Exercícios: Técnicas de contagem

Em um clube de esportes eletrônicos (eSports), analisa-se a especialização dos seus 100 sócios. Sabe-se que 65 deles jogam habitualmente League of Legends (evento $L$), 40 jogam Valorant (evento $V$) e 15 jogam ambos os videogames.

Calcule a probabilidade de que, ao escolher um sócio ao acaso:

1. a) Jogue algum dos dois videogames ($L \cup V$).

1. b) Não jogue nenhum dos dois.

1. c) Jogue apenas League of Legends.

Ilustre a situação por meio de um diagrama de Venn. Aqui está o esquema de partida, que você deve completar com o número de sócios de cada região:

Para melhorar a segurança de um aplicativo móvel, um desenvolvedor decide criar códigos de acesso consistindo em uma letra maiúscula (considerando as 26 letras do alfabeto padrão) seguida de três dígitos (de 0 a 9).

• Quantos códigos diferentes podem ser criados se os dígitos puderem se repetir?

• Quantos códigos diferentes haveria se os três dígitos tivessem de ser distintos entre si?

• Se for gerado um código ao acaso com dígitos repetíveis, qual é a probabilidade de a letra ser um 'Z'?

Uma urna contém 12 bolas de cristal para um experimento de óptica: 5 são azuis, 4 são vermelhas e 3 são amarelas. Se extrairmos uma bola ao acaso, calcule as seguintes probabilidades utilizando a regra de Laplace:

• Que a bola seja vermelha ou amarela.

• Que a bola não seja azul.

• Que a bola seja branca.

Em um laboratório de robótica, foram misturados em uma caixa 8 sensores de proximidade em perfeito estado e 2 sensores defeituosos. Um aluno extrai dois sensores de forma consecutiva e sem reposição (sem devolver o primeiro à caixa).

Calcule a probabilidade de:

• Ambos os sensores funcionarem corretamente.

• O primeiro ser defeituoso e o segundo estar em bom estado.

Foi realizada uma pesquisa com os 60 alunos do 12º ano de uma escola tecnológica sobre o uso de redes sociais para se informarem sobre notícias científicas. Os resultados são mostrados na seguinte tabela de contingência:

	Usam o X (Twitter)	Usam o Instagram	Total
Alunos	18	12	30
Alunas	10	20	30
Total	28	32	60

Se escolhermos um estudante ao acaso, calcule a probabilidade de:

• Ser uma aluna.

• Usar o Instagram para se informar.

• Sabendo que é um aluno, preferir se informar por meio da rede social X.

Um estudante tem duas provas no mesmo dia: Matemática e Inglês. Pelo seu histórico de notas, estima que a probabilidade de ser aprovado em Matemática ($M$) é de $0,7$, a de ser aprovado em Inglês ($I$) é de $0,8$ e a de ser aprovado em ambas é de $0,6$.

• Os eventos "Aprovar em Matemática" e "Aprovar em Inglês" são independentes? Justifique a sua resposta matematicamente.

• Calcule a probabilidade de ser aprovado em pelo menos uma das duas provas.

No laboratório de um hospital, dois analisadores automáticos, $A$ e $B$, processam as amostras de sangue. O analisador $A$ processa $60 \%$ das amostras e o $B$ os $40 \%$ restantes. Sabe-se que $2 \%$ das amostras do analisador $A$ devem ser repetidas por erro de leitura, enquanto no $B$ essa porcentagem é de $5 \%$.

Desenhe o diagrama de árvore correspondente e calcule a probabilidade de que uma amostra escolhida ao acaso deva ser repetida.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Uma turma de engenharia precisa escolher uma comissão de 3 representantes. Se na turma houver 20 estudantes, calcule:

• De quantas formas se pode escolher a comissão se os três cargos (representante, vice-representante e secretário) forem distintos?

• De quantas formas se pode escolher se os três representantes tiverem o mesmo cargo e a ordem não importar?

• Se houver 12 homens e 8 mulheres, qual é a probabilidade de a comissão (sem cargos diferenciados) ser formada apenas por mulheres? (Escreva a fração por meio de números combinatórios).

Numa escola secundária, a comissão de delegados do 12.º ano é composta por 10 estudantes: 6 raparigas e 4 rapazes. Para formar uma comissão de convivência, deve-se escolher por sorteio um grupo de 3 delegados.

O Marcos quer calcular a probabilidade de a comissão ser formada por exatamente 2 meninas e 1 menino, e raciocina da seguinte maneira:

«Para a primeira menina há 6 opções, para a segunda há 5 opções, e para o menino há 4 opções. Portanto, os casos favoráveis são $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$. Como os casos possíveis de escolher 3 pessoas em ordem entre as 10 são $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$, a probabilidade procurada é $\frac{120}{720} = \frac{1}{6}$».

1. a) Identifique com precisão o erro conceitual do Marcos ao calcular os casos favoráveis e explique por que razão a abordagem dele distorce o cálculo do espaço amostral.
2. b) Resolva o problema corretamente utilizando combinações $\binom{n}{r}$ por meio da regra de Laplace e compare o seu resultado com o obtido pelo Marcos.

Num grupo de 15 estudantes do 12.º ano que frequentam Matemática II encontram-se três amigos inseparáveis: a Lucía, o Mateo e a Sofía. O departamento vai selecionar ao acaso uma equipa de 4 estudantes para representar a escola nas Olimpíadas de Matemática da universidade local.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo matemático, faça uma estimativa qualitativa e intuitiva: você acha que a probabilidade de pelo menos dois dos três amigos coincidirem na equipe de 4 pessoas é superior a $50\,\%$, fica em torno de $15\,\%-20\,\%$ ou é um evento muito improvável (inferior a $5\,\%$)? Justifique brevemente a intuição na qual você se baseia.
2. b) Modele o problema por meio de técnicas combinatórias e calcule o valor exato dessa probabilidade como fração irredutível e em porcentagem.
3. c) Compare o valor obtido com a sua estimativa inicial e argumente por que a intuição humana sobre coincidências grupais costuma falhar nesse tipo de sorteio.

Para melhorar a segurança de uma plataforma de e-sports, exige-se que os usuários criem uma senha de acesso de 6 caracteres. Os dois primeiros devem ser letras maiúsculas do alfabeto espanhol (27 letras) e os quatro restantes devem ser dígitos de $0$ a $9$.

Calcule quantas senhas diferentes podem ser geradas se:

1. a) Forem permitidas repetições de letras e números.
2. b) Não for permitido repetir nenhuma letra, mas sim os números.
3. c) As letras deverem ser distintas e os números deverem formar uma sequência estritamente crescente (por exemplo: $1258$, mas não $1225$ nem $4321$).

No estudo de desempenho de um novo processador gráfico, definem-se os eventos $A$: "o processador supera $100$ FPS em ultra" e $B$: "o processador mantém uma temperatura inferior a $70^\circ$C". Conhecem-se as seguintes probabilidades:

$P(A) = 0,65$

$P(B) = 0,50$

$P(A^c \cup B^c) = 0,70$

Encontre de forma fundamentada:

1. a) A probabilidade de ocorrerem ambos os eventos ao mesmo tempo.
2. b) A probabilidade de ocorrer apenas o evento $A$.
3. c) Os eventos $A$ e $B$ são independentes? Justifique sua resposta.

Um laboratório de robótica tem duas caixas de componentes. A Caixa 1 contém $8$ sensores de proximidade e $4$ atuadores. A Caixa 2 contém $5$ sensores de proximidade e $7$ atuadores. Escolhe-se uma caixa ao acaso e extraem-se dois componentes sucessivamente, sem reposição.

1. a) Calcule a probabilidade de os dois componentes extraídos serem atuadores.
2. b) Sabendo que os dois componentes extraídos foram sensores de proximidade, qual é a probabilidade de eles terem vindo da Caixa 1?

Uma empresa de desenvolvimento de software utiliza três servidores para hospedar sua API: o servidor $S_1$ gerencia $45\%$ do tráfego, o $S_2$ $35\%$ e o $S_3$ o restante. Devido à carga, o servidor $S_1$ falha (erro 500) em $2\%$ das requisições, $S_2$ em $3\%$ e $S_3$ em $5\%$.

1. a) Se um usuário fizer uma requisição, qual é a probabilidade de o servidor retornar um erro?
2. b) Se uma requisição falhou, qual é a probabilidade de ter sido gerenciada pelo servidor $S_3$?

Um engenheiro de telecomunicações estima que a probabilidade de um pacote de dados se perder durante uma transmissão sem fio em condições de interferência é de $0,15$. Uma rajada de $10$ pacotes é enviada de forma independente.

1. a) Qual é a probabilidade de exatamente $3$ pacotes se perderem?
2. b) Calcule a probabilidade de pelo menos $2$ pacotes se perderem.
3. c) Qual é o número esperado de pacotes perdidos e o seu desvio padrão?

O tempo de compilação de um projeto complexo de engenharia segue uma distribuição normal com média de $120$ segundos e desvio padrão de $15$ segundos.

1. a) Calcule a probabilidade de o projeto ser compilado em menos de $100$ segundos.
2. b) Calcule a probabilidade de o tempo de compilação estar entre $110$ e $140$ segundos.
3. c) Que tempo de compilação é superado apenas por $5\%$ dos processos mais lentos?

Em um exame de certificação técnica, as pontuações seguem uma distribuição $N(70, 12)$. A instituição decide conceder uma "Menção de Excelência" aos alunos que obtiverem uma nota situada no percentil $90$.

1. a) Qual é a nota mínima para obter essa menção?
2. b) Se $250$ alunos realizarem o exame, quantos se espera que obtenham a menção?
3. c) Se escolhermos dois alunos ao acaso, qual é a probabilidade de ambos obterem a menção?

Uma rede social detecta que $10\%$ das contas criadas são "bots". Se em uma hora forem registradas $400$ contas novas:

1. a) Explique por que se pode aproximar o número de bots por meio de uma distribuição normal.
2. b) Calcule, realizando a aproximação à normal com correção de continuidade, a probabilidade de haver entre $35$ e $50$ bots (ambos inclusive).
3. c) Calcule a probabilidade de o número de bots ser superior a $45$.

Um posto de saúde rural de uma cidade do interior de Minas Gerais dispõe de um quadro de 11 profissionais de urgência entre médicos de família e enfermeiros. Para organizar o plantão noturno do fim de semana, escolhe-se ao acaso uma equipe de plantão formada por 3 profissionais do total de 11.

Sabe-se com certeza que a probabilidade de a equipe de plantão ser composta por 2 médicos e 1 enfermeiro é exatamente o dobro da probabilidade de ser composta por 1 médico e 2 enfermeiros.

1. a) Se denotarmos por $m$ o número de médicos do quadro (com $2 \le m \le 9$), formule a equação combinatória que modela a condição dada a partir da regra de Laplace.
2. b) Resolva algebricamente essa equação para descobrir a composição exata do quadro (quantos médicos e quantos enfermeiros há no posto de saúde).
3. c) Com o quadro já determinado, calcule a probabilidade de o plantão noturno ser constituído exclusivamente por profissionais de um mesmo grupo profissional de saúde.

O sistema ordinário de emplacamento de veículos da Dirección General de Tráfico (DGT) na Espanha atribui a cada automóvel um código composto por 4 dígitos (do 0000 até o 9999) seguidos de um bloco de 3 letras consoantes do alfabeto espanhol, sendo excluídas as 5 vogais (A, E, I, O, U) para evitar siglas e palavras inadequadas, bem como as letras Ñ e Q por possíveis confusões visuais. Dessa forma, dispõe-se de um conjunto de 20 consoantes admissíveis.

1. a) Modele a atribuição de placas e calcule quantos veículos diferentes podem ser emplacados no total. Justifique as técnicas de contagem aplicadas em cada bloco da placa.
2. b) Uma câmera de controle de trânsito registra a placa de um infrator, mas a imagem está parcialmente desfocada: o agente verifica que o bloco numérico é um palíndromo de quatro algarismos com o primeiro e o segundo algarismos distintos (por exemplo, 7337), e que as três letras são distintas entre si e aparecem em estrita ordem alfabética crescente (por exemplo, CFX). Quantas placas do parque teórico da DGT satisfazem esse padrão?
3. c) Se for escolhido um veículo ao acaso entre todos os possíveis do sistema, determine a probabilidade de a sua placa não conter nenhum dígito repetido e também não conter nenhuma consoante repetida. Expresse o resultado na forma de fração irredutível e com quatro casas decimais.

Uma empresa de cibersegurança gera senhas de acesso mediante a permutação dos caracteres da palavra BLOCKCHAIN. Uma dessas senhas é escolhida ao acaso.

1. a) Calcule a probabilidade de a senha escolhida começar e terminar com vogal.
2. b) Determine a probabilidade de todas as vogais aparecerem juntas na senha.
3. c) Sabendo que a senha começa com B, qual é a probabilidade de a segunda letra ser L?

Um servidor de armazenamento de dados recebe solicitações de três tipos de clientes: Bronze ($50\%$), Prata ($30\%$) e Ouro ($20\%$). Devido à saturação, o servidor pode rejeitar solicitações. Sabe-se que a probabilidade de uma solicitação ser rejeitada é de $10\%$ para clientes Bronze, de $5\%$ para clientes Prata e de $1\%$ para clientes Ouro.

1. a) Se for selecionada uma solicitação ao acaso e ela for rejeitada, qual é a probabilidade de ser proveniente de um cliente do tipo Bronze?
2. b) Após uma atualização do sistema, a probabilidade total de rejeição caiu para $4\%$. Se as probabilidades dos clientes Prata e Ouro se mantiverem iguais, qual é a nova probabilidade de rejeição para os clientes Bronze?

Dispõe-se de uma urna $A$ com 4 bolas brancas e 6 bolas pretas, e uma urna $B$ com 7 bolas brancas e 3 pretas. Lança-se um dado honesto: se sair um número menor ou igual a 2, extrai-se uma bola da urna $A$ e ela é introduzida na $B$, para depois extrair uma bola de $B$. Se sair um número maior que 2, extrai-se uma bola da urna $B$ e ela é introduzida na $A$, para depois extrair uma bola de $A$.

Calcule a probabilidade de a bola extraída em segundo lugar ser branca.

Um sistema de mira a laser para cirurgia ocular tem um erro de desvio $X$, medido em micrômetros, que segue uma função densidade dada por:

$$f(x) = \begin{cases} k(4x - x^3) & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ 0 & \text{nos demais casos} \end{cases}$$

1. a) Determine o valor da constante $k$ para que $f(x)$ seja uma função densidade legítima.
2. b) Calcule a probabilidade de o desvio ser superior a 1 micrômetro.
3. c) Obtenha o valor esperado do desvio. Qual é o significado desse valor no contexto da cirurgia?

Um sistema de comunicação por satélite transmite pacotes de dados. Cada pacote tem uma probabilidade $p = 0,002$ de ser corrompido durante a transmissão, de forma independente. Para assegurar a recepção, envia-se um bloco de $2500$ pacotes.

1. a) Justifique por que se pode aproximar o número de pacotes corrompidos por meio de uma distribuição normal.
2. b) Calcule a probabilidade de serem corrompidos entre 4 e 8 pacotes (ambos inclusive).
3. c) Se o sistema de correção de erros só pode reparar até 10 pacotes por bloco, qual é a probabilidade de o bloco ser irreparável?

O tempo de resposta de um sensor industrial segue uma distribuição normal $N(\mu, \sigma)$. Sabe-se que $15,87\%$ das respostas demoram mais de $82$ milissegundos, e que apenas $2,28\%$ das respostas são mais rápidas que $58$ milissegundos.

1. a) Calcule os parâmetros $\mu$ e $\sigma$ do tempo de resposta.
2. b) Se o fabricante garante que o sensor responde em menos de $85$ ms, qual porcentagem dos sensores não cumprirá a garantia?

Em uma prova de engenharia com 100 alunos, as notas seguem uma distribuição normal de média $6,2$ e desvio padrão $1,5$. O professor decide que $10\%$ dos alunos com melhores notas receberão o conceito "Excelente", enquanto aqueles cuja nota estiver abaixo de um desvio padrão da média serão reprovados.

1. a) Qual é a nota mínima para obter "Excelente"?
2. b) Quantos alunos se espera que sejam reprovados na prova?
3. c) Se escolhermos três alunos ao acaso, qual é a probabilidade de pelo menos um deles ter nota superior a 7?

Um dispositivo eletrônico consiste em dois componentes críticos, $C_1$ e $C_2$, conectados em paralelo (o dispositivo funciona se pelo menos um dos dois funcionar). A probabilidade de $C_1$ falhar em um ano é $0,15$, e a de $C_2$ falhar é $0,20$. No entanto, as falhas não são independentes: se $C_1$ falhar, a probabilidade de $C_2$ também falhar aumenta para $0,60$.

1. a) Calcule a probabilidade de o dispositivo falhar antes de um ano.
2. b) Os eventos "Falha de $C_1$" e "Falha de $C_2$" são dependentes? Justifique sua resposta com cálculos.
3. c) Se o dispositivo falhou, qual é a probabilidade de o componente $C_1$ ter falhado?

Em uma auditoria técnica de cibersegurança, analisam-se 18 servidores de dados pertencentes a uma instituição bancária. Foi detectado que 4 deles apresentam uma falha crítica de segurança sem correção aplicada, enquanto os 14 restantes são completamente seguros. A equipe auditora seleciona ao acaso uma amostra de 5 servidores para submetê-los a um teste de intrusão. Deseja-se calcular a probabilidade do evento $A$: «na amostra extraída há pelo menos dois servidores vulneráveis».

1. a) Desenvolva o cálculo de $P(A)$ por dois caminhos analíticos distintos:

• Caminho 1 (Contagem direta): particionar os casos favoráveis segundo o número exato de servidores vulneráveis encontrados.

• Caminho 2 (Passagem ao evento contrário): calcular a probabilidade do evento complementar $A^c$.

Verifique que ambos os procedimentos levam à mesma fração irredutível.

1. b) Se o tamanho do lote aumentasse para 30 servidores e a amostra a extrair fosse de 10 servidores, analise qual dos dois métodos oferece uma vantagem operacional real quanto a erros de cálculo e justifique com base na estrutura combinatória das partições.
2. c) Um assistente da equipe propõe calcular os casos favoráveis do evento $A$ do seguinte modo: «Escolhemos primeiro 2 servidores vulneráveis dentre os 4 disponíveis de $\binom{4}{2}$ formas; depois, escolhemos os 3 servidores restantes dentre os 16 que sobram no lote de $\binom{16}{3}$ formas. Portanto, os casos favoráveis são $\binom{4}{2} \cdot \binom{16}{3}$». Demonstre analiticamente por que esse raciocínio é errado e especifique se ele produz uma superestimação ou uma subestimação do número real de casos.

Para constituir uma banca de concurso público para docentes em um estado, a administração convoca por sorteio rigoroso 5 membros a partir de uma lista fechada de 30 candidatos qualificados, formada por 18 mulheres e 12 homens. A regulamentação do serviço público exige o princípio de presença equilibrada: a banca não pode ter mais de $60\,\%$ de membros do mesmo sexo (ou seja, a banca deve contar com pelo menos 2 mulheres e pelo menos 2 homens).

1. a) Modele a seleção da banca por meio de combinações e calcule a probabilidade de uma banca escolhida ao acaso cumprir diretamente a regulamentação de presença equilibrada.
2. b) Suponha que na lista de 30 pessoas figuram dois docentes específicos (um homem e uma mulher) que têm parentesco de primeiro grau, de modo que a lei do regime jurídico proíbe que ambos façam parte da mesma banca. Se a administração descartar por sorteio prévio a possibilidade de ambos coincidirem, restringindo o espaço amostral unicamente a bancas em que os dois familiares não estejam juntos, determine se a probabilidade de a banca cumprir a paridade aumenta ou diminui em relação à obtida no item a). Justifique quantitativamente a sua conclusão.
3. c) Propõe-se como alternativa modificar o procedimento de sorteio: em vez de um único sorteio de 5 pessoas entre os 30 candidatos, realizar duas urnas separadas (uma para mulheres e outra para homens) e sortear aleatoriamente 3 mulheres e 2 homens com probabilidade $0,5$, ou 2 mulheres e 3 homens com probabilidade $0,5$. Justifique matematicamente se esse novo mecanismo mantém ou altera a probabilidade individual de cada docente ser selecionado em relação ao sorteio equiprovável original.