Propriedades da probabilidade

Em uma urna há bolas numeradas. Sejam os eventos $A$ = "retirar um número par" e $B$ = "retirar um número ímpar menor que 5". Se sabemos que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,2$ e que os eventos são incompatíveis, calcule a probabilidade da união $P(A \cup B)$.

Um estudo sobre hábitos digitais revela que a probabilidade de um adolescente usar uma rede social de microblogging é $P(S) = 0,72$.

Calcule a probabilidade do evento complementar, ou seja, a probabilidade de um adolescente escolhido ao acaso não utilizar essa rede social.

Utilizando as Leis de De Morgan, calcule a probabilidade de não ocorrer nem o evento $A$ nem o evento $B$ (ou seja, $P(\bar{A} \cap \bar{B})$), sabendo que a probabilidade da união é $P(A \cup B) = 0,84$.

Dados dois eventos $A$ e $B$ de um experimento aleatório, são conhecidos os seguintes dados:

$P(\bar{A}) = 0,6$

$P(B) = 0,3$

$P(A \cap B) = 0,1$

Encontre o valor da probabilidade da união, $P(A \cup B)$. Sugestão: calcule primeiro $P(A)$.

Em uma plataforma de streaming, $65\ \%$ dos usuários jovens estão inscritos no Plano de Música ($M$) e $40\ \%$ estão inscritos no Plano de Vídeo ($V$). Sabe-se também que $25\ \%$ dos usuários usufruem de ambos os planos simultaneamente.

Calcule a probabilidade de um usuário escolhido ao acaso estar inscrito em algum dos dois planos (música ou vídeo).

Sejam $A$ e $B$ dois eventos tais que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ e $P(A \cup B) = 0,7$. Determine se os eventos $A$ e $B$ são compatíveis ou incompatíveis justificando sua resposta mediante o cálculo de $P(A \cap B)$.

Em um estudo sobre o consumo de conteúdo digital em uma turma do 12º ano, sabe-se que a probabilidade de um aluno usar habitualmente o TikTok (evento $A$) é $0,65$, a probabilidade de usar o Instagram (evento $B$) é $0,70$ e a probabilidade de não usar nenhuma das duas redes sociais é $0,15$.

Utilizando as propriedades da probabilidade, calcule:

1. a) A probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, utilizar ambas as redes sociais.
2. b) A probabilidade de utilizar apenas uma das duas.
3. c) Os eventos $A$ e $B$ são independentes? Justifique sua resposta.

Dados dois eventos $A$ e $B$, sabe-se que $P(A) = 0,3$, $P(B) = 0,6$ e $P(A \cup B) = 0,72$.

1. a) Calcule $P(A \cap B)$.
2. b) Os eventos $A$ e $B$ são independentes? Justifique a resposta comparando $P(A \cap B)$ com o produto de suas probabilidades individuais.
3. c) Calcule $P(\bar{A} / B)$.

Observe o seguinte diagrama de Venn que representa os eventos $A$ (estudantes que praticam basquete) e $B$ (estudantes que praticam natação) em um centro esportivo:

Sabendo que os números representam a probabilidade de cada região, utilize as propriedades da probabilidade para calcular:

1. a) $P(A)$
2. b) $P(A \cap B)$
3. c) $P(\bar{A})$ (Probabilidade de não praticar basquete).

Numa competição de e-sports, a probabilidade de que a equipe "Alfa" ganhe a primeira partida é $P(A) = 0,6$. A probabilidade de que ganhe a segunda é $P(B) = 0,5$. Se a probabilidade de que ganhe ambas é $P(A \cap B) = 0,3$, calcule:

1. a) A probabilidade de que ganhe a primeira partida mas não a segunda ($P(A \cap \bar{B})$).

1. b) Ilustre a situação por meio de um esquema de áreas como o seguinte, em que o quadrado completo representa probabilidade 1 e cada região tem uma área igual à sua probabilidade. Complete a probabilidade das outras três regiões.

Em um centro esportivo, $60\%$ dos inscritos pratica treino de força (evento $F$) e $45\%$ pratica ioga (evento $Y$). Sabe-se além disso que $20\%$ dos que praticam força também estão inscritos em ioga.

Construa uma tabela de contingência ou um diagrama de Venn para responder às seguintes questões:

1. a) Probabilidade de um sócio escolhido ao acaso não praticar nem força nem ioga.

1. b) Se sabemos que um sócio pratica ioga, qual é a probabilidade de ele não praticar força?

1. c) Os eventos "praticar força" e "praticar ioga" são independentes?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Duas equipes de e-sports, "Titãs" e "Fênix", participam de um torneio. A probabilidade de os Titãs ganharem sua partida é $P(T) = 0,8$ e a de os Fênix ganharem a sua é $P(F) = 0,7$. Supondo que os resultados de ambas as equipes são independentes, calcule por meio da álgebra de eventos as seguintes probabilidades:

1. a) Que ambas as equipes ganhem suas respectivas partidas.
2. b) Que pelo menos uma das duas ganhe.
3. c) Que apenas a equipe dos Titãs ganhe.

Na eleição de representantes estudantis de uma escola, seja $A$ o evento «a pessoa eleita frequenta a área de Ciências» com $P(A) = 0,65$, e seja $B$ o evento «a pessoa eleita participa do clube de debate» com $P(B) = 0,45$.\na) Estime, antes de efetuar qualquer cálculo algébrico, se é possível que ambas as características sejam incompatíveis ($A \cap B = \emptyset$). Justifique a sua intuição a partir da soma das suas probabilidades em relação ao espaço amostral total.\nb) Verifique a sua estimativa calculando formalmente as cotas de Fréchet para a interseção; isto é, o intervalo $[p_{\min}, p_{\max}]$ no qual $P(A \cap B)$ deve necessariamente se encontrar.\nc) Avalie criticamente se uma estimativa prévia que propusesse $P(A \cap B) = 0,50$ seria admissível ou se contradiz a propriedade de monotonia da probabilidade ($A \cap B \subseteq B$).

Considere dois eventos $A$ e $B$ de um experimento aleatório. Sabe-se que $P(A) = 0,6$ e $P(B) = 0,7$.

Com base nos axiomas de Kolmogorov, demonstre que:

1. O valor mínimo possível para $P(A \cap B)$ é $0,3$.

2. O valor máximo possível para $P(A \cap B)$ é $0,6$.

3. Se for adicionado um terceiro evento $C$ tal que $P(C) = 0,8$, qual é o valor mínimo da probabilidade de ocorrerem os três eventos ao mesmo tempo, $P(A \cap B \cap C)$? Justifique sua resposta utilizando a desigualdade de Bonferroni: $P(A \cap B) \geq P(A) + P(B) - 1$.