Probabilidade total e teorema de Bayes

De acordo com os relatórios de mobilidade de passageiros em um corredor ferroviário espanhol, $50\,\%$ dos usuários viaja em serviços de Alta Velocidade (AVE/Avlo), $30\,\%$ em Média Distância e os $20\,\%$ restantes em Urbanos/Suburbanos (Cercanías). Os registros de pontualidade indicam que a probabilidade de sofrer um atraso superior a $15$ minutos é de $2\,\%$ na Alta Velocidade, de $6\,\%$ na Média Distância e de $10\,\%$ nos Urbanos/Suburbanos.

1. a) Justifique que os tipos de trem formam um sistema completo de eventos e defina com clareza os eventos que intervêm.
2. b) Calcule a probabilidade de um passageiro escolhido ao acaso nesse corredor chegar ao seu destino com mais de $15$ minutos de atraso.
3. c) Se um passageiro selecionado ao acaso sofreu um atraso superior a $15$ minutos, calcule a probabilidade de a viagem dele ter sido em Alta Velocidade. Comente o resultado: por que razão essa probabilidade é relativamente baixa apesar de metade das passagens vendidas corresponder a esse serviço?

Em uma escola, os alunos do 2º ano do Ensino Médio podem escolher entre duas plataformas para realizar seus trabalhos na nuvem: $65\%$ utiliza Google Workspace e o restante utiliza Microsoft 365. Sabe-se que $20\%$ dos usuários do Google utiliza ferramentas de Inteligência Artificial para redigir rascunhos, enquanto no Microsoft esse valor é de $15\%$.

Calcule a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso utilizar Inteligência Artificial para seus rascunhos.

Um criador de conteúdo do TikTok observa que seus vídeos curtos são visualizados de duas formas: por meio do Algoritmo de recomendações ($80\%$ das vezes) ou por meio de Busca direta ($20\%$). A probabilidade de um usuário curtir o vídeo é de $0,10$ se o vídeo chegar por recomendação, e de $0,30$ se o usuário tiver buscado diretamente.

Encontre a probabilidade de um usuário qualquer que visualize o vídeo curti-lo.

Um serviço de entregas utiliza três rotas para distribuir encomendas em uma cidade: Rota Norte ($50\%$), Rota Sul ($30\%$) e Rota Centro ($20\%$). Os atrasos na entrega ocorrem $2\%$ das vezes na rota Norte, $4\%$ na Sul e $10\%$ na rota Centro.

Determine a porcentagem total de pacotes que são entregues com atraso nesta cidade.

Em uma empresa de design, $60\%$ dos funcionários são Designers Senior e $40\%$ são Juniors. Na última campanha publicitária, $90\%$ dos Seniors utilizaram software de design vetorial, enquanto entre os Juniors apenas $70\%$ o fez.

Se escolhermos um funcionário ao acaso, calcule a probabilidade de que ele não tenha utilizado software de design vetorial.

Em um centro de alto rendimento para e-sports, os jogadores treinam em três plataformas distintas: PC, console e dispositivos móveis. $50\ \%$ dos jogadores usa PC, $30\ \%$ usa console e o restante, dispositivos móveis. Observou-se que o rendimento diminui por fadiga visual em $8\ \%$ dos jogadores de PC, em $5\ \%$ dos de console e em $12\ \%$ dos que usam celulares.

1. a) Calcule a probabilidade de um jogador escolhido ao acaso apresentar fadiga visual.

1. b) Se selecionarmos um jogador e vermos que ele sofre de fadiga visual, qual é a probabilidade de treinar habitualmente com um dispositivo móvel?

Um centro logístico de encomendas situado na região metropolitana de Campinas distribui os seus envios por meio de duas linhas automatizadas de triagem, $L_1$ e $L_2$. A linha $L_1$ assume uma proporção $p$ do volume total de encomendas ($0 < p < 1$), enquanto a linha $L_2$ classifica a fração restante ($1-p$). Devido ao desgaste mecânico, a linha $L_1$ danifica $1\,\%$ das encomendas que processa, enquanto a linha $L_2$, de tecnologia mais antiga, danifica $4\,\%$.

1. a) Expresse em função de $p$ a probabilidade de uma encomenda selecionada ao acaso no final do processo estar danificada, $P(D)$.
2. b) A direção técnica estabelece que, para não sobrecarregar o departamento de perícia da linha $L_1$, de todas as encomendas que forem detectadas como danificadas, no máximo $20\,\%$ devem vir dessa linha ($P(L_1 | D) \le 0{,}20$). Apresente a inequação correspondente e determine que porcentagem mínima do tráfego total de encomendas deve ser atribuída à linha $L_2$ para satisfazer esse critério de qualidade.

Em um concurso público, o programa consta de 80 temas. A banca sorteia dois temas ao acaso (sem reposição) e o candidato deve escolher um deles para desenvolver. Um candidato preparou apenas 45 temas.

1. a) Qual é a probabilidade de o candidato poder escolher pelo menos um tema que estudou?
2. b) Suponhamos que o candidato seja aprovado se o tema escolhido for um dos que preparou. Se sabemos que o candidato foi reprovado porque não pôde escolher nenhum tema dos sorteados, qual é a probabilidade de que, se a prova tivesse consistido no sorteio de três temas em vez de dois, ele tivesse tido a oportunidade de escolher pelo menos um? Justifique matematicamente se a probabilidade de ser aprovado aumentaria significativamente.

O departamento de auditoria de sistemas de uma instituição bancária espanhola supervisiona as transferências internacionais para prevenir fraudes. As operações têm origem em três canais: Canal SEPA/UE ($70\,\%$ do volume total), Canal Internacional Ordinário ($20\,\%$) e Canal Internacional de Alto Risco ($10\,\%$). Por registros históricos, sabe-se que a probabilidade de uma transferência ser fraudulenta ($F$) é de $0{,}1\,\%$ no canal SEPA, de $0{,}5\,\%$ no Internacional Ordinário e de um valor desconhecido $k$ ($0 < k \le 1$) no de Alto Risco.

1. a) Se a probabilidade global de uma transferência escolhida ao acaso no banco ser fraudulenta é exatamente de $0{,}0037$ ($0{,}37\,\%$), calcule o valor do parâmetro $k$ por meio do teorema da probabilidade total.
2. b) Se o sistema de segurança interceptar uma transferência e se comprovar que é fraudulenta, determine, por meio do Teorema de Bayes, de qual canal é mais provável que ela provenha.
3. c) Justifique a seguinte questão teórica: suponha que as taxas de fraude intrínsecas de cada canal (as probabilidades condicionais $P(F|\text{canal})$ do enunciado) permaneçam inalteradas. Seria possível modificar unicamente a distribuição do volume de operações entre os três canais de modo que, dada uma transferência que sabemos ser fraudulenta, seja mais provável que ela proceda do Canal SEPA do que dos outros dois juntos ($P(\text{SEPA}|F) > 0{,}50$)? Justifique sua resposta deduzindo que condição algébrica as novas participações dos canais deveriam cumprir.

Uma rede de supermercados vende iogurtes de dois fornecedores distintos. $40\%$ provém do Fornecedor A e $60\%$ do Fornecedor B. O controle de qualidade indica que $5\%$ dos iogurtes do Fornecedor A apresentam defeitos de embalagem, enquanto no Fornecedor B esse defeito aparece apenas em $2\%$ dos casos.

Se comprarmos um iogurte e verificarmos que ele tem um defeito de embalagem, qual é a probabilidade de ele ser do Fornecedor A?

Uma empresa de cibersegurança analisa o tráfego de e-mail de uma startup tecnológica. $70\ \%$ dos e-mails recebidos são internos, $20\ \%$ provêm de clientes conhecidos e o $10\ \%$ restante são e-mails externos de origem desconhecida. O filtro de segurança marca como "suspeito" $1\ \%$ dos e-mails internos, $4\ \%$ dos e-mails de clientes e $25\ \%$ dos e-mails desconhecidos.

1. a) Determine a probabilidade de um e-mail escolhido ao acaso ser marcado como suspeito pelo sistema.

1. b) Se um funcionário receber uma notificação de e-mail suspeito, qual é a probabilidade de o e-mail ser realmente de origem desconhecida?

Em um exame de acesso à Universidade, um estudante se depara com uma questão de múltipla escolha com 4 respostas possíveis, das quais apenas uma é verdadeira. A probabilidade de o estudante saber a resposta correta é de 0,6. Se souber, responde corretamente com certeza. Se não souber, escolhe uma das 4 opções ao acaso.

1. a) Qual é a probabilidade de o estudante responder corretamente à questão?

1. b) Se o corretor observar que a resposta assinalada é a correta, qual é a probabilidade de o estudante realmente saber a matéria e não ter respondido ao acaso?

Um estudo sobre o consumo de conteúdo em streaming revela que $70 \%$ dos jovens de uma cidade são assinantes da Plataforma A, $40 \%$ da Plataforma B e $20 \%$ de ambas. Escolhe-se um jovem ao acaso.

1. a) Sabendo que ele é assinante da Plataforma B, qual é a probabilidade de também ser assinante da Plataforma A? Os eventos "Ser assinante de A" e "Ser assinante de B" são independentes?

1. b) Sabe-se que $15 \%$ dos usuários apenas da Plataforma A preferem os documentários, $25 \%$ dos usuários apenas da Plataforma B também os preferem, e entre os que estão em ambas as plataformas, essa preferência sobe para $50 \%$. Entre os jovens que não são assinantes de nenhuma das duas plataformas, $10 \%$ preferem os documentários. Se um jovem escolhido ao acaso prefere os documentários, qual é a probabilidade de ele ser assinante de ambas as plataformas?

Um serviço de streaming de música classifica seus usuários em três categorias: "Free" (com anúncios), "Premium" e "Family". $60\ \%$ são usuários Free, $30\ \%$ Premium e $10\ \%$ Family. Sabe-se que $80\ \%$ dos usuários Free ouvem mais de 2 horas diárias, enquanto essa porcentagem é de $90\ \%$ para os Premium e de $95\ \%$ para os Family.

1. a) Escolhido um usuário ao acaso, qual é a probabilidade de ele ouvir música 2 horas ou menos por dia?

1. b) Se selecionarmos um usuário que ouve mais de 2 horas diárias de música, qual é a probabilidade de pertencer à modalidade "Premium"?

Uma empresa de cibersegurança utiliza três sistemas de inteligência artificial ($S_1$, $S_2$ e $S_3$) para detectar tentativas de acesso não autorizado em uma rede empresarial. O sistema $S_1$ gerencia $45 \%$ dos alertas, o $S_2$ $35 \%$ e o $S_3$ o resto.

Sabe-se por auditorias prévias que, entre os alertas emitidos por cada sistema, são falsos alarmes (considera-se ataque um acesso legítimo) $2 \%$ dos de $S_1$, $5 \%$ dos de $S_2$ e $8 \%$ dos de $S_3$. O resto dos alertas de cada sistema corresponde a ataques reais. Por outro lado, a probabilidade de um sistema ignorar um ataque real (falso negativo) é de $1 \%$ em todos os casos; é um dado de que você não vai precisar para este problema.

Em determinado momento, dispara um alerta no painel de controle indicando um ataque.

1. a) Represente a situação por meio de um diagrama de árvore, detalhando as probabilidades de cada ramo.

1. b) Calcule a probabilidade de o alerta emitido ser realmente um falso alarme.

1. c) Se for confirmado que o alerta era um falso alarme, qual é a probabilidade de ele ter sido gerado pelo sistema $S_3$?

Em um torneio de eSports, um jogador chega à final. Ele pode escolher entre duas estratégias: Ofensiva (a escolhe $70\%$ das vezes) ou Defensiva ($30\%$). Se jogar de forma ofensiva, ganha a partida com uma probabilidade de $0,6$, enquanto se jogar de forma defensiva, sua probabilidade de vitória é de $0,4$.

Sabendo que o jogador ganhou a partida, calcule a probabilidade de ele ter utilizado uma estratégia defensiva.

Realiza-se um estudo sobre um novo aplicativo de treinamento físico. Estima-se que $1\%$ dos adolescentes de uma cidade o utilize. O aplicativo tem uma função de "desafio diário" que é concluída com sucesso $95\%$ das vezes se o usuário for constante, mas se não for ($99\%$ da população não usa o app), a probabilidade de concluir um desafio similar por acaso é de apenas $0,05$.

Se selecionarmos um jovem ao acaso e virmos que ele concluiu o desafio com sucesso, qual é a probabilidade de que seja um usuário constante do aplicativo?

Uma concessionária de automóveis elétricos vende três modelos: Compacto ($40\,\%$), Sedã ($35\,\%$) e SUV ($25\,\%$). Observou-se que precisam de uma revisão de software no primeiro mês $3\,\%$ dos Compactos, $2\,\%$ dos Sedãs e $5\,\%$ dos SUV. A figura mostra o diagrama de árvore da situação.

Se um cliente telefona porque o carro dele precisou de uma revisão de software no primeiro mês, qual é o modelo que é mais provável que ele tenha comprado? Justifique a resposta calculando as probabilidades correspondentes.

O Marcos está resolvendo um problema de controle de qualidade para uma cooperativa de olivicultores de Jaén. O fornecimento de azeitona vem de duas fazendas: a fazenda $F_1$ fornece $60\,\%$ da colheita e a fazenda $F_2$ $40\,\%$. A porcentagem de azeitona não apta para produzir azeite virgem extra é de $5\,\%$ na fazenda $F_1$ e de $10\,\%$ na fazenda $F_2$. O enunciado pede para calcular a probabilidade de uma azeitona não apta vir da fazenda $F_1$. O Marcos escreve na prova:

«$P(F_1 | \text{Não apta}) = P(F_1) \cdot P(\text{Não apta} | F_1) = 0{,}60 \cdot 0{,}05 = 0{,}03$. Portanto, há $3\,\%$ de probabilidade de vir da herdade $F_1$. Faz sentido porque é um número menor do que $1$».

1. a) Identifique e explique detalhadamente os dois erros conceituais que o Marcos cometeu (um relacionado à confusão entre interseção e probabilidade condicionada, e outro ao Teorema de Bayes).
2. b) Corrija o exercício calculando de forma rigorosa a probabilidade pedida.

Em uma fábrica de montagem de baterias para carros elétricos, utilizam-se duas linhas de produção, $L_1$ e $L_2$. A linha $L_1$ produz $60\ \%$ das baterias e a $L_2$, o restante. Sabe-se que $2\ \%$ das baterias de $L_1$ apresentam defeitos na selagem, enquanto na $L_2$ este defeito aparece em $5\ \%$ das unidades.

1. a) Se for escolhida uma bateria ao acaso da produção total, qual é a probabilidade de não ser defeituosa?

1. b) Se, ao realizar um controle de qualidade, for detectada uma bateria defeituosa, qual linha tem maior probabilidade de tê-la fabricado? Justifique sua resposta calculando ambas as probabilidades a posteriori.

Em uma disciplina do 2º ano do Ensino Médio, os alunos podem optar por realizar um projeto final de três temáticas: Robótica, Programação ou Energias Renováveis. $25\ \%$ escolhe Robótica, $40\ \%$ Programação e $35\ \%$ Energias Renováveis. A probabilidade de obter a nota Excelente é de 0,20 em Robótica, 0,15 em Programação e 0,10 em Energias Renováveis.

1. a) Encontre a probabilidade de um aluno da turma, escolhido ao acaso, não obter a nota Excelente.

1. b) Sabendo que um aluno obteve a nota Excelente, qual é a probabilidade de seu projeto ter sido sobre Robótica?

Uma linha de montagem automatizada produz drones de corrida. A fábrica utiliza dois tipos de motores: o motor Alpha, que é instalado em $60 \%$ dos drones, e o motor Beta, que é instalado no restante. Devido à alta precisão exigida, alguns motores apresentam falhas de calibração.

Sabe-se que $5 \%$ dos motores Alpha são defeituosos. Após a realização de um teste de qualidade no final da linha, observa-se que a probabilidade total de encontrar um drone com motor defeituoso é de $4,4 \%$.

1. a) Calcule a probabilidade de um motor ser defeituoso sabendo que é do tipo Beta.
2. b) Escolhe-se um drone ao acaso e o teste de qualidade indica que o motor funciona corretamente. Qual é a probabilidade de o drone possuir um motor Alpha?

Um canal de notícias utiliza três fontes distintas para obter informações: Agências ($A$), Correspondentes ($C$) e Redes Sociais ($R$). $50 \%$ das notícias provêm de $A$, $30 \%$ de $C$ e o restante de $R$.

A probabilidade de uma notícia ser falsa (fake news) é de $0,01$ se provier de $A$ e de $0,05$ se provier de $C$. Foi detectado que, se for escolhida uma notícia ao acaso e ela for falsa, a probabilidade de proceder das Redes Sociais é de $0,75$.

1. a) Calcule a probabilidade de uma notícia proveniente das Redes Sociais ser falsa.
2. b) Calcule a probabilidade total de uma notícia escolhida ao acaso neste canal ser verídica.

Um estudo sobre mobilidade sustentável em uma cidade indica que $45\ \%$ dos trajetos são realizados em transporte público, $35\ \%$ em bicicleta ou patinete elétrico e $20\ \%$ em carro particular. Estima-se que a probabilidade de chegar atrasado ao trabalho seja de 0,15 se for usado transporte público, de 0,05 se for usada bicicleta/patinete e de 0,30 se for usado carro particular (devido aos engarrafamentos).

1. a) Calcule a probabilidade de um cidadão escolhido ao acaso chegar pontual ao seu local de trabalho.

1. b) Se sabemos que um trabalhador chegou atrasado, qual é a probabilidade de ter viajado em seu carro particular?

Em um centro de alto rendimento esportivo, os atletas são submetidos a um controle de dopagem. $1 \%$ dos atletas consome uma substância proibida. O teste utilizado tem uma confiabilidade de $98 \%$ (probabilidade de dar positivo se a substância tiver sido consumida). No entanto, o teste também produz $3 \%$ de "falsos positivos" (dar positivo em atletas que não consumiram nada).

1. a) Se um atleta testar positivo no controle, qual é a probabilidade de realmente ter consumido a substância?
2. b) O comitê decide realizar um segundo teste independente com o mesmo atleta se o primeiro der positivo. Se este segundo teste (com a mesma confiabilidade) também resultar positivo, qual é a probabilidade agora de o atleta ser culpado? Justifique se a confiança no veredito aumentou significativamente.

Um laboratório farmacêutico desenvolve um teste rápido para detectar uma deficiência vitamínica que afeta $5\ \%$ da população jovem. Os ensaios clínicos mostram que o teste dá positivo em $96\ \%$ das pessoas que realmente têm a deficiência. No entanto, também dá um "falso positivo" em $2\ \%$ das pessoas saudáveis.

1. a) Qual porcentagem da população total dará positivo no teste?

1. b) Se um jovem realizar o teste e o resultado for positivo, qual é a probabilidade real de ele sofrer de tal deficiência vitamínica? Comente se o resultado lhe parece alto ou baixo em relação à confiabilidade do teste.

Numa campanha preventiva de trânsito da PRF em rodovias, estima-se que $1\,\%$ dos motoristas circula tendo consumido substâncias não permitidas ($S$). O teste preliminar de saliva utilizado nas operações de fiscalização tem uma sensibilidade de $98\,\%$ (se um motorista consumiu, dá positivo com probabilidade $0{,}98$), mas apresenta uma taxa de falsos positivos de $4\,\%$ (em motoristas que não consumiram, o teste dá positivo por erro com probabilidade $0{,}04$).

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo numérico: se um motorista der positivo na fiscalização, estime de forma intuitiva e fundamente brevemente se a probabilidade de ter realmente consumido estará mais próxima de $90\,\%$, de $50\,\%$ ou abaixo de $25\,\%$.
2. b) Aplique o Teorema de Bayes para calcular com rigor $P(S | \text{Positivo})$.
3. c) Compare o valor obtido com a sua estimativa do item a). Explique que fenômeno probabilístico provoca este resultado e por que motivo a regulamentação exige o envio de uma segunda amostra para um laboratório toxicológico antes de processar a sanção.

Em um programa de saúde pública do Sistema Único de Saúde (SUS) para a detecção precoce do câncer colorretal em pessoas com idades entre $50$ e $69$ anos, a prevalência da doença nesse grupo demográfico é de $0{,}5\,\%$. O teste de sangue oculto nas fezes utilizado tem uma sensibilidade de $80\,\%$ (dá positivo em $80\,\%$ das pessoas doentes) e uma taxa de falsos positivos de $3\,\%$ (dá positivo em $3\,\%$ das pessoas saudáveis). Um paciente tem resultado positivo no rastreamento e deseja-se calcular a probabilidade de que realmente tenha a doença, $P(E | +)$.

1. a) Método 1 (Álgebra de eventos): Modele formalmente o sistema completo de eventos, as probabilidades a priori, as verossimilhanças e determine $P(E | +)$ aplicando o Teorema da Probabilidade Total e o Teorema de Bayes.
2. b) Método 2 (Frequências naturais): Modele a situação a partir de uma coorte hipotética de $100.000$ pessoas. Construa uma tabela de contingência $2 \times 2$ com os números inteiros de indivíduos saudáveis/doentes e positivos/negativos, e deduza diretamente a partir dela o valor de $P(E | +)$.
3. c) Avaliação crítica: Compare ambos os métodos e justifique de forma fundamentada por que diversas pesquisas em psicologia cognitiva e educação matemática defendem que o Método 2 se mostra muito mais transparente e reduz o viés cognitivo de diagnóstico em relação à formulação algébrica abstrata do Método 1.

Em um laboratório de biotecnologia, manipulam-se três tipos de bactérias: $T_1$, $T_2$ e $T_3$. Há um recipiente que contém 100 amostras: 20 de $T_1$, 30 de $T_2$ e 50 de $T_3$. A probabilidade de uma amostra desenvolver resistência a antibióticos em 24 horas é de $0,2$ para $T_1$, $0,4$ para $T_2$ e um valor desconhecido $p$ para $T_3$.

Retira-se uma amostra ao acaso e observa-se que ela desenvolveu resistência após 24 horas. Sabendo que a probabilidade de essa amostra ser do tipo $T_2$ é de $0,375$:

1. a) Determine o valor da probabilidade $p$ associada às bactérias do tipo $T_3$.
2. b) Com o valor de $p$ obtido, calcule a probabilidade de, ao escolher uma amostra ao acaso, ela não desenvolver resistência.

Três máquinas, $M_1$, $M_2$ e $M_3$, fabricam peças de precisão. $M_1$ produz o dobro de peças que $M_2$, e $M_3$ produz o mesmo número que $M_1$ e $M_2$ juntas. A porcentagem de peças defeituosas é de $2 \%$ para $M_1$ e de $4 \%$ para $M_2$.

Sabe-se que, ao retirar uma peça ao acaso da produção total, a probabilidade de ela ser defeituosa é de $2,5 \%$.

1. a) Calcule a porcentagem de peças defeituosas que a máquina $M_3$ produz.
2. b) Se retirarmos uma peça e verificarmos que é defeituosa, qual é a máquina que tem maior probabilidade de tê-la fabricado?