Operações com complexos na forma polar
Na forma algébrica, multiplicar dois números complexos exige desenvolver quatro produtos. Na forma polar, a mesma operação se resume a multiplicar dois números e somar dois ângulos. Você já se perguntou por que isso funciona e por que a forma polar é a preferida para potências altas e raízes? Nesta página, você vai ver que multiplicar por um complexo é girar e esticar o plano, e vai usar isso para resolver equações e problemas de rotação.
Produto e quociente: módulos e argumentos separados
Vamos usar a notação $\rho_\alpha$ para o número complexo de módulo $\rho$ e argumento $\alpha$, ou seja, $\rho(\cos\alpha + i\,\operatorname{sen}\alpha)$.
Quando aparecem várias operações juntas, aplique as regras na ordem: primeiro produtos e quocientes dos módulos, depois a soma e a subtração dos argumentos. Por exemplo, em $\dfrac{2_{20^\circ}\cdot 6_{70^\circ}}{4_{40^\circ}}$, o módulo é $\dfrac{2\cdot 6}{4}=3$ e o argumento é $20^\circ+70^\circ-40^\circ=50^\circ$, ou seja, $3_{50^\circ}$.
Conjugado e oposto
O conjugado de $\rho_\alpha$ é $\rho_{-\alpha}$ (reflexão em relação ao eixo real). O oposto é $\rho_{\alpha+180^\circ}$ (meia-volta em torno da origem, pois $-1 = 1_{180^\circ}$).
Dados os números complexos $z_1 = 4_{30^\circ}$ e $z_2 = 3_{60^\circ}$, calcule o produto $z_1 \cdot z_2$ expressando o resultado na forma polar.
Dados os números complexos $z_1 = 4_{30^\circ}$ e $z_2 = 3_{60^\circ}$, calcule o produto $z_1 \cdot z_2$ expressando o resultado na forma polar.
Calcule o quociente $\frac{12_{150^\circ}}{3_{45^\circ}}$ e expresse o resultado na forma polar.
Calcule o quociente $\frac{12_{150^\circ}}{3_{45^\circ}}$ e expresse o resultado na forma polar.
Efetue a seguinte operação combinada e expresse o resultado na forma polar: $$ \frac{2_{20^\circ} \cdot 6_{70^\circ}}{4_{40^\circ}} $$
Efetue a seguinte operação combinada e expresse o resultado na forma polar:
$$ \frac{2_{20^\circ} \cdot 6_{70^\circ}}{4_{40^\circ}} $$Dado o número complexo $z = 3_{50^\circ}$, expresse o seu conjugado $\bar{z}$ e o seu oposto $-z$ na forma polar.
Dado o número complexo $z = 3_{50^\circ}$, expresse o seu conjugado $\bar{z}$ e o seu oposto $-z$ na forma polar.
Multiplicar é girar: aplicações geométricas
Multiplicar $z$ por $1_{\theta}$ (módulo $1$) gira o vetor de $z$ em um ângulo $\theta$ no sentido anti-horário, sem mudar a distância à origem. Multiplicar por um número real positivo $k$ apenas estica o vetor por um fator $k$. Multiplicar por $\sigma_\beta$ faz as duas coisas.
Um navio navega na direção e distância indicadas pelo vetor associado ao número complexo $z = 10_{30^\circ}$. Por motivos climáticos, o capitão decide realizar uma…
Um navio navega na direção e distância indicadas pelo vetor associado ao número complexo $z = 10_{30^\circ}$. Por motivos climáticos, o capitão decide realizar uma rotação de $90^\circ$ no sentido anti-horário mantendo a mesma distância. Por qual número complexo na forma polar você deve multiplicar $z$ para obter a nova trajetória, e qual é a posição final?
Um drone de exploração submarina parte da origem e se desloca em linha reta até o ponto correspondente ao afixo do número complexo $z_1 = 2_{45^\circ}$ (em quilômetros).…
Um drone de exploração submarina parte da origem e se desloca em linha reta até o ponto correspondente ao afixo do número complexo $z_1 = 2_{45^\circ}$ (em quilômetros). Em seguida, o centro de controle envia a ele uma instrução que equivale a multiplicar a sua posição atual pelo complexo $z_2 = 3_{90^\circ}$. Calcule as coordenadas polares da sua posição final e explique que transformação geométrica ele sofreu em relação ao seu vetor de posição inicial.
Um radar de tráfego aéreo detecta três aviões cujas posições formam um triângulo equilátero centrado na torre de controle (situada na origem das coordenadas). Se um dos…
Um radar de tráfego aéreo detecta três aviões cujas posições formam um triângulo equilátero centrado na torre de controle (situada na origem das coordenadas). Se um dos aviões se encontra na posição descrita pelo número complexo $z_1 = 4 + 4\sqrt{3}i$ (em quilômetros), determine a posição dos outros dois aviões na forma polar e calcule a distância em linha reta que separa dois aviões quaisquer.
2ª fórmula de Moivre: potências
Elevar a uma potência é multiplicar o número por ele mesmo várias vezes. Se você aplica a regra do produto $n$ vezes, o módulo é multiplicado por ele mesmo $n$ vezes (dá $\rho^n$) e o argumento é somado a ele mesmo $n$ vezes (dá $n\alpha$).
Para potências de números dados na forma algébrica, converta primeiro para a forma polar. Por exemplo, $(1-\sqrt3\,i)^5$: o módulo é $\sqrt{1+3}=2$ e, como o ponto está no 4º quadrante com $\operatorname{tg}\theta=-\sqrt3$, o argumento é $300^\circ$. Então
$(2_{300^\circ})^5=32_{1.500^\circ}=32_{60^\circ}=32(\cos60^\circ+i\,\operatorname{sen}60^\circ)=16+16\sqrt3\,i$.
Compare: desenvolver $(1-\sqrt3\,i)^5$ pelo binômio de Newton exigiria seis termos, com sinais e potências de $i$ para controlar. Com Moivre, são só duas contas.
Utilizando a fórmula de De Moivre, calcule a potência $(2_{40^\circ})^3$ e expresse o resultado na forma polar.
Utilizando a fórmula de De Moivre, calcule a potência $(2_{40^\circ})^3$ e expresse o resultado na forma polar.
A Carmen está resolvendo um exercício de potências de números complexos na forma polar e escreve em seu caderno o seguinte desenvolvimento:…
A Carmen está resolvendo um exercício de potências de números complexos na forma polar e escreve em seu caderno o seguinte desenvolvimento: $(2_{30^\circ})^5 = (2 \cdot 5)_{30^\circ \cdot 5} = 10_{150^\circ}$.
- a) Localize e explique de forma fundamentada o erro conceitual cometido pela Carmen ao calcular o módulo. Justifique geometricamente por que, na fórmula de De Moivre, o módulo é elevado à potência e não multiplicado pelo expoente.
- b) Corrija o cálculo escrevendo o resultado correto na forma polar.
- c) Passe o resultado correto para a forma algébrica e indique em que quadrante do plano complexo se situa o seu afixo.
Calcule o valor de $(1 - \sqrt{3}i)^5$. Para isso, transforme primeiro a base para a forma polar, aplique a fórmula de De Moivre e forneça o resultado final na forma…
Calcule o valor de $(1 - \sqrt{3}i)^5$. Para isso, transforme primeiro a base para a forma polar, aplique a fórmula de De Moivre e forneça o resultado final na forma binômica.
Efetue a seguinte operação com números complexos, expressando o resultado final na forma polar: $$ \frac{(2_{30^\circ})^4 \cdot \sqrt{3}{150^\circ}}{4_{60^\circ}} $$
Efetue a seguinte operação com números complexos, expressando o resultado final na forma polar:
$$ \frac{(2_{30^\circ})^4 \cdot \sqrt{3}_{150^\circ}}{4_{60^\circ}} $$O inverso: módulo inverso, argumento oposto
Encontre o inverso do número complexo $z = 5_{120^\circ}$, expressando o resultado final na forma polar.
Encontre o inverso do número complexo $z = 5_{120^\circ}$, expressando o resultado final na forma polar.
Dados os números complexos $z_1 = 4_{45^\circ}$ e $z_2 = 2_{120^\circ}$: a) Antes de calcular, faça uma estimativa fundamentada: em que quadrante do plano complexo se…
Dados os números complexos $z_1 = 4_{45^\circ}$ e $z_2 = 2_{120^\circ}$:
- a) Antes de calcular, faça uma estimativa fundamentada: em que quadrante do plano complexo se encontrará o produto $z_1 \cdot z_2$? A sua distância à origem será maior ou menor do que a de $z_1$? Raciocine de forma semelhante para o quociente $\dfrac{z_1}{z_2}$.
- b) Verifique as suas estimativas calculando de forma exata o produto $z_1 \cdot z_2$ e o quociente $\dfrac{z_1}{z_2}$ na forma polar, reduzindo os argumentos ao intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$.
- c) A partir do resultado do quociente, calcule o seu inverso $\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)^{-1}$ na forma polar e verifique se o seu módulo é $0,5$ e se o seu argumento coincide com o que você obteria ao calcular diretamente $\dfrac{z_2}{z_1}$.
Em um circuito de corrente alternada, a impedância total $Z_T$ de dois componentes conectados em paralelo é calculada pela fórmula…
Em um circuito de corrente alternada, a impedância total $Z_T$ de dois componentes conectados em paralelo é calculada pela fórmula $\frac{1}{Z_T} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2}$. Se as impedâncias dos componentes são $Z_1 = 10_{30^\circ} \ \Omega$ e $Z_2 = 10_{-30^\circ} \ \Omega$, encontre a impedância total $Z_T$ na forma polar. Dica: passe para a forma binômica para realizar a soma.
Radiciação: $n$ raízes em um polígono regular
A equação $x^2=4$ tem duas soluções reais, $\pm2$. Em $\mathbb C$, a equação $z^n=w$ (com $w\neq0$) tem exatamente $n$ soluções, e os seus afixos (pontos no plano de Argand-Gauss) se distribuem de forma simétrica, formando os vértices de um polígono regular de $n$ lados centrado na origem.
Raízes da unidade
As soluções de $z^n=1$ são as raízes $n$-ésimas da unidade: $1_{360^\circ k/n}$, $k=0,\dots,n-1$. Elas ficam na circunferência de raio $1$ e formam um polígono regular com um vértice em $1$. Por exemplo, as raízes cúbicas da unidade formam um triângulo equilátero.
Calcule as duas raízes quadradas do número complexo $16_{120^\circ}$ e expresse os resultados na forma polar.
Calcule as duas raízes quadradas do número complexo $16_{120^\circ}$ e expresse os resultados na forma polar.
Resolva a equação $z^4 + 81 = 0$ no conjunto dos números complexos. Expresse as soluções na forma polar e represente-as graficamente no plano complexo (eixo real…
Resolva a equação $z^4 + 81 = 0$ no conjunto dos números complexos. Expresse as soluções na forma polar e represente-as graficamente no plano complexo (eixo real horizontal e eixo imaginário vertical).
Resolva a equação $z^3 = -8i$. Passe primeiro o número $-8i$ para a forma polar antes de calcular as raízes e expresse os resultados finais tanto na forma polar quanto…
Resolva a equação $z^3 = -8i$. Passe primeiro o número $-8i$ para a forma polar antes de calcular as raízes e expresse os resultados finais tanto na forma polar quanto na forma algébrica.
Encontre a área do triângulo cujos vértices são os afixos das raízes cúbicas do número complexo $z = 64_{90^\circ}$.
Encontre a área do triângulo cujos vértices são os afixos das raízes cúbicas do número complexo $z = 64_{90^\circ}$.
Calcule a soma das seis raízes sextas da unidade ($z^6 = 1$). Justifique a sua resposta de duas maneiras distintas: algebricamente (usando a soma de uma progressão…
Calcule a soma das seis raízes sextas da unidade ($z^6 = 1$). Justifique a sua resposta de duas maneiras distintas: algebricamente (usando a soma de uma progressão geométrica ou as propriedades das raízes) e geometricamente (interpretando os afixos como vetores).
Um sistema de criptografia gera chaves baseadas nas coordenadas dos afixos das soluções da equação $z^5 + 32 = 0$. Calcule todas as soluções na forma polar e determine o…
Um sistema de criptografia gera chaves baseadas nas coordenadas dos afixos das soluções da equação $z^5 + 32 = 0$. Calcule todas as soluções na forma polar e determine o perímetro do polígono regular que elas formam.
Resumo
Vale a pergunta do início: multiplicar na forma polar é só multiplicar módulos e somar ângulos porque multiplicar por um complexo é uma rotação combinada com uma homotetia.