Parábola

Encontre a equação reduzida da parábola com vértice na origem do sistema de coordenadas e foco no ponto $F(0, 3)$.

Encontre o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam do ponto $A(0, 4)$ e da reta horizontal $y = -4$.

Determine as coordenadas do vértice, do foco e a equação da diretriz da parábola de equação $y^2 = -10x$.

Encontre a equação da parábola com vértice na origem, eixo de simetria coincidente com o eixo x e que passa pelo ponto $P(-2, 4)$.

O Álvaro precisa calcular o foco e a reta diretriz da parábola cuja equação reduzida é $y^2 = 12x$. Na prova dele, escreve:

«Como a forma canônica é $y^2 = 2px$, deduz-se imediatamente que o parâmetro é $p = 12$. Portanto, o foco está no ponto $F(12, 0)$ e a equação da reta diretriz é $x = -12$».

1. a) Localize o erro conceitual que o Álvaro cometeu ao identificar o parâmetro $p$ e suas consequências nos elementos da parábola.
2. b) Explique com suas palavras o que representa geometricamente o parâmetro $p$ em relação à distância entre o foco e a diretriz.
3. c) Corrija a resolução deduzindo, de forma justificada, o valor real de $p$, as coordenadas corretas do foco $F$ e a equação da diretriz.

Construa a equação canônica de uma parábola com vértice na origem $V(0, 0)$ sabendo que o seu eixo de simetria coincide com o eixo das abscissas, que os seus ramos se abrem para os valores negativos de $x$ e que a distância geométrica entre o seu foco e a sua reta diretriz é exatamente de $8$ unidades de comprimento.

Uma vez obtida a equação:

1. a) Determine as coordenadas do seu foco $F$ e a equação da sua diretriz $d$.
2. b) Encontre as coordenadas do ponto $P$ da parábola cuja ordenada é $y = 4$.
3. c) Demonstre numericamente, calculando de forma explícita as distâncias $d(P, F)$ e $d(P, d)$, que o referido ponto cumpre com exatidão a definição de lugar geométrico da parábola.

Escreva a equação da parábola cujo vértice é o ponto $V(2, -1)$ e cuja diretriz é a reta $x = 4$.

Identifique se a equação geral $y^2 - 4y - 6x + 10 = 0$ corresponde a uma parábola e, em caso afirmativo, encontre as coordenadas de seu vértice.

Dada a equação geral da parábola $x^2 - 6x - 8y + 25 = 0$, complete quadrados para expressá-la em sua forma reduzida transladada e determine as coordenadas de seu vértice, seu foco e a equação de sua diretriz.

Considere a parábola com vértice transladado de equação $(y - 2)^2 = 4(x + 1)$. Traça-se uma corda focal perpendicular ao seu eixo de simetria (isto é, o segmento que passa pelo foco, tem os seus extremos sobre a parábola e é perpendicular a esse eixo).

1. a) Estime de forma fundamentada o comprimento desta corda focal antes de calcular as coordenadas dos seus extremos, apoiando-se exclusivamente na definição da parábola como lugar geométrico e na distância do foco à diretriz.
2. b) Determine analiticamente as coordenadas do vértice $V$, do foco $F$, a equação da diretriz e as coordenadas dos extremos $A$ e $B$ da referida corda focal.
3. c) Calcule a distância euclidiana exata entre $A$ e $B$, verifique se coincide com a sua estimativa prévia e justifique por que razão, para qualquer parábola de parâmetro $p$, o comprimento de tal corda focal perpendicular ao eixo (denominada «latus rectum») mede sempre $2p$.

Calcule as coordenadas dos pontos de interseção da parábola $x^2 = 4y$ com a reta bissetriz do primeiro quadrante $y = x$.

Encontre a equação da reta tangente à parábola $y^2 = 8x$ no ponto de ordenada $y = 4$.

Estude a posição relativa da reta $r: 2x + y - 3 = 0$ e da parábola $y^2 = 4x$. Se elas se interceptarem, encontre o comprimento exato da corda que a reta determina ao interceptar a parábola.

Determine o valor do parâmetro $k$ para que a reta $y = 2x + k$ seja tangente à parábola $x^2 = 2y$.

Encontre as equações das retas tangentes à parábola $y^2 = 4x$ traçadas a partir do ponto exterior $P(-1, 0)$.

Um arco parabólico de uma ponte de pedra tem um vão (largura na base) de $40\text{ m}$ e uma altura máxima de $10\text{ m}$. Calcule a altura em que o arco se encontra a uma distância horizontal de $8\text{ m}$ do centro da base.

Encontre o lugar geométrico dos centros das circunferências que são tangentes à reta $y = -2$ e passam simultaneamente pelo ponto $P(0, 2)$. Identifique a cônica resultante e detalhe seus elementos principais.

Determine a equação da parábola de eixo vertical que passa pelos pontos $A(-1, 0)$, $B(1, -2)$ e $C(3, 4)$.

Utilizando a definição de parábola como lugar geométrico, encontre a equação geral da parábola cujo foco é o ponto $F(2, 3)$ e cuja diretriz é a reta oblíqua $x + y - 1 = 0$.

Um canhão de água lança um jato cuja trajetória descreve uma parábola. A água sai da origem das coordenadas e o jato atinge uma altura máxima de $15\text{ m}$ a uma distância horizontal de $20\text{ m}$. Determine analiticamente se o jato de água conseguirá passar por cima de um muro de $10\text{ m}$ de altura situado a $30\text{ m}$ de distância horizontal do ponto de saída.

Encontre a equação da circunferência que passa pelo vértice da parábola $y^2 = 8x$ e pelos dois pontos de interseção de tal parábola com a reta vertical $x = 2$.

Determine as coordenadas do ponto da parábola $x^2 = 4y$ que se encontra à menor distância possível da reta $r: x - y - 4 = 0$. Calcule, além disso, tal distância mínima.

Uma parábola tem o seu vértice no ponto $V(1, 2)$ e o seu eixo de simetria é paralelo ao eixo das ordenadas. Sabendo que a parábola é tangente à reta $y = x - 1$, encontre a equação geral dessa parábola e as coordenadas exatas do seu foco.

O perfil de um farol halógeno de automóvel tem forma de parábola. Se sua equação em relação a um sistema de referência centrado no vértice é $y^2 = 12x$ (com as medidas expressas em centímetros), a que distância do vértice deve ser colocada a lâmpada para que os raios de luz se reflitam paralelos ao eixo de simetria?

O refletor de uma antena parabólica tem um diâmetro externo de $2\text{ m}$ e uma profundidade máxima de $0,25\text{ m}$. Determine a que distância do vértice se encontra o foco onde deve ser colocado o receptor do sinal.

Na Plataforma Solar de Almería utilizam-se coletores cilindro-parabólicos para concentrar a radiação solar direta em um tubo receptor pelo qual flui um fluido térmico. A seção transversal do espelho refletor tem forma parabólica simétrica em relação ao eixo vertical, com uma largura de abertura superior de $5,6\text{ m}$ e uma profundidade máxima no centro de $1,4\text{ m}$.

1. a) Situe o vértice na origem de coordenadas $V(0, 0)$ e modele o perfil do coletor determinando a sua equação canônica da forma $x^2 = 2py$.
2. b) Aplique a propriedade refletora das cônicas para justificar matematicamente a que altura exata acima do vértice do fundo deve ser fixado o tubo receptor para absorver a quantidade máxima de radiação solar paralela ao eixo.
3. c) Se a diretriz da parábola representa uma cota de referência para a estrutura mecânica inferior, a que distância abaixo do vértice se situa a referida reta?

Considere um espelho parabólico cuja seção é dada pela equação $y^2 = 4x$. Um raio de luz, paralelo ao eixo das abscissas, incide sobre o espelho no ponto $P(1, 2)$. Demonstre de forma analítica que a reta que contém o raio refletido passa exatamente pelo foco da parábola.

Pretende-se determinar a equação da reta tangente à parábola $y^2 = 4x$ no ponto $P(1, 2)$ pertencente a ela. Para resolver este problema, propõem-se dois métodos conceitualmente distintos:

• Método A (Algébrico): Escrever o feixe de retas que passam por $P$, $y - 2 = m(x - 1)$, substituir na equação da parábola e exigir que a equação do segundo grau resultante tenha uma raiz dupla, impondo que o seu discriminante seja nulo ($\Delta = 0$).

• Método B (Geométrico): Utilizar a definição da parábola. Sendo $F$ o foco e $D$ a projeção ortogonal de $P$ sobre a diretriz, a reta tangente é exatamente a mediatriz do segmento $FD$ (a reta perpendicular a $FD$ que passa pelo seu ponto médio).

1. a) Desenvolva por completo o Método A e obtenha o valor do coeficiente angular $m$ e a reta tangente.
2. b) Desenvolva por completo o Método B: determine as coordenadas de $F$ e de $D$, calcule o ponto médio e o vetor diretor da mediatriz, e obtenha a reta tangente.
3. c) Compare criticamente ambos os procedimentos: argumente qual resulta algebricamente mais direto e qual permite compreender melhor a propriedade ótica de reflexão aproveitada pelos faróis e radiotelescópios.

No Complexo Espacial de Maspalomas (Gran Canaria), uma equipe de engenheiros projeta uma antena parabólica de recepção de satélite orientada para o zênite (eixo vertical). A abertura circular superior da antena tem um diâmetro de $12\text{ m}$. Por especificações de projeto mecânico e estabilidade do mastro receptor, exige-se que o foco da parábola esteja localizado exatamente à mesma altura que a borda perimétrica superior do prato.

1. a) Situando o vértice na origem de coordenadas $(0, 0)$, deduza justificadamente o valor do parâmetro $p$, a profundidade total da antena no seu centro e escreva a sua equação reduzida $x^2 = 2py$.
2. b) Um raio de sinal vertical incidente atinge a superfície refletora a uma distância de $3\text{ m}$ em relação ao eixo de simetria (no ponto de abscissa $x = 3$). Encontre o coeficiente angular da reta tangente nesse ponto (recorrendo a derivadas ou impondo discriminante nulo) e deduza as componentes de um vetor normal perpendicular à superfície no ponto de impacto.
3. c) Demonstre analiticamente, utilizando o produto escalar e a definição do cosseno do ângulo entre dois vetores, que o ângulo de incidência formado pelo raio vertical com o vetor normal é idêntico ao ângulo de reflexão formado pela direção para o foco com esse mesmo vetor normal, demonstrando a lei física da reflexão para este caso.

Dada a parábola de equação $y^2 = 2px$, demonstre analiticamente que o lugar geométrico das projeções ortogonais do foco sobre as infinitas retas tangentes à parábola é exatamente a reta tangente no vértice.