Tronco de cone
Um balde, um copo de plástico, um vaso de flores: todos têm a boca mais larga que o fundo. Quantos litros de água cabem em um balde assim? Não é um cilindro, e também não é um cone completo. Vamos descobrir como calcular.
O que é um tronco de cone
Pegue um cone reto e corte-o com um plano paralelo à base. A parte de cima é um cone menor. A parte de baixo é o tronco de cone.
O tronco tem duas bases circulares paralelas:
-
a base maior, de raio $R$;
-
a base menor, de raio $r$.
A altura $h$ é a distância entre os planos das bases. A geratriz $g$ é o segmento da lateral que liga as duas circunferências. Como o triângulo retângulo formado por $h$, $R-r$ e $g$ é reto:
$$g^2 = h^2 + (R-r)^2$$O volume de um tronco de cone de raios das bases $R$ (maior) e $r$ (menor) e altura $h$ é dado por: $$V = \frac{\pi \cdot h}{3}\left(R^2 + R \cdot r + r^2\right)$$ Um…
O volume de um tronco de cone de raios das bases $R$ (maior) e $r$ (menor) e altura $h$ é dado por:
$$V = \frac{\pi \cdot h}{3}\left(R^2 + R \cdot r + r^2\right)$$Um jarro de suco tem a forma de tronco de cone, com raio da boca $R = 10$ cm, raio do fundo $r = 6$ cm e altura $h = 15$ cm.
- a) Calcule o volume exato do jarro, em função de $\pi$.
- b) Usando $\pi = 3{,}14$, calcule o volume em centímetros cúbicos.
- c) Lembrando que $1.000$ cm$^3 = 1$ litro, a capacidade do jarro é maior ou menor que $3$ litros?
Volume por diferença de cones
A ideia é simples: o tronco é o cone grande menos o cone pequeno que foi cortado.
$$V_{\text{tronco}} = V_{\text{cone grande}} - V_{\text{cone pequeno}}$$O que falta é a altura do cone pequeno. Ela sai da semelhança: o cone pequeno e o cone grande têm a mesma forma, então
$$\frac{r}{R} = \frac{h_{\text{pequeno}}}{h_{\text{grande}}}$$Um cone tem raio da base $R = 8$ cm e altura $24$ cm. Corta-se o cone por um plano paralelo à base, passando a $12$ cm do vértice (metade da altura), obtendo-se um cone…
Um cone tem raio da base $R = 8$ cm e altura $24$ cm. Corta-se o cone por um plano paralelo à base, passando a $12$ cm do vértice (metade da altura), obtendo-se um cone menor e um tronco de cone de altura $12$ cm.
- a) Usando semelhança, determine o raio $r$ da base do cone menor.
- b) Calcule os volumes do cone original e do cone menor, usando $V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h$, e obtenha o volume do tronco por diferença, em função de $\pi$.
- c) Verifique que a fórmula do tronco de cone, $V = \dfrac{\pi \cdot h}{3}\left(R^2 + R \cdot r + r^2\right)$, dá o mesmo resultado.
- d) Mostre que o volume do tronco é $\dfrac{7}{8}$ do volume do cone original e explique, usando a razão de semelhança $\dfrac{1}{2}$ elevada ao cubo, por que isso acontece.
A fórmula do volume do tronco
Fazer a diferença de cones toda vez é trabalhoso. Dá para juntar tudo em uma fórmula direta, que só usa $R$, $r$ e $h$:
Por que ela funciona? Seja $H$ a altura do cone pequeno. Por semelhança, $\dfrac{H}{H+h} = \dfrac{r}{R}$, o que dá $H = \dfrac{h\,r}{R-r}$. Então
$$V = \frac{\pi}{3}\left[R^2(H+h) - r^2 H\right] = \frac{\pi}{3}\left[R^2 h + (R^2 - r^2)H\right]$$Como $(R^2 - r^2)H = (R-r)(R+r)\cdot\dfrac{h\,r}{R-r} = h\,r\,(R+r)$, resulta
$$V = \frac{\pi h}{3}\left(R^2 + Rr + r^2\right).$$Conferência útil: se $r = R$, o tronco vira um cilindro e a fórmula dá $\dfrac{\pi h}{3}\cdot 3R^2 = \pi R^2 h$. Se $r = 0$, vira um cone e dá $\dfrac13\pi R^2 h$. Faz sentido nos dois casos.
Um balde tem a forma de tronco de cone com raio da boca $R = 15$ cm, raio do fundo $r = 10$ cm e altura $h = 30$ cm. Use a fórmula…
Um balde tem a forma de tronco de cone com raio da boca $R = 15$ cm, raio do fundo $r = 10$ cm e altura $h = 30$ cm. Use a fórmula $V = \dfrac{\pi \cdot h}{3}\left(R^2 + R \cdot r + r^2\right)$ e $\pi = 3{,}14$.
- a) Calcule o volume do balde, em centímetros cúbicos.
- b) Expresse a capacidade do balde em litros ($1.000$ cm$^3 = 1$ litro).
- c) Para encher uma caixa-d'água de $300$ litros usando esse balde, quantas viagens com o balde cheio serão necessárias, no mínimo?
Capacidade em litros
Volume é o espaço ocupado; capacidade é quanto líquido cabe dentro. Para passar de um para outro, use:
| Volume | Capacidade |
|---|---|
| $1\ \text{cm}^3$ | $1\ \text{mL}$ |
| $1.000\ \text{cm}^3 = 1\ \text{dm}^3$ | $1\ \text{L}$ |
| $1\ \text{m}^3 = 1.000\ \text{dm}^3$ | $1.000\ \text{L}$ |
Nas questões do ENEM, a pergunta final costuma ser prática: quantos litros cabem, quantas viagens são necessárias, se um recipiente comporta certa quantidade. Quando o resultado é "quantas viagens", arredonde para cima, porque uma viagem incompleta ainda precisa ser feita.
Voltando ao início: a capacidade de um balde de boca larga e fundo estreito se calcula com $V = \dfrac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)$ e se converte para litros dividindo os cm³ por $1.000$.
Superfície lateral
Se você quiser pintar o balde por fora ou forrar um vaso, precisa da área lateral. Ela é a de um trapézio "curvado":
$$A_l = \pi \cdot g \cdot (R + r)$$com $g = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}$. A área total soma as duas bases: $A_t = A_l + \pi R^2 + \pi r^2$.
Resumo
-
Tronco de cone: parte do cone que sobra depois de um corte paralelo à base. Tem bases de raios $R > r$, altura $h$ e geratriz $g$, com $g^2 = h^2 + (R-r)^2$.
-
Por diferença: $V_{\text{tronco}} = V_{\text{cone grande}} - V_{\text{cone pequeno}}$, com a altura do cone pequeno obtida por semelhança.
-
Fórmula direta: $V = \dfrac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)$.
-
Capacidade: $1.000\ \text{cm}^3 = 1\ \text{L}$. Em "quantas viagens", arredonde para cima.
-
Área lateral: $A_l = \pi g (R + r)$.