Diagramas de árvore e tabelas de contingência

Um estudante do 2º ano do Ensino Médio faz uma prova final de Física. Sabe-se que $70\%$ dos alunos que estudaram com a plataforma digital da escola foram aprovados, enquanto apenas $40\%$ dos que não a usaram conseguiram a aprovação. Estima-se que $60\%$ da turma utilizou a referida plataforma.

Utilizando um diagrama de árvore, determine:

1. a) A probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ter sido aprovado na prova.
2. b) Se sabemos que um aluno foi reprovado, qual é a probabilidade de ele não ter usado a plataforma digital?

Temos duas urnas preparadas para um sorteio. A Urna A contém $3$ bolas verdes e $2$ vermelhas. A Urna B contém $1$ bola verde e $4$ vermelhas. O experimento consiste em lançar uma moeda: se sair cara, retiramos uma bola da Urna A; se sair coroa, retiramos da Urna B.

1. a) Represente a situação por meio de um diagrama de árvore.
2. b) Calcule a probabilidade de a bola retirada ser vermelha.

Uma caixa de suprimentos tecnológicos contém $8$ mouses sem fio de cor branca e $4$ de cor preta. Se forem extraídos sucessivamente dois mouses sem reposição:

1. a) Desenhe o diagrama de árvore que descreva todos os resultados possíveis, indicando as probabilidades em cada ramo.
2. b) Calcule a probabilidade de os dois mouses extraídos serem da mesma cor.

Você pode fazê-lo no papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Lucas e Clara preparam uma tômbola de beneficência de final de ano com uma urna que contém exatamente $10$ pens USB aparentemente idênticas: $3$ são de $64\text{ GB}$ e $7$ são de $128\text{ GB}$. O jogo consiste em extrair duas pens consecutivamente sem reposição. Lucas quer calcular a probabilidade de que ambas as pens sejam de $64\text{ GB}$ e escreve no quadro:

$$P(\text{ambas de } 64\text{ GB}) = \frac{3}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{9}{100} = 0,09$$

Quando Clara o avisa de que o resultado está errado, Lucas se defende dizendo: «A proporção de pens de $64\text{ GB}$ na caixa é de $3$ em cada $10$; essa probabilidade é uma propriedade fixa das pens e não pode mudar pelo simples fato de eu tirar uma».

1. a) Explique fundamentadamente o erro conceitual de Lucas. Que regra dos diagramas de árvore ele violou e o que significa, neste contexto, que os ramos da segunda etapa tenham escritas probabilidades condicionadas ao que já ocorreu?
2. b) Modele o experimento descrevendo os ramos que sairiam de cada nó em um diagrama de árvore correto (com as suas probabilidades precisas).
3. c) Calcule a probabilidade real de que ambas as pens sejam de $64\text{ GB}$ e a probabilidade de que pelo menos uma das duas seja de $128\text{ GB}$.

Em um curso técnico há $10$ estudantes realizando o estágio em empresa, dos quais $6$ estão em empresas tecnológicas e $4$ em empresas industriais. Escolhem-se dois estudantes ao acaso de forma consecutiva e sem reposição.

1. a) Desenhe o diagrama de árvore detalhando as probabilidades em cada ramo.
2. b) Calcule a probabilidade de os dois estudantes escolhidos estarem no mesmo tipo de empresa.
3. c) Calcule a probabilidade de pelo menos um estar em uma empresa tecnológica.

Você pode fazê-lo no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em uma escola de idiomas, os alunos se dividem segundo o curso que fazem: $50\%$ estuda Inglês, $30\%$ Francês e $20\%$ Alemão. Além disso, sabe-se que a porcentagem de mulheres em cada curso é de $60\%$, $55\%$ e $45\%$, respectivamente.

Se um estudante for escolhido ao acaso, construa uma tabela de contingência (considerando um total hipotético de 1000 estudantes) e calcule:

1. a) A probabilidade de o aluno ser homem.
2. b) Sabendo que o aluno é homem, a probabilidade de estudar Inglês.

Em uma empresa de fabricação de componentes eletrônicos, utilizam-se duas máquinas, $M_1$ e $M_2$, para produzir chips. A máquina $M_1$ produz $60\%$ dos chips e o restante é produzido pela $M_2$. $2\%$ dos chips de $M_1$ são defeituosos, enquanto para a $M_2$ a porcentagem de defeituosos é de $5\%$.

1. a) Construa o diagrama de árvore associado a este processo de produção.
2. b) Se for selecionado um chip ao acaso e ele for defeituoso, qual é a probabilidade de ter sido fabricado pela máquina $M_1$?

Uma empresa tecnológica fabrica componentes para drones em três fábricas diferentes: $F_1$, $F_2$ e $F_3$. $40 \%$ da produção total vem de $F_1$, $35 \%$ de $F_2$ e o restante de $F_3$. O controle de qualidade indica que a porcentagem de componentes defeituosos é de $3 \%$ em $F_1$, de $2 \%$ em $F_2$ e de $5 \%$ em $F_3$.

1. a) Calcule a probabilidade de um componente escolhido ao acaso da produção global não ser defeituoso.
2. b) Se um cliente compra um componente e este se revela defeituoso, em qual fábrica é mais provável que tenha sido fabricado? Justifique o resultado aplicando o Teorema de Bayes.

Um algoritmo de recomendação de uma plataforma de streaming de música utiliza três modelos diferentes ($M_1, M_2, M_3$) para sugerir músicas aos usuários. $40 \%$ das vezes usa $M_1$, $35 \%$ usa $M_2$ e o restante das vezes usa $M_3$.

A probabilidade de um usuário dar "like" em uma música sugerida por $M_1$ é de $0,3$. Se a música for sugerida por $M_2$, a probabilidade é de $0,45$. Sabe-se que a probabilidade total de um usuário dar "like" em uma música escolhida ao acaso é de $0,4325$.

1. a) Calcule a probabilidade de um usuário dar "like" em uma música sugerida pelo terceiro modelo, $M_3$.

1. b) Se um usuário deu "dislike" (evento contrário a "like") em uma música, qual é a probabilidade de ter sido sugerida pelo modelo $M_1$?

1. c) Selecionam-se três músicas sugeridas de forma independente. Qual é a probabilidade de pelo menos uma delas receber um "like"?

Em um torneio de eSports, o comitê organizador realiza testes de desempenho nos jogadores. Estima-se que $5 \%$ dos participantes utilizem algum tipo de software proibido (trapaça). O teste utilizado para detectar essas trapaças tem uma confiabilidade de $98 \%$ (detecta o software se o jogador trapaceia), mas tem $2 \%$ de "falsos positivos" (indica que há trapaça quando o jogador é legal).

1. a) Se for escolhido um jogador ao acaso, qual é a probabilidade de o teste dar um resultado positivo (indicando trapaça)?
2. b) Se o teste de um jogador deu positivo, qual é a probabilidade real de que ele esteja trapaceando? Interprete o resultado obtido.

Um aplicativo de navegação GPS estima o tempo de chegada ao destino com base no tráfego. Se o tráfego for fluido (probabilidade $0,7$), o aplicativo acerta o tempo estimado $90 \%$ das vezes. Se o tráfego for denso, acerta apenas $40 \%$ das vezes.

1. a) Calcule a probabilidade de o aplicativo não acertar em sua estimativa de tempo.
2. b) Se hoje o aplicativo falhou em sua previsão, qual é a probabilidade de o tráfego ter sido fluido?

Um laboratório farmacêutico está analisando a eficácia de um novo teste de detecção de uma variante de vírus respiratório. Sabe-se que, na população atual, a prevalência da doença é de $5 \%$.

O teste tem uma particularidade: se for aplicado a uma pessoa doente, dá positivo em $98 \%$ dos casos. Se for aplicado a uma pessoa saudável, dá negativo em $96 \%$ dos casos. Diante da suspeita de um erro em uma campanha de testagem em massa, decide-se que todas as pessoas que derem positivo no primeiro teste se submetam a um segundo teste idêntico e independente do primeiro.

1. a) Represente a situação mediante um diagrama de árvore para uma pessoa escolhida ao acaso da população que se submete ao processo completo, se necessário.

1. b) Qual é a probabilidade de uma pessoa da população dar positivo no segundo teste (sabendo que já deu positivo no primeiro)?

1. c) Se uma pessoa deu positivo nos dois testes, qual é a probabilidade de realmente estar doente? Comente o resultado comparando-o com a probabilidade após um único teste positivo.

Num estudo sobre o uso de redes sociais em uma escola de São Paulo, observou-se que, de um grupo de $100$ estudantes do Ensino Médio, $65$ utilizam habitualmente o TikTok e $45$ utilizam o Instagram. Além disso, sabe-se que $25$ alunos utilizam ambas as plataformas.

Represente estes dados em uma tabela de contingência (com as linhas «TikTok» e «Não TikTok», as colunas «Instagram» e «Não Instagram», e os totais das linhas e das colunas) e calcule a probabilidade de que, ao escolher um estudante ao acaso:

1. a) Não utilize nenhuma das duas redes sociais.

1. b) Utilize o TikTok, sabendo que ele já utiliza o Instagram.

Uma oficina de reparo de celulares recebe aparelhos com dois tipos de defeitos principais: tela quebrada ou bateria com defeito. No mês passado, dos $200$ celulares reparados, $120$ tinham a tela quebrada, $70$ tinham problemas de bateria e $30$ tinham ambos os defeitos.

Organize as informações em uma tabela de contingência e responda:

1. a) Qual é a probabilidade de que um celular escolhido ao acaso tenha apenas a tela quebrada?

1. b) Se o celular tem a bateria com defeito, qual é a probabilidade de que ele também tenha a tela quebrada?

Foi realizada uma pesquisa com $80$ pessoas sobre seus hábitos de leitura em formato digital ou em papel. Os resultados mostram que $32$ pessoas leem exclusivamente em papel, $28$ pessoas leem em ambos os formatos e o restante lê exclusivamente em digital.

1. a) Elabore uma tabela de contingência que resuma estes dados.
2. b) Calcule a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ler em formato digital.
3. c) Se sabemos que a pessoa lê em papel, qual é a probabilidade de também ler em digital?

Em uma escola de Ensino Médio de São Paulo, realizou-se uma pesquisa sobre o uso de redes sociais nas séries do Ensino Médio. Os dados foram organizados na seguinte tabela de contingência, embora alguns valores tenham se perdido:

	Instagram ($I$)	TikTok ($T$)	Total
1ª série do Ensino Médio	$45$		$110$
2ª série do Ensino Médio		$60$
Total	$85$		$210$

1. a) Complete a tabela de contingência no seu caderno.
2. b) Se escolhermos um aluno ao acaso e verificarmos que é da 2ª série do Ensino Médio, qual é a probabilidade de a rede preferida dele ser o Instagram?
3. c) Os eventos "ser da 1ª série do Ensino Médio" e "preferir o TikTok" são independentes? Justifique sua resposta matematicamente.

Em uma pesquisa realizada com os alunos do 2º ano do Ensino Médio sobre suas preferências de estudo após a escola, foram obtidos os seguintes dados representados parcialmente nesta tabela de contingência. As variáveis são o Gênero ($H$ para homem, $M$ para mulher) e a Área de Interesse ($I$ para Engenharia, $S$ para Saúde, $O$ para Outras).

Sabendo que o evento "ser mulher" e "ter interesse em engenharia" são eventos independentes, e que há o mesmo número total de homens e de mulheres na amostra de 200 pessoas:

	Engenharia ($I$)	Saúde ($S$)	Outras ($O$)	Total
Homem ($H$)	40
Mulher ($M$)		45
Total		75		200

1. a) Complete de forma fundamentada a tabela de contingência.

1. b) Calcule a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ter interesse em Saúde ou ser homem.

1. c) Se escolhermos um aluno que não tem interesse em Engenharia, qual é a probabilidade de ser mulher?

Numa escola secundária das Astúrias estão matriculados $200$ estudantes no 2.º ano de Bachillerato. Destes, $120$ frequentam a modalidade de Ciências e Tecnologia, enquanto os $80$ restantes frequentam Humanidades e Ciências Sociais. Entre os estudantes de Ciências, $30$ escolheram Francês como disciplina de opção. Por sua vez, entre os de Humanidades e Ciências Sociais, $40$ estudam Francês.

1. a) Apresentam-se duas formas de organizar a informação: um diagrama de árvore sequencial ou uma tabela de contingência de dupla entrada ($2 \times 2$). Justifique qual das duas representações é mais direta, clara e adequada quando os dados descrevem características simultâneas de uma população fixa em vez de etapas temporais sucessivas.
2. b) Construa uma tabela de contingência preenchendo todas as suas células interiores (interseções) e os seus totais marginais por linhas e colunas a partir dos dados fornecidos.
3. c) Utilizando exclusivamente as somas e células da tabela, calcule a probabilidade de um estudante escolhido ao acaso frequentar a área de Humanidades e Ciências Sociais sabendo que não estuda Francês.

Uma plataforma de streaming oferece dois tipos de assinaturas: Standard e Premium. Sabe-se que $60 \%$ dos usuários têm a assinatura Standard, enquanto os restantes têm a Premium. Dos usuários com assinatura Standard, $25 \%$ consomem conteúdo em resolução 4K, enquanto entre os usuários Premium, esta porcentagem sobe para $80 \%$.

Represente a situação por meio de um diagrama de árvore e calcule:

1. a) A probabilidade de que um usuário escolhido ao acaso consuma conteúdo em 4K.

1. b) Se sabemos que um usuário está assistindo a um filme em 4K, qual é a probabilidade de que tenha uma assinatura Standard?

Um analista de dados estuda a relação entre o uso do transporte público e a pontualidade dos funcionários de um grande escritório. Após observar $500$ trabalhadores, conclui que $350$ usam o transporte público e o restante vem em veículo particular. Dos que usam o transporte público, $10 \%$ chegam atrasados, enquanto dos que vêm em veículo particular, $20 \%$ chegam atrasados.

1. a) Organize esta informação em uma tabela de contingência de frequências absolutas.
2. b) Qual é a probabilidade de um trabalhador escolhido ao acaso chegar pontual?
3. c) Se um trabalhador chegou atrasado, qual é a probabilidade de ter vindo em transporte público?

Estuda-se o hábito de leitura de dois grupos de pessoas: Jovens (com menos de 25 anos) e Adultos. Sabe-se que $70 \%$ dos entrevistados são Adultos. $40 \%$ dos Jovens leem pelo menos um livro por mês, enquanto $60 \%$ dos Adultos leem.

1. a) Construa a tabela de contingência de probabilidades associadas (frequências relativas).
2. b) Calcule a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ler pelo menos um livro por mês.
3. c) Se uma pessoa afirma que não lê nenhum livro por mês, qual é a probabilidade de ser Jovem?

No corredor ferroviário de alta velocidade Brasília-Goiânia competem três operadores de transporte de passageiros: Alfa, que gerencia $50\,\%$ das viagens diárias; Beta, que opera $30\,\%$; e Gama, que cobre os $20\,\%$ restantes. De acordo com dados de pontualidade, a probabilidade de um trem sofrer um atraso superior a $15$ minutos é de $3\,\%$ para a Alfa, de $5\,\%$ para a Beta e de $10\,\%$ para a Gama.

1. a) Modele a escolha e a viagem de um passageiro escolhido ao acaso por meio de um diagrama de árvore no qual constem todos os eventos simples, as suas probabilidades marginais e as probabilidades condicionais de atraso.
2. b) Se um trem selecionado ao acaso chega ao seu destino sem sofrer atraso (ou seja, pontual ou com menos de $15$ minutos de atraso), qual é a probabilidade de o serviço ter sido operado pela Gama?
3. c) Uma associação de consumidores argumenta nas redes sociais: «Uma vez que a Gama apresenta a maior taxa de atrasos com grande diferença ($10\,\%$), diante de um trem que chega atrasado à estação de Goiânia o mais provável é que pertença à Gama». Demonstre formalmente, calculando as probabilidades a posteriori de cada empresa diante de um trem atrasado, se esta afirmação é verdadeira ou falsa, e fundamente que peso a participação de mercado exerce na conclusão.

Um sistema de segurança da informação de uma infraestrutura crítica na Espanha consiste em três barreiras de filtragem sequenciais para detectar tentativas de intrusão (ataques de força bruta).

1. A Barreira A detecta $95 \%$ dos ataques, mas deixa passar o restante.

2. A Barreira B recebe o que a Barreira A não detectou. Esta barreira tem uma probabilidade de acerto de $80 \%$.

3. A Barreira C é o último recurso e detecta $60 \%$ dos ataques remanescentes.

No entanto, o sistema não é perfeito e às vezes gera falsos alarmes (detecta um tráfego legítimo como ataque). Sabe-se que a probabilidade de um pacote de dados ser um ataque real é de $0,001$. As probabilidades de falso alarme são de $1 \%$ para a Barreira A, $2 \%$ para a Barreira B e $5 \%$ para a Barreira C.

Utilizando um diagrama de árvore, calcule:

1. a) A probabilidade de um pacote de dados ser bloqueado pelo sistema (ou seja, de ser detectado por qualquer uma das três barreiras).

1. b) Se o sistema acaba de bloquear um pacote de dados, qual é a probabilidade de se tratar realmente de um ataque e não de um falso alarme?

Em uma prestigiada academia de e-sports, os jogadores são classificados segundo o seu desempenho em duas categorias: Elite ($E$) e Promessa ($P$). Foi realizado um estudo sobre o uso de teclados mecânicos ($M$) e teclados de membrana ($\bar{M}$).

Sabe-se que $30 \%$ dos jogadores são da categoria Elite. Além disso, entre os jogadores Promessa, a probabilidade de usarem teclado de membrana é o dobro da de usarem teclado mecânico. Por fim, sabe-se que a probabilidade de um jogador escolhido ao acaso ser Elite e usar teclado mecânico é de $0,24$.

1. a) Construa a tabela de contingência completa com as probabilidades de cada evento.

1. b) Calcule a probabilidade de um jogador usar teclado mecânico.

1. c) Se selecionarmos um jogador que utiliza teclado mecânico, qual é a probabilidade de ele pertencer à categoria Promessa?

1. d) Os eventos "ser jogador Elite" e "usar teclado mecânico" são independentes? Justifique sua resposta matematicamente.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em uma oficina de tecnologia, duas urnas contêm peças fabricadas com diferentes materiais para um projeto.

• A Urna A contém 6 peças de bioplástico (PLA) e 4 peças de resina.

• A Urna B contém 3 peças de PLA e 7 peças de resina.

O experimento consiste no seguinte: extrai-se uma peça ao acaso da Urna A e ela é colocada na Urna B sem ver o material dela. Em seguida, extraem-se duas peças simultaneamente da Urna B.

1. a) Calcule a probabilidade de as duas peças extraídas da Urna B serem de resina.

1. b) Se sabemos que as duas peças extraídas da Urna B foram de resina, qual é a probabilidade de a peça transferida da Urna A ter sido de PLA?

Um robô de exploração autônoma em Marte tem dois sensores para detectar a presença de depósitos de gelo sob a superfície. O Sensor Principal detecta gelo com uma probabilidade de $0,9$ quando este existe, mas também dá um falso positivo (indica gelo quando não há) $5 \%$ das vezes.

Sabe-se que o robô explora uma zona em que a probabilidade a priori de encontrar gelo é de $15 \%$.

O robô está programado para enviar um sinal de confirmação apenas se o Sensor Principal detectar gelo. No entanto, para economizar energia, se o Sensor Principal detectar gelo, ativa-se automaticamente um Sensor de Reserva cuja probabilidade de acerto é de $95 \%$ (tanto para confirmar presença como para confirmar ausência).

1. a) Calcule a probabilidade de o robô enviar um sinal indicando que o Sensor Principal detectou gelo.

1. b) Se o Sensor Principal detectou gelo, qual é a probabilidade de o Sensor de Reserva não detectar gelo?

1. c) Qual é a probabilidade de realmente haver gelo se ambos os sensores deram positivo?

Dois amigos, Ana e Carlos, jogam um videogame de estratégia por turnos. A Ana é mais experiente e ganha $60 \%$ das partidas individuais (esta é a probabilidade de que ganhe a primeira partida). Decidem jogar um torneio melhor de três partidas (o primeiro que ganhar duas partidas ganha o torneio).

Devido ao cansaço e ao aprendizado durante o jogo, as probabilidades não são constantes:

• Se a Ana ganha uma partida, a probabilidade de que ganhe a seguinte aumenta para $0,7$.

• Se a Ana perde uma partida, a probabilidade de que ganhe a seguinte desce para $0,5$.

1. a) Desenhe o diagrama de árvore que representa o desenvolvimento do torneio, indicando em cada ramo a sua probabilidade e, no final de cada caminho, quem ganha o torneio.

1. b) Calcule a probabilidade de que o Carlos ganhe o torneio.

1. c) Se o torneio durou exatamente três partidas, qual é a probabilidade de que a Ana o tenha ganhado?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em um julgamento criminal realizado em um tribunal, analisa-se uma amostra biológica encontrada no local do crime. O laudo pericial determina que o perfil genético encontrado coincide com o do réu. O laboratório forense certifica que o teste tem uma sensibilidade de $100\,\%$ (se uma pessoa for culpada, o teste sempre coincide) e que a probabilidade de uma pessoa inocente apresentar esse mesmo perfil por puro acaso genético é de $1$ em $10.000$ ($P(\text{Coincidência} \mid \text{Inocente}) = 0,0001$).

Durante suas alegações finais, o Ministério Público expõe: «Excelentíssimos Juízes, a probabilidade de uma pessoa inocente ter esse perfil genético é de apenas $0,01\,\%$. Em consequência, a probabilidade de o réu ser inocente é de apenas $0,01\,\%$, o que demonstra sua culpa além de qualquer dúvida razoável, com uma probabilidade de $99,99\,\%$.»

Para avaliar essa afirmação, o tribunal delimita uma população de referência de $100.000$ pessoas, entre as quais se tem certeza de que se encontra o único autor material do crime.

1. a) Identifique com precisão matemática o erro de raciocínio cometido pelo Ministério Público (conhecido como «falácia do acusador»). Escreva, empregando a notação formal de eventos e probabilidade condicional, qual probabilidade é a que realmente é fornecida pelo laudo forense e qual é a que o Ministério Público garante ter demonstrado.
2. b) Modele a situação dos $100.000$ suspeitos por meio de uma tabela de contingência de $2 \times 2$ (Culpado / Inocente versus Coincidência / Não coincidência de DNA), deduzindo o número esperado de indivíduos que ocupará cada uma das quatro células internas.
3. c) A partir dos valores da tabela de contingência, calcule a probabilidade real de o réu ser culpado sabendo que o seu DNA coincide com a amostra, ou seja, $P(\text{Culpado} \mid \text{Coincidência})$.
4. d) Interprete a diferença radical entre a porcentagem invocada pelo Ministério Público e o valor obtido no item anterior. Explique que relação esse fenômeno tem com o tamanho do grupo de suspeitos e por que uma coincidência técnica muito confiável não equivale automaticamente a culpa.