Exercícios: Propriedades da probabilidade

Em uma plataforma de streaming, $65\ \%$ dos usuários jovens estão inscritos no Plano de Música ($M$) e $40\ \%$ estão inscritos no Plano de Vídeo ($V$). Sabe-se também que $25\ \%$ dos usuários usufruem de ambos os planos simultaneamente.

Calcule a probabilidade de um usuário escolhido ao acaso estar inscrito em algum dos dois planos (música ou vídeo).

Observe o seguinte diagrama de Venn que representa os eventos $A$ (estudantes que praticam basquete) e $B$ (estudantes que praticam natação) em um centro esportivo:

Sabendo que os números representam a probabilidade de cada região, utilize as propriedades da probabilidade para calcular:

1. a) $P(A)$
2. b) $P(A \cap B)$
3. c) $P(\bar{A})$ (Probabilidade de não praticar basquete).

Um estudo sobre hábitos digitais revela que a probabilidade de um adolescente usar uma rede social de microblogging é $P(S) = 0,72$.

Calcule a probabilidade do evento complementar, ou seja, a probabilidade de um adolescente escolhido ao acaso não utilizar essa rede social.

Sejam $A$ e $B$ dois eventos tais que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ e $P(A \cup B) = 0,7$. Determine se os eventos $A$ e $B$ são compatíveis ou incompatíveis justificando sua resposta mediante o cálculo de $P(A \cap B)$.

Numa competição de e-sports, a probabilidade de que a equipe "Alfa" ganhe a primeira partida é $P(A) = 0,6$. A probabilidade de que ganhe a segunda é $P(B) = 0,5$. Se a probabilidade de que ganhe ambas é $P(A \cap B) = 0,3$, calcule:

1. a) A probabilidade de que ganhe a primeira partida mas não a segunda ($P(A \cap \bar{B})$).

1. b) Ilustre a situação por meio de um esquema de áreas como o seguinte, em que o quadrado completo representa probabilidade 1 e cada região tem uma área igual à sua probabilidade. Complete a probabilidade das outras três regiões.

Utilizando as Leis de De Morgan, calcule a probabilidade de não ocorrer nem o evento $A$ nem o evento $B$ (ou seja, $P(\bar{A} \cap \bar{B})$), sabendo que a probabilidade da união é $P(A \cup B) = 0,84$.

Em uma urna há bolas numeradas. Sejam os eventos $A$ = "retirar um número par" e $B$ = "retirar um número ímpar menor que 5". Se sabemos que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,2$ e que os eventos são incompatíveis, calcule a probabilidade da união $P(A \cup B)$.

Dados dois eventos $A$ e $B$ de um experimento aleatório, são conhecidos os seguintes dados:

$P(\bar{A}) = 0,6$

$P(B) = 0,3$

$P(A \cap B) = 0,1$

Encontre o valor da probabilidade da união, $P(A \cup B)$. Sugestão: calcule primeiro $P(A)$.

Num exame de Matemática do 12.º ano, propõem-se dois acontecimentos $A$ e $B$ de um mesmo espaço amostral com probabilidades $P(A) = 0,7$ e $P(B) = 0,5$. O Marcos escreve no seu desenvolvimento: «Como $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,5 = 1,2$, e pelos axiomas de Kolmogorov nenhuma probabilidade pode ser superior a $1$, o enunciado contém um erro e estes dois acontecimentos não podem ocorrer num mesmo ensaio».\na) Identifica e explica fundamentadamente os dois erros conceptuais cometidos pelo Marcos (um relativo à fórmula utilizada e outro relativo à compatibilidade dos acontecimentos).\nb) Utilizando as propriedades deduzidas dos axiomas, calcula a cota mínima que $P(A \cap B)$ deve tomar para que a situação seja matematicamente coerente e determina em que intervalo pode variar $P(A \cup B)$.

Na eleição de representantes estudantis de uma escola, seja $A$ o evento «a pessoa eleita frequenta a área de Ciências» com $P(A) = 0,65$, e seja $B$ o evento «a pessoa eleita participa do clube de debate» com $P(B) = 0,45$.\na) Estime, antes de efetuar qualquer cálculo algébrico, se é possível que ambas as características sejam incompatíveis ($A \cap B = \emptyset$). Justifique a sua intuição a partir da soma das suas probabilidades em relação ao espaço amostral total.\nb) Verifique a sua estimativa calculando formalmente as cotas de Fréchet para a interseção; isto é, o intervalo $[p_{\min}, p_{\max}]$ no qual $P(A \cap B)$ deve necessariamente se encontrar.\nc) Avalie criticamente se uma estimativa prévia que propusesse $P(A \cap B) = 0,50$ seria admissível ou se contradiz a propriedade de monotonia da probabilidade ($A \cap B \subseteq B$).

Em um estudo sobre o consumo de conteúdo digital em uma turma do 12º ano, sabe-se que a probabilidade de um aluno usar habitualmente o TikTok (evento $A$) é $0,65$, a probabilidade de usar o Instagram (evento $B$) é $0,70$ e a probabilidade de não usar nenhuma das duas redes sociais é $0,15$.

Utilizando as propriedades da probabilidade, calcule:

1. a) A probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, utilizar ambas as redes sociais.
2. b) A probabilidade de utilizar apenas uma das duas.
3. c) Os eventos $A$ e $B$ são independentes? Justifique sua resposta.

Duas equipes de e-sports, "Titãs" e "Fênix", participam de um torneio. A probabilidade de os Titãs ganharem sua partida é $P(T) = 0,8$ e a de os Fênix ganharem a sua é $P(F) = 0,7$. Supondo que os resultados de ambas as equipes são independentes, calcule por meio da álgebra de eventos as seguintes probabilidades:

1. a) Que ambas as equipes ganhem suas respectivas partidas.
2. b) Que pelo menos uma das duas ganhe.
3. c) Que apenas a equipe dos Titãs ganhe.

Sejam $A$ e $B$ dois eventos de um experimento aleatório tais que conhecemos $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ e a probabilidade da união dos seus complementares é $P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 0,8$.

1. a) Calcule $P(A \cap B)$.
2. b) Encontre $P(A \cup B)$.
3. c) Determine se os eventos $A$ e $B$ são compatíveis ou incompatíveis.
4. d) Calcule $P(A / \bar{B})$.

Em um centro esportivo, $60\%$ dos inscritos pratica treino de força (evento $F$) e $45\%$ pratica ioga (evento $Y$). Sabe-se além disso que $20\%$ dos que praticam força também estão inscritos em ioga.

Construa uma tabela de contingência ou um diagrama de Venn para responder às seguintes questões:

1. a) Probabilidade de um sócio escolhido ao acaso não praticar nem força nem ioga.

1. b) Se sabemos que um sócio pratica ioga, qual é a probabilidade de ele não praticar força?

1. c) Os eventos "praticar força" e "praticar ioga" são independentes?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Sejam $A$ e $B$ dois eventos tais que a probabilidade de ocorrer $B$ se ocorreu $A$ é $P(B/A) = 0,25$. Se sabemos que $P(A \cap B) = 0,15$ e que $P(B) = 0,45$:

1. a) Calcule $P(A)$.
2. b) Calcule $P(A \cup B)$.
3. c) Calcule a probabilidade de não ocorrer $A$ dado que não ocorreu $B$, ou seja, $P(\bar{A} / \bar{B})$.

Um sistema de segurança inteligente tem dois sensores independentes, $S_1$ e $S_2$. A probabilidade de o sensor $S_1$ detectar uma intrusão é $0,92$ e a probabilidade de o sensor $S_2$ detectá-la é $0,85$. Caso ocorra uma intrusão, calcule:

1. a) A probabilidade de ser detectada por ambos os sensores simultaneamente.
2. b) A probabilidade de a intrusão ser detectada (ou seja, de pelo menos um sensor funcionar).
3. c) A probabilidade de o sensor $S_1$ falhar, mas o $S_2$ funcionar corretamente.

Dados dois eventos $A$ e $B$, sabe-se que $P(A) = 0,3$, $P(B) = 0,6$ e $P(A \cup B) = 0,72$.

1. a) Calcule $P(A \cap B)$.
2. b) Os eventos $A$ e $B$ são independentes? Justifique a resposta comparando $P(A \cap B)$ com o produto de suas probabilidades individuais.
3. c) Calcule $P(\bar{A} / B)$.

Uma plataforma de streaming classifica seus usuários em "Premium" ($P$) ou "Padrão" ($S$). Estima-se que $40\%$ são Premium. Além disso, $70\%$ dos usuários Premium assistem a séries de ficção científica ($C$), enquanto apenas $30\%$ dos usuários Padrão as assistem. Escolhido um usuário ao acaso:

1. a) Calcule a probabilidade de assistir a séries de ficção científica.
2. b) Se o usuário escolhido está assistindo a uma série de ficção científica, qual é a probabilidade de ser um usuário Premium?
3. c) Os eventos "Ser usuário Premium" e "Assistir a séries de ficção científica" são independentes? Justifique matematicamente por meio das propriedades da probabilidade condicional.

A partir de dados adaptados do Instituto Nacional de Estadística (INE) sobre equipamento e utilização de tecnologias em jovens espanhóis de 16 a 24 anos, sabe-se que a probabilidade de um jovem usar diariamente uma plataforma de vídeo sob demanda (evento $V$) é $0,80$, e a de ouvir podcasts habitualmente (evento $P$) é $0,45$. Além disso, a probabilidade de não realizar nenhuma dessas duas atividades é de apenas $0,05$.\na) Modele a condição «não realiza nenhuma das duas atividades» por meio de operações de conjuntos e, aplicando as leis de De Morgan e a propriedade do evento complementar, calcule a probabilidade da união $P(V \cup P)$.\nb) Determine a probabilidade de um jovem escolhido ao acaso realizar ambas as atividades, $P(V \cap P)$.\nc) Uma agência de publicidade afirma que pelo menos $20\,\%$ dos jovens ouvem podcasts habitualmente, mas não consomem vídeo sob demanda diariamente ($P \cap \overline{V}$). Utilizando a decomposição de eventos em partes incompatíveis ($P = (P \cap V) \cup (P \cap \overline{V})$), demonstre de forma fundamentada se essa afirmação é verdadeira ou falsa.

Considere dois eventos $A$ e $B$ de um espaço amostral cujas probabilidades dependem de um parâmetro real $k$, de modo que $P(A) = 2k$ e $P(B) = 3k - 0,1$. Sabe-se que a probabilidade de ocorrer exatamente um dos dois eventos é igual a $0,5$.\na) Expresse o evento «ocorre exatamente um dos dois eventos» por meio de operações de conjuntos e demonstre que a sua probabilidade equivale a $P(A) + P(B) - 2 \cdot P(A \cap B)$.\nb) Supondo em primeiro lugar que $A$ e $B$ são eventos incompatíveis, determine o valor de $k$ e verifique rigorosamente que as probabilidades resultantes para $A$ e $B$ cumprem os axiomas de Kolmogorov ($0 \leq P(S) \leq 1$ e $P(A \cup B) \leq 1$).\nc) Se agora se admitir que $A$ e $B$ podem ser compatíveis e se fixar $k = 0,20$, determine o valor que $P(A \cap B)$ deve necessariamente ter para manter a condição inicial e justifique se este valor respeita as cotas teóricas permitidas para a interseção.

Sejam $A$, $B$ e $C$ três eventos de um mesmo espaço amostral tais que formam um sistema completo de eventos. Conhecem-se as seguintes relações entre suas probabilidades:

• A probabilidade de $A$ é o dobro da de $B$.

• A probabilidade da união de $B$ e $C$ é o triplo da probabilidade de $B$.

Demonstre de forma fundamentada, utilizando os axiomas de Kolmogorov e as propriedades da probabilidade, se é possível que $P(C) = 0,4$. Em caso negativo, determine o valor exato das probabilidades de cada evento.

Em um sistema de segurança redundante para uma infraestrutura de servidores, instalam-se três nós de controle ($N_1, N_2, N_3$). Sabe-se que o sistema falha se pelo menos dois dos nós caírem simultaneamente. As probabilidades de falha de cada nó são $P(N_1) = 0,05$, $P(N_2) = 0,08$ e $P(N_3) = 0,10$.

Como compartilham a mesma rede elétrica, as falhas não são independentes. Sabe-se que:

• A probabilidade de que falhem o primeiro e o segundo nó é $P(N_1 \cap N_2) = 0,02$.

• A probabilidade de que falhem o segundo e o terceiro é $P(N_2 \cap N_3) = 0,03$.

• A probabilidade de que falhem o primeiro e o terceiro é $P(N_1 \cap N_3) = 0,01$.

• A probabilidade de que falhem os três ao mesmo tempo é $P(N_1 \cap N_2 \cap N_3) = 0,005$.

1. a) Desenhe um diagrama de Venn com os três eventos $N_1$, $N_2$ e $N_3$ dentro do espaço amostral e calcule a probabilidade de cada uma das oito regiões (incluindo a exterior aos três círculos).

1. b) Calcule a probabilidade de que o sistema global não falhe, isto é, de que falhe no máximo um nó. Apoie-se no diagrama do item anterior para fundamentar a sua resposta.

Demonstre formalmente a seguinte generalização das Leis de De Morgan para três eventos utilizando exclusivamente as propriedades das operações com conjuntos e os axiomas da probabilidade:

Posteriormente, utilize este resultado para resolver o seguinte problema: Em uma empresa de desenvolvimento de software, $60\%$ dos funcionários domina Python, $40\%$ Java e $30\%$ C++. Sabe-se que $20\%$ domina Python e Java, $15\%$ Java e C++, e $10\%$ Python e C++. Se apenas $5\%$ domina as três linguagens, calcule a probabilidade de um funcionário escolhido ao acaso não conhecer nenhuma dessas três linguagens de programação.

Um engenheiro aeronáutico analisa a confiabilidade de um componente crítico. Sejam $A$ e $B$ dois eventos tais que $P(A) = \frac{1}{3}$ e $P(B) = p$.

1. Se $A$ e $B$ forem independentes, expresse a probabilidade de ocorrer exatamente um dos dois eventos em função de $p$.

2. Se $A$ e $B$ forem mutuamente exclusivos, qual é o valor máximo que $p$ pode assumir?

3. Determine o valor de $p$ para que a probabilidade de não ocorrer nem $A$ nem $B$ seja igual a $\frac{1}{4}$, supondo que $A$ e $B$ sejam independentes.

Em uma rede de sensores IoT, dois sensores $S_1$ e $S_2$ detectam anomalias térmicas de forma independente. A probabilidade de o sensor $S_1$ detectar uma anomalia é $P(S_1) = x$ e a do sensor $S_2$ é $P(S_2) = y$.

Define-se um novo evento $Z$ como o fato de a anomalia ser detectada por pelo menos um dos dois sensores. Se sabemos que $P(Z) = 0,8$ e que a probabilidade de ambos os sensores falharem simultaneamente é o quádruplo da probabilidade de ambos acertarem, monte um sistema de equações e calcule os valores de $x$ e $y$ (supondo $x < y$).

Considere dois eventos $A$ e $B$ de um experimento aleatório. Sabe-se que $P(A) = 0,6$ e $P(B) = 0,7$.

Com base nos axiomas de Kolmogorov, demonstre que:

1. O valor mínimo possível para $P(A \cap B)$ é $0,3$.

2. O valor máximo possível para $P(A \cap B)$ é $0,6$.

3. Se for adicionado um terceiro evento $C$ tal que $P(C) = 0,8$, qual é o valor mínimo da probabilidade de ocorrerem os três eventos ao mesmo tempo, $P(A \cap B \cap C)$? Justifique sua resposta utilizando a desigualdade de Bonferroni: $P(A \cap B) \geq P(A) + P(B) - 1$.

Em um laboratório de biotecnologia, estuda-se a reação de uma proteína diante de dois reagentes, $\alpha$ e $\beta$. A probabilidade de reação diante de $\alpha$ é $P(\alpha) = 0,4$. A probabilidade de não reagir diante de nenhum é $P(\alpha^c \cap \beta^c) = 0,3$.

Se denotarmos por $R$ o evento "a proteína reage diante de exatamente um dos dois reagentes", e sabemos que $P(R) = 0,5$, determine:

1. a) A probabilidade de reação diante do reagente $\beta$.
2. b) Os eventos de reagir diante de $\alpha$ e diante de $\beta$ são independentes? Justifique sua resposta com cálculos.
3. c) Eles são mutuamente exclusivos?

Seja um espaço amostral $E$ e dois eventos $A, B \subset E$ com probabilidades não nulas. Define-se a "diferença simétrica" entre os eventos como $A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$.

Se sabemos que $P(A \Delta B) = 0,6$ e que $P(A \cup B) = 0,8$:

1. Calcule $P(A \cap B)$.

2. Se além disso se cumpre que $P(A | B) = 0,4$, encontre os valores individuais de $P(A)$ e $P(B)$.

3. Usando os valores obtidos, verifique se a identidade $P(A^c \cup B^c) = 1 - P(A \cap B)$ é satisfeita.

Demonstre, utilizando exclusivamente os axiomas de Kolmogorov e as propriedades das operações com eventos (como $A \cup B = A \cup (B \cap \overline{A})$ sendo estes últimos incompatíveis), a fórmula geral para a probabilidade da união de três eventos quaisquer $A$, $B$ e $C$:

$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$

Sejam $A$ e $B$ dois eventos de um experimento aleatório cujas probabilidades dependem de um parâmetro $x$: $P(A) = \frac{x}{2}$, $P(B) = \frac{x}{3}$ e $P(A \cap B) = \frac{x}{6}$.

Sabendo que os eventos $A$ e $B$ não são exaustivos (ou seja, $P(A \cup B) < 1$), determine o intervalo de valores possíveis para o parâmetro $x$. Para $x = 1,2$, calcule $P(\overline{A} \cup \overline{B})$.

Em um satélite espacial existem três sensores $S_1$, $S_2$ e $S_3$. A partir de testes de estresse, conhecem-se as seguintes probabilidades de falha:

• A probabilidade de falhar exclusivamente $S_1$ é $0,10$.

• A probabilidade de falhar exclusivamente $S_2$ é $0,08$.

• A probabilidade de falharem $S_1$ e $S_2$ simultaneamente, mas não $S_3$, é $0,05$.

• A probabilidade de falhar $S_3$ é $0,30$.

• A probabilidade de falharem os três ao mesmo tempo é $0,02$.

Sabendo que os eventos "falha de $S_1$" e "falha de $S_3$" são incompatíveis se $S_2$ não falhar, calcule a probabilidade de falhar pelo menos um dos três sensores.

Dois jogadores, Ana e Bruno, lançam alternadamente uma moeda honesta. Ganha o primeiro que obtiver "Cara". Ana lança primeiro. Defina o espaço amostral infinito deste experimento e, utilizando a soma de uma progressão geométrica, calcule a probabilidade de Bruno ganhar o jogo (ou seja, que a primeira "Cara" saia em um lançamento par).

No controle de qualidade de componentes aeronáuticos, analisam-se três defeitos potenciais: térmico ($T$), estrutural ($E$) e de montagem ($M$). Conhecem-se os seguintes registros de probabilidade:\n$P(T) = 0,12$, $P(E) = 0,08$, $P(M) = 0,06$;\n$P(T \cap E) = 0,03$, $P(T \cap M) = 0,02$, $P(E \cap M) = 0,01$;\ne a probabilidade de ocorrerem os três defeitos simultaneamente é $P(T \cap E \cap M) = 0,004$.\nDeseja-se calcular a probabilidade de uma peça selecionada ao acaso estar completamente isenta de falhas, ou seja, $P(\overline{T} \cap \overline{E} \cap \overline{M})$.\na) Compare duas estratégias para resolver o problema:\n- Método 1: Calcular primeiro $P(T \cup E \cup M)$ por meio do princípio da inclusão-exclusão para três eventos e aplicar em seguida a propriedade do evento complementar combinada com as leis de De Morgan.\n- Método 2: Particionar o espaço amostral nas oito regiões disjuntas de um diagrama de Venn, calculando uma a uma as probabilidades das sete regiões com defeito para depois subtraí-las de $1$.\nJustifique qual dos dois métodos é mais eficiente e menos vulnerável a erros algébricos em uma prova.\nb) Aplique a estratégia escolhida, justificando cada igualdade com a sua correspondente propriedade axiomática, para encontrar o valor exato de $P(\overline{T} \cap \overline{E} \cap \overline{M})$.\nc) Fundamente como mudaria a probabilidade de obter uma peça isenta de falhas se os três defeitos fossem incompatíveis dois a dois e explique por que, nesse caso, não seria necessário conhecer nenhuma interseção.

O Instituto Nacional de Meteorologia (INMET) monitora três fenômenos adversos numa região de serra durante o inverno: aviso de queda de neve ($N$), aviso de rajadas de vento com intensidade de furacão ($V$) e aviso de geada severa ($H$). Os registros meteorológicos estabelecem que:\n- $P(N) = 0,40$, $P(V) = 0,35$ e $P(H) = 0,50$.\n- A densa cobertura de nuvens que acompanha a queda de neve impede por razões físicas que ocorra geada por radiação noturna, de modo que os eventos $N$ e $H$ são mutuamente exclusivos ($N \cap H = \emptyset$).\n- A probabilidade de aviso conjunto por neve e vento é $P(N \cap V) = 0,15$.\na) Formule a probabilidade de ser ativado pelo menos um aviso, $P(N \cup V \cup H)$, por meio da regra geral de inclusão-exclusão para três eventos, e simplifique-a deduzindo de forma fundamentada o valor de $P(N \cap V \cap H)$.\nb) Se for constatado que $P(V \cap H) = 0,10$, calcule de forma justificada a probabilidade de a região passar um dia de inverno completamente livre de avisos meteorológicos e interprete o significado do resultado obtido.\nc) Suponha agora que se desconhece o valor concreto de $P(V \cap H)$. Demonstre, aplicando com rigor os axiomas de Kolmogorov ($P(E) = 1$ e aditividade para eventos disjuntos em subconjuntos de $V$), que o valor de $P(V \cap H)$ só pode variar no intervalo $[0,10;\ 0,20]$ para que o modelo seja matematicamente coerente.