Seções cônicas e lugares geométricos

Um cone de revolução é cortado por um plano que não passa pelo seu vértice. Se o plano é paralelo a uma única geratriz do cone, que seção cônica se obtém? Justifique a sua resposta com base na definição geométrica das seções cônicas.

Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância à origem do sistema de coordenadas é sempre igual a $5$.

Determine a equação do lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam dos pontos $A(2, -3)$ e $B(-4, 5)$. Que figura geométrica representa?

Durante uma escavação arqueológica, descobre-se um fragmento da borda de um prato circular antigo. Para reconstruir seu tamanho original, o fragmento é digitalizado e tomam-se três pontos do seu contorno: $A(-2, 1)$, $B(2, 5)$ e $C(4, 1)$. Utilizando o conceito de lugar geométrico (interseção de mediatrizes), calcule as coordenadas do centro original do prato e seu raio.

Determine o lugar geométrico dos pontos que equidistam das retas paralelas $r: x + 2y - 4 = 0$ e $s: x + 2y + 6 = 0$.

Determine as equações dos lugares geométricos dos pontos que equidistam das retas secantes $r: 3x - 4y + 5 = 0$ e $s: 4x + 3y - 1 = 0$.

No mapa de uma cidade, duas avenidas retas seguem as equações $r: 2x + y - 4 = 0$ e $s: x - 2y + 3 = 0$. Deseja-se construir uma praça em um ponto que equidiste de ambas as avenidas e que, por restrições urbanísticas, esteja situado sobre a rua de pedestres $x + y = 5$. Calcule as coordenadas das possíveis localizações para a praça.

Determine as equações do lugar geométrico dos pontos do plano que estão a uma distância constante de $3$ unidades da reta $4x - 3y + 2 = 0$.

Em um projeto de telecomunicações, duas antenas emissoras estão localizadas nos pontos $A(-3,0)$ e $B(3,0)$ de um plano cartesiano (em km). Um receptor $R(x,y)$ move-se de forma que a sua distância à antena $A$ é sempre o dobro da sua distância à antena $B$. Determine a equação do lugar geométrico que descreve o receptor e identifique de qual cônica se trata, indicando o seu centro e o seu raio.

Três sensores sísmicos estão localizados nas coordenadas $A(0,0)$, $B(4,0)$ e $C(0,4)$. Um drone de calibração voa no mesmo plano de modo que a soma dos quadrados de suas distâncias aos três sensores se mantém constante e igual a $50$. Determine a equação do lugar geométrico da trajetória do drone e descreva a figura resultante.

Determine o lugar geométrico dos pontos $P(x,y)$ cuja diferença dos quadrados das distâncias aos pontos $A(1,0)$ e $B(-1,0)$ é igual a $8$, isto é, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 8$.

Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos $P(x,y)$ tais que a soma dos quadrados de suas distâncias aos pontos $A(2,0)$ e $B(-2,0)$ é igual a $20$.

O Marcos precisa encontrar a equação do lugar geométrico dos pontos $P(x,y)$ cuja diferença dos quadrados de suas distâncias aos pontos $A(-1, 3)$ e $B(3, 3)$ é igual a $16$, ou seja, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 16$.

Sem fazer nenhum cálculo algébrico, o Marcos escreve em sua prova:

«Como a cônica chamada hipérbole se define a partir de uma subtração de distâncias a dois pontos fixos, este lugar geométrico é obrigatoriamente uma hipérbole centrada no ponto médio $(1, 3)$».

1. a) Explique detalhadamente o erro conceitual do Marcos: o que ele confunde na definição métrica da hipérbole e por que a presença das distâncias ao quadrado altera completamente o tipo de lugar geométrico obtido?
2. b) Corrija o exercício: formule a igualdade a partir das coordenadas genéricas de $P(x,y)$, desenvolva os quadrados, simplifique a expressão e descreva com precisão geométrica a figura resultante (indicando o seu tipo e a sua posição relativa em relação ao segmento $AB$).

Deseja-se determinar a equação do lugar geométrico dos pontos $P(x,y)$ tais que a soma dos quadrados de suas distâncias aos pontos $A(-2, 1)$ e $B(4, 5)$ é igual a $50$, ou seja, $d(P,A)^2 + d(P,B)^2 = 50$.

Para resolvê-lo, dois estudantes discutem que estratégia seguir:

• Método analítico (Ana): substituir $P(x,y)$, desenvolver os quatro binômios ao quadrado, agrupar todos os termos na forma geral $x^2 + y^2 + D x + E y + F = 0$ e, por fim, completar quadrados para identificar os elementos da cônica.

• Método sintético-geométrico (Lucas): basear-se na propriedade teórica de que esse lugar geométrico é uma circunferência cujo centro $C$ coincide com o ponto médio de $AB$; calcular as coordenadas de $C$ e determinar o raio avaliando a condição métrica em um ponto auxiliar ou aplicando o teorema da mediana.

1. a) Desenvolva por completo a resolução aplicando o método analítico da Ana até obter a equação canônica $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$.
2. b) Aplique o raciocínio geométrico do Lucas para encontrar o centro $C$ a partir de $A$ e $B$, e verifique que coincide com o obtido no item anterior.
3. c) Compare ambos os caminhos: qual resulta ser mais rápido e qual apresenta menor risco de cometer erros de cálculo algébrico? Justifique qual você recomendaria em uma prova.

Considere os pontos fixos $A(1, 2)$ e $B(7, 2)$ no plano cartesiano. Deseja-se determinar o lugar geométrico dos pontos $P(x,y)$ cuja soma de quadrados de distâncias satisfaz $d(P,A)^2 + d(P,B)^2 = 36$.

1. a) Estime: antes de realizar operações algébricas:

• Raciocine em quais coordenadas exatas deve se situar o centro da cônica esperada.

• Calcule a distância entre $A$ e $B$. Se você avaliar a condição de distâncias diretamente no ponto $A$, que valor obtém? Deduza se os próprios pontos $A$ e $B$ pertencem à curva e qual deve ser então o valor do raio.

1. b) Verifique: formule analiticamente a condição substituindo as coordenadas de $P(x,y)$, desenvolva os binômios ao quadrado e complete quadrados para obter a equação canônica $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$.
2. c) Conclua: compare o centro e o raio calculados em b) com as suas estimativas de a). Explique com argumentos geométricos por que o ponto médio do segmento $AB$ não pertence a este lugar geométrico apesar de ser o centro da circunferência.

Um veleiro navega de modo que a diferença dos quadrados de suas distâncias a duas boias situadas em $A(-3, -1)$ e $B(5, 5)$ é sempre constante e igual a $32$. Isto é, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 32$. Determine a equação do lugar geométrico da trajetória do veleiro e demonstre analiticamente que tal trajetória é uma reta perpendicular ao segmento que une as duas boias.

Dados os pontos fixos $A(0, 0)$ e $B(6, 0)$ no plano cartesiano e um parâmetro real $k$, define-se a família de lugares geométricos $\mathcal{L}_k$ pela condição $d(P,A)^2 + d(P,B)^2 = k$.

1. a) Desenvolva a equação analítica de $\mathcal{L}_k$ em função de $k$ e determine o valor mínimo $k_{\min}$ para o qual o lugar geométrico não é o conjunto vazio. Interprete que figura geométrica degenerada representa o caso $k = k_{\min}$.
2. b) Para $k > k_{\min}$, $\mathcal{L}_k$ é uma circunferência. Expresse o seu raio $R(k)$ em função do parâmetro $k$ e encontre o valor exato de $k$ para o qual a referida circunferência é tangente ao eixo das ordenadas $OY$.
3. c) Para o valor de $k$ obtido no item b), considere a família de retas $\mathcal{R}_m$ dadas pelo lugar geométrico $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = m$. Sem formular nenhum sistema de equações algébrico entre a reta e a circunferência, utilize exclusivamente as propriedades geométricas de ambos os lugares geométricos para deduzir os dois únicos valores de $m$ que fazem com que $\mathcal{R}_m$ seja tangente a $\mathcal{L}_k$, indicando as coordenadas dos respectivos pontos de tangência.

Uma câmera de segurança localizada em um ponto móvel $P(x,y)$ deve vigiar um corredor linear definido pelo segmento $AB$, com extremidades em $A(-4,0)$ e $B(4,0)$. Para que os sensores da câmera funcionem de maneira ideal, o ângulo de visão $\angle APB$ deve ser exatamente de $90^\circ$. Determine analiticamente o lugar geométrico das possíveis posições da câmera, excluindo os pontos $A$ e $B$. Descreva a figura resultante.

Em um mecanismo articulado, duas hastes giram em torno dos pivôs fixos $A(-a,0)$ e $B(a,0)$. O mecanismo é projetado de modo que o produto dos coeficientes angulares de ambas as hastes em seu ponto de interseção $P(x,y)$ seja sempre uma constante negativa $-k^2$ (com $k > 0$). Demonstre que o lugar geométrico do ponto $P$ é uma elipse e determine o comprimento dos seus semieixos em função de $a$ e $k$.

Em um estudo acústico, duas fontes sonoras emitem ondas sobre eixos perpendiculares que coincidem com os eixos coordenados. O lugar geométrico dos pontos onde o produto das distâncias a ambos os eixos é constante e igual a $16$ define curvas isofônicas. Determine a equação do lugar geométrico e demonstre que é formado por duas hipérboles equiláteras, calculando a distância exata entre os vértices de cada uma delas.

Para projetar um canteiro elíptico em um parque, um jardineiro fixa duas estacas no solo nos pontos $(-3,0)$ e $(3,0)$ (medidas em metros). Em seguida, amarra as extremidades de uma corda de $10\text{ m}$ de comprimento a ambas as estacas e, mantendo a corda esticada com uma haste, traça o contorno sobre a terra. Determine a equação do lugar geométrico do contorno do canteiro.

Você pode fazê-lo no papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Em um sistema de navegação hiperbólica, um navio recebe sinais de rádio simultâneos de duas estações costeiras localizadas em $A(-5,0)$ e $B(5,0)$ (em dezenas de km). O atraso na recepção do sinal indica que o navio encontra-se sempre $60\text{ km}$ mais próximo da estação $B$ do que da estação $A$. Obtenha a equação do lugar geométrico sobre o qual navega o navio.

Um raio laser parte do foco $F_1(c,0)$ de uma elipse refletora, rebate em um ponto $P(x,y)$ da sua superfície e chega diretamente ao outro foco $F_2(-c,0)$. Se a distância total percorrida pelo raio de luz é de $10$ unidades e a distância focal é de $6$ unidades, deduza a equação reduzida da elipse, como lugar geométrico, utilizando a sua definição baseada em distâncias.

O refletor de um farol marítimo tem um perfil projetado de modo que a distância de qualquer ponto da sua superfície ao foco emissor de luz, situado em $F(0,2)$, é exatamente igual à sua distância a uma reta de referência horizontal de equação $y = -2$. Determine a equação do lugar geométrico do perfil do refletor.

A extremidade $P(x,y)$ de um braço robótico industrial está programada para se mover de tal forma que a sua distância à reta de segurança $x = -4$ é sempre o dobro da sua distância ao ponto de fixação $F(-1,0)$. Determine a equação da trajetória descrita pela extremidade do braço e identifique que tipo de cônica ela representa.

Nas proximidades do estreito de Gibraltar, o centro de Salvamento Marítimo monitora a posição de uma embarcação avariada $P(x,y)$. A estação de radar costeira localiza-se no ponto fixo $F(0, 3)$ (coordenadas em milhas náuticas) e uma linha reta de balizamento marítimo segue a equação $r: y = 12$. Os sistemas de navegação constatam que a distância da embarcação à estação de radar é, em todo instante, a metade da sua distância à linha de balizamento.

1. a) Identifique de forma fundamentada que tipo de seção cônica a embarcação descreve (elipse, parábola ou hipérbole), determinando o valor numérico da sua excentricidade $e$ a partir da definição métrica em relação ao foco e à diretriz.
2. b) Deduza a equação cartesiana da trajetória desenvolvendo a condição métrica $\dfrac{d(P,F)}{d(P,r)} = e$ com as coordenadas de $P(x,y)$.
3. c) Escreva a equação obtida na sua forma canônica reduzida, indique as coordenadas do seu centro e calcule a distância mínima a que a embarcação passará da linha de balizamento $y = 12$.

Um móvel se desloca no plano cartesiano de maneira que a sua distância à reta vertical $x = k$ é igual à sua distância ao ponto fixo $F(2,0)$. Determine a equação do lugar geométrico em função do parâmetro $k$. Para qual valor exato de $k$ o lugar geométrico degenera em uma reta em vez de formar uma parábola?

No projeto de um sistema de fluidos, deve-se instalar uma tubulação cilíndrica cuja seção transversal pode variar de tamanho, mas deve ser sempre tangente ao eixo das abcissas e passar obrigatoriamente por um sensor fixo situado em $P(0,2)$. Encontre a equação do lugar geométrico descrito pelos possíveis centros $C(x,y)$ de tal seção transversal e identifique a cônica.

Demonstre analiticamente que o lugar geométrico dos pontos $P(x,y)$ cuja distância à origem $O(0,0)$ é igual a $e$ vezes a sua distância à reta $x = d$ (com $e > 0$ e $d > 0$) representa uma elipse se $e < 1$, uma parábola se $e = 1$ e uma hipérbole se $e > 1$. Escreva a equação geral obtida antes de classificá-la.

No departamento de dinâmica de veículos de um centro tecnológico projeta-se uma pista de testes. O traçado segue uma seção cônica definida como o lugar geométrico dos pontos $P(x,y)$ cuja distância a um sensor localizado em $F(4, 0)$ é proporcional à sua distância a uma barreira de segurança retilínea vertical $r: x = x_0$, cumprindo a relação focal $\dfrac{d(P,F)}{d(P,r)} = e$.

As restrições topográficas obrigam a trajetória a intersectar o eixo das abscissas exatamente em dois pontos: $V_1(2, 0)$ e $V_2(-10, 0)$.

1. a) Formule o sistema de duas equações que relaciona a excentricidade $e$ e a posição da diretriz $x_0$ a partir dos pontos $V_1$ e $V_2$. Resolva-o e descarte a solução não válida geometricamente (aquela em que a diretriz contém o foco), obtendo os valores exatos de $e$ e $x_0$.
2. b) Classifique de forma fundamentada a cônica a partir do valor de $e$. Desenvolva analiticamente a condição $\dfrac{d(P,F)}{d(P,r)} = e$ até obter a equação cartesiana da curva na forma reduzida.
3. c) A partir da equação reduzida, calcule as coordenadas do centro de simetria da cônica e as coordenadas do seu segundo foco $F'$.