400$ (para $n = 10$ jogadores).

1. a) Calcule o coeficiente de correlação linear.
2. b) Um jogador de 32 anos (fora do intervalo da amostra original, que era de 18 a 25 anos) entra no estudo. Se o seu tempo de reação fosse de 280 ms, como esse novo ponto afetaria o coeficiente angular da reta de regressão de $Y$ sobre $X$? Justifique a sua resposta sem necessidade de recalcular tudo.

Obteve-se a reta de regressão que relaciona o tempo de uso diário de uma rede social em minutos ($X$) com o nível de bateria consumido em porcentagem ($Y$). A equação da reta é:

$y = 0,15x + 2,5$

• a) Estime a porcentagem de bateria consumida se um usuário utilizar a rede social durante $120$ minutos.

• b) Se o coeficiente de correlação linear é $r = 0,92$, você considera que a estimativa anterior é confiável? Justifique a sua resposta.

Uma plataforma de streaming analisa a relação entre a temperatura externa média em graus Celsius ($X$) e o número de horas que seus usuários passam assistindo a séries em um fim de semana ($Y$). A reta de regressão de $Y$ sobre $X$ obtida é:

$y = -0,45x + 18,2$

1. Se em um fim de semana a temperatura média for de $8 ^\circ C$, quantas horas se estima que um usuário passará assistindo a séries?

2. Se o coeficiente de determinação é $R^2 = 0,81$, qual é a confiabilidade da previsão anterior? Explique o significado desse valor.

A tabela a seguir mostra as notas obtidas por 6 alunos em uma prova de Matemática ($X$) e em uma de Economia ($Y$):

1. Encontre a covariância $\sigma_{xy}$.

2. Obtenha a equação da reta de regressão de Economia ($Y$) sobre Matemática ($X$).

3. Qual nota seria esperada em Economia para um aluno que tirou $10$ em Matemática?

Em um estudo sobre hábitos saudáveis, mede-se a distância percorrida de bicicleta por semana em km ($X$) e o gasto com manutenção da bicicleta em reais ($Y$). Sabe-se que a reta de regressão de $Y$ sobre $X$ é $y = 0,12x + 15$ e que o coeficiente de correlação é $r = 0,85$.

1. Justifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:

   • a) Existe uma dependência funcional entre os km percorridos e o gasto.

   • b) A relação entre as variáveis é direta.

   • c) Se um ciclista não percorrer nenhum km ($x=0$), o modelo estima um gasto de $15$ reais.

2. Se o gasto médio anual é de $\bar{y} = 33$ reais, qual é a média de km percorridos semanalmente $\bar{x}$?

Investiga-se se o preço de um modelo de telefone celular usado ($Y$, em reais) depende do seu tempo de uso ($X$, em meses). Os dados de 100 telefones mostram que:

$\bar{x} = 18$ meses; $\bar{y} = 450$ reais; $\sigma_x = 6$; $\sigma_y = 80$ e $r = -0,88$.

1. Calcule a covariância $\sigma_{xy}$.

2. Encontre a reta de regressão de $Y$ sobre $X$.

3. Qual é o significado do coeficiente angular da reta neste contexto?

4. Estime o preço de um telefone que tem um ano e meio de uso. Essa estimativa é muito confiável? Por quê?

Em um estudo sobre o rendimento de um novo painel solar, foram determinadas as duas retas de regressão que relacionam a intensidade luminosa captada ($X$, em centenas de lux) e a energia elétrica gerada ($Y$, em watts). As equações obtidas são:

Reta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,84x + 12,2$

Reta de $X$ sobre $Y$: $x = 0,95y - 7,4$

Calcule, justificando cada passo:

1. a) O centro de gravidade da distribuição $(\bar{x}, \bar{y})$.
2. b) O coeficiente de correlação linear de Pearson ($r$) e interprete o sinal e a força dele.
3. c) Qual porcentagem da variância da energia gerada é explicada pela intensidade luminosa por meio do modelo linear?

Uma equipe de analistas de dados de uma conhecida rede de microblogging estuda a relação entre o número de palavras de uma publicação ($X$) e o número de "curtidas" recebidas ($Y$). Após analisar uma amostra aleatória, conhecem-se os seguintes parâmetros:

$\bar{x} = 45$ palavras

$\sigma_x = 12$

$S_{xy} = 156$

Reta de regressão de $Y$ sobre $X$: $y = 1,083x + 11,25$

Sabendo que o coeficiente de determinação é $R^2 = 0,64$, determine:

1. a) O desvio padrão da variável $Y$.
2. b) A equação da reta de regressão de $X$ sobre $Y$.
3. c) Se uma publicação tiver um número de "curtidas" igual ao dobro da média $\bar{y}$, qual seria a previsão para o seu número de palavras?

Um estudo sociológico relaciona o índice de digitalização de uma família ($X$, escala 1-10) com a poupança anual ($Y$, em milhares de reais). Sabe-se que a reta de regressão de $Y$ sobre $X$ é $y = -1,2x + 15$ e que o coeficiente de determinação é $R^2 = 0,81$.

1. a) Se a variância dos índices de digitalização é $\sigma_x^2 = 4$, qual é a variância da variável poupança $\sigma_y^2$?

1. b) Se uma família tem um índice de digitalização de 8, estime a poupança anual dela e calcule o erro padrão da estimativa (desvio padrão residual), definido como $\sigma_{res} = \sigma_y \sqrt{1 - R^2}$.

As retas de regressão de uma distribuição bidimensional são $4x - 5y + 12 = 0$ e $9x - 10y + 15 = 0$.

1. a) Identifique qual delas é a de $Y$ sobre $X$ e qual é a de $X$ sobre $Y$. Justifique a sua resposta usando o fato de que o produto dos seus coeficientes angulares deve ser igual a $r^2$ e que $0 \leq r^2 \leq 1$.
2. b) Calcule o coeficiente de correlação linear $r$.
3. c) Determine os valores médios $\bar{x}$ e $\bar{y}$.

Investiga-se a relação entre a altitude de uma localidade ($X$, em metros) e a pressão atmosférica ($Y$, em mb). Os dados de 5 localidades mostram uma correlação quase perfeita ($r = -0,99$). Os desvios padrão são $\sigma_x = 400$ e $\sigma_y = 45$.

Se a pressão média é de $950$ mb a uma altitude média de $600$ metros:

1. a) Determine a equação da reta de regressão para prever a pressão em função da altitude.

1. b) A que altitude se esperaria uma pressão de $1013$ mb? Avalie a confiabilidade desta resposta considerando se se trata de uma interpolação ou extrapolação (as altitudes das 5 localidades vão de $100$ m a $1300$ m).

1. c) Se se descobrisse que os altímetros tinham um erro sistemático e que todas as altitudes reais são $50$ metros superiores às registradas, como isso afetaria o coeficiente angular da reta de regressão?