Operações com frações algébricas

Simplifique ao máximo a seguinte fração algébrica fatorando o numerador e o denominador:

$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$

A Lucía precisa simplificar em uma prova a fração algébrica $\frac{x^2 - 4x}{x^2 - 16}$. O desenvolvimento dela foi o seguinte: «Como aparece $x^2$ tanto no numerador quanto no denominador, cancelo ambos os termos e fico com $\frac{-4x}{-16}$, que, ao simplificar os sinais negativos e dividir por $4$, resulta em $\frac{x}{4}$».

1. a) Explique detalhadamente que erro conceitual a Lucía comete em relação à propriedade fundamental da simplificação de frações algébricas (cancelamento de parcelas versus cancelamento de fatores).
2. b) Escolha um valor numérico concreto para $x$ (por exemplo, $x = 5$) que sirva de contraexemplo para demonstrar que a fração original e o resultado obtido pela Lucía não têm o mesmo valor.
3. c) Faça a simplificação correta fatorando previamente por completo o numerador e o denominador.

Realize a seguinte multiplicação de frações algébricas e expresse o resultado em sua forma mais simples:

$\frac{2x}{x-1} \cdot \frac{x^2 - 1}{4x^2}$

Calcule a divisão das seguintes frações algébricas e simplifique o resultado obtido:

$\frac{x^2 + 2x}{x - 3} : \frac{x^2 - 4}{x^2 - 9}$

Encontre um polinômio $P(x)$ de segundo grau que torne verdadeira a seguinte igualdade de operações com frações algébricas:

1. a) Formule a divisão como uma multiplicação pela fração inversa e deduza a expressão fatorada de $P(x)$ após simplificar os fatores comuns.
2. b) Escreva o polinômio $P(x)$ na sua forma polinomial desenvolvida ($a \cdot x^2 + b \cdot x + c$).
3. c) Indique, justificando, que valores reais de $x$ devem ser excluídos do domínio para que nenhuma das frações nem divisões intermediárias fique indefinida (denominadores nulos).

Efetue a soma das seguintes frações algébricas que têm o mesmo denominador:

$\frac{3x - 1}{x^2 + 1} + \frac{x + 5}{x^2 + 1}$

Subtraia as seguintes frações algébricas reduzindo previamente ao mesmo denominador:

$\frac{5}{x+2} - \frac{3}{x^2 - 4}$

Realize a seguinte soma de frações algébricas com denominadores de grau um:

$\frac{x}{x-2} + \frac{2}{x+3}$

Efetue a adição e a subtração das seguintes frações algébricas. Utilize o dispositivo de Briot-Ruffini e os produtos notáveis para fatorar previamente os denominadores e encontrar o mínimo múltiplo comum:

$\frac{2x}{x^3 - 3x^2 + 3x - 1} - \frac{1}{x^2 - 2x + 1} + \frac{3}{x-1}$

Efetue as operações dentro dos parênteses e depois multiplique para simplificar o resultado final:

$\frac{x^2 - x}{x+1} \cdot \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} \right)$

Efetue a seguinte operação combinada de frações algébricas e simplifique ao máximo:

$\frac{x^2+x}{x^2-1} - \frac{1}{x-1}$

A base de um painel solar retangular é dada pela expressão $b = \frac{x^3 - x}{x^2 + 2x + 1}$ metros, e sua altura por $h = \frac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1}$ metros. Calcule a área do painel solar expressando o resultado como uma única fração algébrica simplificada.

Realize as seguintes operações combinadas respeitando a ordem das operações e simplifique o resultado ao máximo:

$\left( \frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} \right) : \frac{4x}{x^2 - 1}$

Simplifique a seguinte fração algébrica complexa reduzindo primeiro o numerador e o denominador de forma independente:

$\frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x}}$

Para simplificar a seguinte fração complexa:

propõem-se duas estratégias algébricas distintas:

• Método 1: Operar separadamente o numerador e o denominador globais, obtendo em cada um uma única fração irredutível com o seu respectivo mínimo múltiplo comum, e efetuar no final a divisão multiplicando pela fração inversa.

• Método 2: Multiplicar simultaneamente o numerador e o denominador principais pelo mínimo múltiplo comum global de todos os denominadores parciais presentes, eliminando todas as frações internas em um único passo.

1. a) Realize a simplificação completa aplicando ambos os métodos e verifique que você chega exatamente ao mesmo resultado irredutível.
2. b) Compare o número de passos, fatorações intermediárias e possíveis pontos de erro na gestão de sinais de cada método. Justifique qual dos dois se mostra mais eficiente neste caso.

Simplifique a seguinte expressão algébrica iterada (fração contínua) operando do nível mais profundo para cima, até obter uma fração irredutível:

$1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x-1}}}$

Em um circuito elétrico, dois resistores $R_1$ e $R_2$ estão conectados em paralelo. A resistência equivalente $R_{eq}$ satisfaz a relação $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$. Se o valor dos resistores é dado pelos polinômios $R_1 = x^2 - 4$ e $R_2 = x^2 + 4x + 4$, obtenha a expressão simplificada da resistência equivalente $R_{eq}$ em função de $x$.

A equação das lentes finas em óptica estabelece que $\frac{1}{f} = \frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i}$. Se a distância do objeto ao centro óptico é $s_o = \frac{x^2+x}{2}$ e a distância da imagem é $s_i = \frac{x^2-1}{3}$, determine a expressão algébrica simplificada da distância focal $f$.

Duas impressoras 3D industriais fabricam um lote de peças trabalhando em equipe. A primeira impressora leva $x$ horas para concluir o trabalho sozinha, e a segunda leva $x+3$ horas. A fração do trabalho que realizam juntas em uma hora é a soma de suas taxas de trabalho individuais. Escreva e simplifique a fração algébrica que representa essa fração do trabalho por hora.

O custo médio de produção de um componente eletrônico é dado pela expressão $C_m(x) = \frac{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}{x^2 - 4}$, em que $x$ é o volume de produção em milhares de unidades. Por um ajuste de subsídios, deve-se subtrair uma taxa representada pela fração $\frac{x^2-1}{x+2}$. Calcule a nova expressão do custo médio simplificando previamente a primeira fração.

Em uma instalação solar fotovoltaica para autoconsumo em uma propriedade rural do Mato Grosso, ligam-se em paralelo dois ramos de painéis cujas resistências internas são $R_1$ e $R_2$. A resistência equivalente $R_{eq}$ do circuito é dada pela relação física:

Devido às oscilações térmicas durante o dia, as resistências de cada ramo (em ohms) dependem da temperatura $T$ do painel (em graus Celsius, com $T > 10$) de acordo com os modelos racionais:

1. a) Escreva as expressões de $\frac{1}{R_1}$ e $\frac{1}{R_2}$ fatorando previamente os seus termos e calcule a soma $\frac{1}{R_{eq}}$ reduzindo ao mínimo múltiplo comum dos denominadores.
2. b) Obtenha a expressão simplificada de $R_{eq}$ como uma única fração algébrica em função de $T$.
3. c) Se nas horas de máxima insolação de verão se registrar uma temperatura de $T = 30\text{ }^\circ\text{C}$, calcule o valor exato de $R_{eq}$ expresso como fração irredutível e determine se ele se mantém abaixo do limite regulamentar de segurança de $0,7$ ohms.

Uma lancha a motor viaja por um canal do ancoradouro até uma boia a uma velocidade $v+w$ (em que $w$ é a velocidade da correnteza a favor) e retorna a uma velocidade $v-w$ (correnteza contra). A distância entre os pontos é $d$. Obtenha a expressão simplificada da velocidade média do percurso completo, dada por $v_m = \frac{2d}{\frac{d}{v+w} + \frac{d}{v-w}}$, e verifique se é equivalente à expressão $\frac{v^2 - w^2}{v}$.

Um circuito misto tem uma resistência equivalente entre os terminais A e B dada pela fórmula $R_{eq} = R_1 + \frac{1}{\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}}$. Se os valores das resistências em ohms são dados pelas expressões algébricas $R_1 = \frac{x}{x+1}$, $R_2 = \frac{x^2-1}{x}$ e $R_3 = \frac{x^2-1}{2}$, calcule a expressão simplificada da resistência equivalente $R_{eq}$.

Em um laboratório de química, há duas soluções de um mesmo ácido. A primeira tem concentração $C_1 = \frac{x}{x^2+2x+1}$ e a segunda $C_2 = \frac{2}{x^2-1}$. Misturam-se volumes iguais de ambas as soluções, portanto a concentração da mistura resultante é a média aritmética de ambas as concentrações, ou seja, $C_m = \frac{1}{2}(C_1 + C_2)$. Obtenha a expressão algébrica simplificada da concentração final da mistura $C_m$.

Demonstre que a seguinte igualdade algébrica é verdadeira para qualquer valor das variáveis $x$ e $y$ que não anule os denominadores, desenvolvendo as operações e simplificando o membro esquerdo:

$\left( \frac{x^2 - y^2}{x+y} \right) \cdot \left( \frac{x^3 + y^3}{x^2 - xy + y^2} \right) = x^2 - y^2$

Determine os valores numéricos dos parâmetros $A$, $B$ e $C$ para que a seguinte identidade de decomposição em frações parciais seja satisfeita para todo $x$:

$\frac{5x^2 - x + 2}{x^3 - x^2 + x - 1} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$

Realize as operações indicadas com três variáveis e demonstre que o resultado final se simplifica para um número inteiro constante:

$\frac{x^2}{(x-y)(x-z)} + \frac{y^2}{(y-x)(y-z)} + \frac{z^2}{(z-x)(z-y)}$

A área superficial de uma embalagem cilíndrica projetada para minimizar o uso de material plástico é dada pela expressão $S(x) = 2\pi x^2 + \frac{1000}{x}$. Para analisar a taxa de variação do material em relação ao raio $x$, um engenheiro precisa calcular e simplificar a expressão da razão de diferenças $\frac{S(x+h) - S(x)}{h}$. Realize esta operação e expresse o resultado como uma única fração algébrica simplificada em termos de $x$ e $h$.

Duas tubulações da rede de distribuição da companhia de águas despejam água simultaneamente em um reservatório de retenção em São Paulo. A tubulação moderna $A$ leva $x$ horas para encher o reservatório completo sozinha, enquanto a tubulação antiga $B$, com menor vazão, leva $x + 4$ horas (com $x > 0$).

1. a) Estime: Sem fazer operações algébricas exatas, considere o caso em que $x = 6$ horas (a tubulação $A$ leva 6 horas e a $B$ leva 10 horas). Raciocine de forma qualitativa entre quais dois números inteiros de horas deve situar-se obrigatoriamente o tempo total de enchimento conjunto $T$. (Dica: compare a vazão do sistema com duas situações hipotéticas: duas tubulações idênticas à rápida ou duas idênticas à lenta).
2. b) Calcule: Sabendo que as vazões por hora se somam (satisfazendo a relação $\frac{1}{T(x)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}$), opere e simplifique para expressar o tempo conjunto $T(x)$ como uma única fração algébrica irredutível.
3. c) Verifique e generalize: Calcule o valor exato de $T(6)$ a partir da fórmula encontrada, converta-o para horas e minutos, e verifique se a sua estimativa do item (a) estava correta. Em seguida, analise o sinal da diferença algébrica $T(x) - \frac{x}{2}$ e demonstre formalmente por que o tempo conjunto nunca poderá ser inferior à metade do tempo da tubulação mais rápida, seja qual for o valor de $x$.

Em um laboratório de óptica aplicada do CSIC, ajusta-se uma bancada óptica que contém uma lente convergente delgada de distância focal $f$ conhecida e fixa ($f > 0$). A distância do objeto luminoso até a lente é $s$ (com $s > f$) e a distância da lente até a imagem focada sobre uma tela é $s'$. Essas variáveis satisfazem a equação de Descartes:

1. a) Isole $s'$ como uma única fração algébrica em função de $s$ e $f$. A partir dela, obtenha a expressão simplificada da distância total entre o objeto e a tela de projeção, $L(s) = s + s'$, como uma única fração algébrica com o denominador fatorado.
2. b) Problema inverso: Para verificar de forma puramente algébrica que a separação total entre o objeto e a tela nunca pode ser inferior a quatro vezes a distância focal ($L(s) \ge 4f$), formule a subtração $D(s) = L(s) - 4f$, reduza ao mesmo denominador e fatore completamente o numerador resultante, reconhecendo um produto notável.
3. c) Analise o sinal do numerador e do denominador da fração obtida para $D(s)$ levando em conta que $s > f$. Conclua rigorosamente por que $L(s) \ge 4f$ e deduza de forma fundamentada que posição o objeto deve ocupar ($s$ em função de $f$) para que a distância entre o objeto e a tela seja exatamente a mínima possível ($4f$).