Exercícios: Tronco de cone

O volume de um tronco de cone de raios das bases $R$ (maior) e $r$ (menor) e altura $h$ é dado por:

$$V = \frac{\pi \cdot h}{3}\left(R^2 + R \cdot r + r^2\right)$$

Um jarro de suco tem a forma de tronco de cone, com raio da boca $R = 10$ cm, raio do fundo $r = 6$ cm e altura $h = 15$ cm.

1. a) Calcule o volume exato do jarro, em função de $\pi$.
2. b) Usando $\pi = 3{,}14$, calcule o volume em centímetros cúbicos.
3. c) Lembrando que $1.000$ cm$^3 = 1$ litro, a capacidade do jarro é maior ou menor que $3$ litros?

Um balde tem a forma de tronco de cone com raio da boca $R = 15$ cm, raio do fundo $r = 10$ cm e altura $h = 30$ cm. Use a fórmula $V = \dfrac{\pi \cdot h}{3}\left(R^2 + R \cdot r + r^2\right)$ e $\pi = 3{,}14$.

1. a) Calcule o volume do balde, em centímetros cúbicos.
2. b) Expresse a capacidade do balde em litros ($1.000$ cm$^3 = 1$ litro).
3. c) Para encher uma caixa-d'água de $300$ litros usando esse balde, quantas viagens com o balde cheio serão necessárias, no mínimo?

Um cone tem raio da base $R = 8$ cm e altura $24$ cm. Corta-se o cone por um plano paralelo à base, passando a $12$ cm do vértice (metade da altura), obtendo-se um cone menor e um tronco de cone de altura $12$ cm.

1. a) Usando semelhança, determine o raio $r$ da base do cone menor.
2. b) Calcule os volumes do cone original e do cone menor, usando $V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h$, e obtenha o volume do tronco por diferença, em função de $\pi$.
3. c) Verifique que a fórmula do tronco de cone, $V = \dfrac{\pi \cdot h}{3}\left(R^2 + R \cdot r + r^2\right)$, dá o mesmo resultado.
4. d) Mostre que o volume do tronco é $\dfrac{7}{8}$ do volume do cone original e explique, usando a razão de semelhança $\dfrac{1}{2}$ elevada ao cubo, por que isso acontece.