Retas e planos no espaço
Você já olhou para a estrutura de um prédio em construção? Os pilares são retas verticais, as lajes são planos horizontais e os fios de luz passam por todo lado. Dois fios nunca se encontram, mas também não são paralelos. Como descrever isso com precisão? Neste apartado você aprende a dar nome a cada situação e a usar coordenadas para medir distâncias no espaço.
Posição relativa de duas retas
No plano, duas retas ou são paralelas ou são concorrentes. No espaço aparece uma terceira possibilidade. Veja as três em um cubo $ABCD$-$EFGH$, com $ABCD$ na face inferior e $E$, $F$, $G$, $H$ acima de $A$, $B$, $C$, $D$.
Nessa figura, a face da frente é $ABFE$ e a de trás é $DCGH$. Vale a pena imaginar o cubo como uma caixa de sapatos.
Exemplos no cubo: $AB$ e $DC$ são paralelas; $AB$ e $BC$ são concorrentes em $B$; $AB$ e $CG$ são reversas, pois nenhum plano contém as duas.
Um cubo tem vértices $ABCD$ na face inferior e $EFGH$ na face superior, com $E$ acima de $A$, $F$ acima de $B$, $G$ acima de $C$ e $H$ acima de $D$. Duas retas no espaço…
Um cubo tem vértices $ABCD$ na face inferior e $EFGH$ na face superior, com $E$ acima de $A$, $F$ acima de $B$, $G$ acima de $C$ e $H$ acima de $D$. Duas retas no espaço podem ser: paralelas (coplanares, sem ponto comum), concorrentes (com um ponto comum) ou reversas (não coplanares: não se encontram e não são paralelas).
Classifique a posição relativa de cada par de retas abaixo, justificando:
- a) as retas $AB$ e $CD$;
- b) as retas $AB$ e $BC$;
- c) as retas $AE$ e $CG$;
- d) as retas $AB$ e $CG$.
Posição relativa de planos e de reta e plano
Uma laje e o piso do andar de baixo, a parede e o chão, uma tampa de caixa aberta: também os planos têm posições relativas.
Uma reta e um plano também podem estar em três posições: a reta está contida no plano, é secante a ele (um único ponto comum) ou é paralela a ele (nenhum ponto comum). Uma reta é paralela a um plano quando é paralela a alguma reta desse plano.
Reta perpendicular a um plano
Um mastro, um pilar, um poste: queremos que fiquem "em pé", isto é, perpendiculares ao chão. Mas o chão é um plano, com infinitas retas. Será que precisamos conferir todas?
Não. Basta conferir duas.
A palavra concorrentes é essencial. Duas retas paralelas do plano apontam na mesma direção, e uma reta pode ser perpendicular às duas sem estar "em pé" sobre o plano.
Critério de perpendicularismo entre reta e plano: se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano. Num terreno…
Critério de perpendicularismo entre reta e plano: se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano.
Num terreno plano, fincou-se um mastro vertical $AB$, com $A$ no solo e $B$ a $4$ m de altura. Para verificar se o mastro está de pé (perpendicular ao solo), o pedreiro mediu os ângulos entre o mastro e duas guias de referência no solo que passam por $A$: uma na direção leste-oeste e outra na direção norte-sul. Ambas mediram $90^\circ$.
- a) As duas guias de referência são retas concorrentes do plano do solo? Justifique.
- b) Aplique o critério para concluir que o mastro é perpendicular ao plano do solo.
- c) Explique por que o mastro forma $90^\circ$ com qualquer outra reta do solo que passe por $A$.
- d) Um cabo de aço liga o topo $B$ a um ponto $C$ do solo situado a $3$ m de $A$. Calcule o comprimento do cabo.
Coordenadas 3D e distância a um plano horizontal
Para localizar um ponto no espaço usamos três coordenadas $(x;\ y;\ z)$. Aqui $x$ e $y$ dão a posição no piso e $z$ é a altura (cota). Como as coordenadas podem ter vírgula decimal, separamos com ponto e vírgula: $(2;\ 1{,}5;\ 3{,}5)$.
O plano horizontal de equação $z=c$ contém todos os pontos de altura $c$. O piso de um galpão, por exemplo, é o plano $z=0$.
Por quê? A reta vertical por $P$ é perpendicular ao plano horizontal, e só a coordenada $z$ muda ao longo dela. O segmento entre $P$ e o plano mede, então, a diferença de alturas.
Retas contidas em planos horizontais diferentes também podem ser classificadas. Se $r$ passa por $(1;\ 1;\ 0)$ e $(5;\ 1;\ 0)$, ela tem direção $(4;\ 0;\ 0)$, ou seja, o eixo $x$. Uma reta $s$ no teto que passe por $(1;\ 1;\ 4)$ e $(1;\ 3;\ 4)$ tem direção $y$. As direções são diferentes, logo não são paralelas; e como estão em planos horizontais distintos, não têm ponto comum. Portanto, são reversas.
Num galpão industrial, o piso é o plano horizontal $z = 0$ e o teto é o plano horizontal $z = 4$ (medidas em metros). Uma luminária está no ponto…
Num galpão industrial, o piso é o plano horizontal $z = 0$ e o teto é o plano horizontal $z = 4$ (medidas em metros). Uma luminária está no ponto $P = (2;\ 1{,}5;\ 3{,}5)$.
- a) Qual é a distância da luminária ao piso? E ao teto? (Num caso simples como este, a distância de um ponto a um plano horizontal é a diferença de cotas $z$.)
- b) A reta vertical que passa por $P$ é perpendicular ao piso e ao teto? Justifique e indique em que pontos ela encontra cada plano.
- c) No piso, a reta $r$ passa pelos pontos $(1;\ 1;\ 0)$ e $(5;\ 1;\ 0)$. No teto, a reta $s$ passa pelos pontos $(1;\ 1;\ 4)$ e $(1;\ 3;\ 4)$. Mostre que $r$ e $s$ não são paralelas e não têm ponto comum, e conclua que são reversas.
- d) Qual é a distância entre os dois planos paralelos $z = 0$ e $z = 4$? Justifique usando um segmento perpendicular a ambos.
Volte ao começo: dois fios que não se tocam e não são paralelos são retas reversas, e o mastro só está de pé se for perpendicular a duas retas concorrentes do chão.