Exercícios: Experimentos aleatórios

Classifique os seguintes experimentos como determinísticos ou aleatórios, justificando brevemente a sua resposta em cada caso:

1. a) Soltar um smartphone de uma altura de um metro e observar se cai no chão.
2. b) Abrir uma lista de reprodução no modo aleatório e anotar qual é a primeira música que toca.
3. c) Calcular o tempo que um carro demora para percorrer $200$ km se andar a uma velocidade constante de $100$ km/h.
4. d) Perguntar à primeira pessoa que encontrar na rua em que mês nasceu.
5. e) Retirar uma carta de um baralho de $40$ cartas e observar o seu naipe.

Um estudante tem em seu estojo três canetas de cores diferentes: Azul (A), Preto (N) e Vermelho (R). Ele decide retirar duas canetas de forma consecutiva e sem repor a primeira no estojo.

1. a) Escreva o espaço amostral $E$ deste experimento.
2. b) Indique quantos eventos elementares formam esse espaço amostral.
3. c) Defina o evento composto $S = \text{"retirar a caneta azul em qualquer posição"}$.

Consideramos o experimento aleatório que consiste em lançar um dado tetraédrico (4 faces) com as faces numeradas de $1$ a $4$, e uma moeda de $1$ real. Anotamos o número da face inferior do dado e se a moeda mostra cara $(C)$ ou coroa $(X)$.

1. a) Utilize um diagrama em árvore para representar todos os resultados possíveis.
2. b) Escreva o espaço amostral $E$.
3. c) Determine os elementos do evento $A = \text{"obter um número par no dado e cara na moeda"}$.

Em uma turma do 12º ano, analisam-se as assinaturas de plataformas de streaming. Chamamos $A$ ao evento "ser assinante da Netflix" e $B$ ao evento "ser assinante do Spotify". Expresse em palavras o significado dos seguintes eventos relacionados com as operações de conjuntos:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $\bar{A}$ (ou evento complementar de $A$)
4. d) $A - B$
5. e) $\bar{A} \cap \bar{B}$

Um jogo eletrônico de RPG permite criar um personagem escolhendo entre duas facções: Guerreiro (G) ou Mago (M). Além disso, o personagem pode ser de três raças: Humano (H), Elfo (E) ou Anão (D).

Escolhe-se um personagem ao acaso do servidor de jogo.

1. a) Escreva o espaço amostral $E$ utilizando a nomenclatura das iniciais (por exemplo, $GH$ para Guerreiro Humano).
2. b) Descreva o evento $S = \text{"o personagem não é um Mago"}$.
3. c) Se chamarmos de $A$ o evento $\text{"o personagem é um Elfo"}$, indique quais elementos compõem o evento complementar $\bar{A}$.

Seja $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ o espaço amostral de um experimento aleatório. Dados os eventos $A = \{1, 3, 5, 7\}$ e $B = \{2, 3, 5, 8\}$, obtenha os seguintes conjuntos:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $A \cap \bar{B}$
4. d) Verifique se vale a Primeira Lei de De Morgan: $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$.

Observe o seguinte diagrama de Venn que representa a distribuição de alunos que praticam Basquetebol ($B$) e Futebol ($F$) em um centro esportivo municipal.

A partir do gráfico, defina mediante operações de eventos as seguintes regiões:

1. a) Alunos que praticam ambos os esportes.
2. b) Alunos que praticam basquetebol, mas não futebol.
3. c) Alunos que praticam pelo menos um dos dois esportes.
4. d) Alunos que não praticam nenhum dos dois esportes mencionados.

Retiramos uma bola de uma urna que contém $5$ bolas numeradas de $1$ a $5$. Indique se os seguintes eventos são possíveis, certos ou impossíveis:

1. a) $A = \text{"obter um número maior que 0"}$.
2. b) $B = \text{"obter o número 7"}$.
3. c) $C = \text{"obter um número par"}$.
4. d) $D = \text{"obter um número menor ou igual que 5"}$.
5. e) $F = \text{"obter um número negativo"}$.

Hugo, estudante da 2ª série do Ensino Médio, analisa o controle de qualidade de componentes eletrônicos em uma fábrica do setor automotivo em Minas Gerais. Para cada componente selecionado ao acaso, define os eventos $A$: «o componente apresenta defeito elétrico» e $B$: «o componente apresenta defeito mecânico». Ao redigir o relatório técnico, Hugo afirma: «O evento que consiste em um componente não apresentar nenhum dos dois defeitos exprime-se formalmente como $\overline{A} \cup \overline{B}$».\na) Encontre o erro conceitual cometido por Hugo e explique com precisão que tipo de componentes estão realmente representados pela união $\overline{A} \cup \overline{B}$.\nb) Corrija a proposta dele escrevendo de forma matematicamente rigorosa o evento «o componente não apresenta nenhum dos dois defeitos» de duas formas equivalentes: primeiro como uma interseção de eventos e depois aplicando as Leis de De Morgan a partir de uma união.

Num estudo sobre a pontualidade do transporte público da Comunidade de Madrid, analisa-se a linha C-4 de Cercanías entre as estações de Cantoblanco Universidad e Nuevos Ministerios. Considera as seguintes três situações associadas a um trajeto:\n1. Medir a distância exata em quilómetros do traçado ferroviário entre ambas as estações.\n2. Registar se um comboio programado para as $14{,}15\text{ h}$ chega ao seu destino com um atraso superior a $3$ minutos relativamente ao horário oficial.\n3. Calcular o tempo exato que demorará um comboio sabendo de antemão que circulará a uma velocidade constante fixada de forma automática por computador de $60\text{ km/h}$ sobre um troço retilíneo de $15\text{ km}$.\na) Classifica fundamentadamente cada uma das três situações como experiência determinista ou aleatória.\nb) Para a situação 2, descreve formalmente o seu espaço amostral $E_1$. Se se observar o comboio durante dois dias úteis consecutivos anotando se sofre atraso superior a $3$ minutos ($R$) ou se chega a horas ($P$), escreve o espaço amostral composto $E_2$ e enumera os acontecimentos elementares que formam o acontecimento $S$: «o comboio sofre atraso no máximo num dos dois dias».

Em um experimento aleatório, o espaço amostral é formado por um conjunto de números inteiros positivos $E = \{1, 2, 3, \dots, n\}$. Definem-se três eventos $A$, $B$ e $C$ sobre os quais se conhece a seguinte informação:\n1. $A \cap B = \{4, 6\}$\n2. $A - B = \{2, 8\}$\n3. $B - A = \{1, 3, 5\}$\n4. $C$ é um evento incompatível com $A$ ($A \cap C = \emptyset$), mas compatível com $B$, verificando-se que $B \cap C = \{3\}$.\n5. $\overline{A \cup B \cup C} = \{7, 9, 10\}$\n6. O número de eventos elementares que formam $C$ é igual a $3$.\na) Reconstrua de forma fundamentada os conjuntos que definem os eventos $A$, $B$, $C$ e o espaço amostral completo $E$, determinando o valor da cardinalidade $n$.\nb) Expresse por meio de operações formais entre conjuntos (uniões, interseções ou complementares) e escreva explicitamente os elementos do evento: «ocorre exatamente um dos três eventos ($A$, $B$ ou $C$)».

Uma equipe de analistas de dados de uma plataforma de comércio eletrônico com sede na Espanha classifica cada reclamação segundo dois fatores: o canal de entrada (Telefone, Web, App móvel) e o departamento de resolução atribuído (Logística, Faturamento, Garantias, Atendimento ao cliente). O experimento aleatório consiste em registrar ambos os fatores para a próxima reclamação recebida.\na) Sem escrever a lista detalhada de casos, faça uma estimativa intuitiva de quantos resultados elementares compõem o espaço amostral $E$ e quantos eventos distintos no total (subconjuntos de $E$) podem ser definidos teoricamente neste experimento. Verifique as suas estimativas calculando a cardinalidade de $E$ por meio do princípio multiplicativo e a cardinalidade do conjunto das partes $\mathcal{P}(E)$. Comente se a magnitude do número total de eventos corresponde à sua intuição inicial.\nb) Definem-se os eventos $A$: «a reclamação não entra pelo App móvel» e $B$: «a reclamação é atribuída a Logística ou Faturamento». Descreva com precisão o significado verbal do evento $\overline{A \cup B}$, transforme-o aplicando as Leis de De Morgan e determine quantos eventos elementares o compõem.\nc) Justifique analiticamente se os eventos $A$ e $\overline{B}$ são compatíveis ou incompatíveis.

Num ambiente de desenvolvimento de aplicativos móveis, um programador está testando a segurança de um sistema de acesso. Define-se um experimento aleatório que consiste em gerar uma senha aleatória de 4 dígitos usando unicamente os números $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Consideram-se os seguintes eventos:

• $A$: "A senha contém pelo menos dois dígitos iguais consecutivos".

• $B$: "A soma dos dígitos da senha é um número primo maior que 15".

• $C$: "A senha é um palíndromo (lê-se igual da esquerda para a direita e da direita para a esquerda)".

Descreva detalhadamente o espaço amostral $E$ indicando a sua cardinalidade e utilize a álgebra de eventos para expressar simbolicamente os seguintes eventos:

1. a) A senha não é um palíndromo ou a soma dos seus dígitos não é um número primo maior que 15.

1. b) A senha é um palíndromo e tem pelo menos dois dígitos iguais consecutivos, mas a soma dos seus dígitos não é um número primo maior que 15.

1. c) Demonstre se os eventos $A$ e $C$ são compatíveis ou incompatíveis, justificando a sua resposta com um exemplo de um elemento do espaço amostral.

Um satélite de comunicações envia rajadas de dados compostas por sequências binárias de comprimento $n=3$. Devido ao ruído cósmico, cada bit tem uma probabilidade de ser alterado. Definimos o espaço amostral $E$ como o conjunto de todas as ternas binárias possíveis. Sejam os eventos:

• $A = \{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$

• $B = \{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1)\}$

Utilizando as Leis de De Morgan, simplifique ao máximo a expressão do evento $S = \overline{(\overline{A} \cup B) \cap (A \cup \overline{B})}$. Uma vez simplificado, descreva com palavras qual característica comum têm as sequências que formam esse evento $S$ em relação ao número de "uns" presentes na rajada.

Em um laboratório de genética, estuda-se a mutação de uma cadeia de DNA representada por quatro bases nitrogenadas consecutivas $\{A, C, G, T\}$. O experimento consiste em observar uma cadeia de 3 posições. Consideram-se os eventos:

• $M$: "A cadeia contém pelo menos uma base $G$".

• $N$: "A cadeia começa com $A$ ou termina com $T$".

Determine o número de elementos dos seguintes eventos utilizando técnicas de contagem:

1. $M \cap N$

2. $\overline{M} \cup N$

3. $\overline{M \cup N}$

Explique fundamentadamente se o conjunto de eventos $\{M \cap N, \overline{M} \cap N, M \cap \overline{N}, \overline{M \cup N}\}$ forma uma partição do espaço amostral $E$.

Consideremos um experimento aleatório cujo espaço amostral é o conjunto dos números inteiros positivos, $E = \{1, 2, 3, \dots\}$. Definimos os eventos:

$A_k = \{x \in E \mid x \text{ é múltiplo de } k\}$ para cada $k \in \{2, 3, 5\}$.

Expresse em função de $A_2$, $A_3$ e $A_5$ os seguintes eventos e determine os seus cinco menores elementos:

1. a) "O número é múltiplo de 2 e de 3, mas não de 5".

1. b) "O número é múltiplo de apenas um dos três números $\{2, 3, 5\}$".

1. c) "O número não é múltiplo de nenhum dos três números".

Um sistema robótico de triagem de encomendas comete erros de forma aleatória. Ao analisar o histórico de 1000 encomendas, definem-se os eventos:

• $A$: "A encomenda tem um peso incorreto".

• $B$: "A encomenda tem um código de barras ilegível".

• $C$: "A encomenda foi enviada para uma rota errada".

Sabe-se que nenhuma encomenda apresenta os três erros simultaneamente ($A \cap B \cap C = \emptyset$). Se denotarmos por $n(X)$ o número de encomendas no evento $X$, vale:

$n(A) = 45$, $n(B) = 38$, $n(C) = 22$, $n(A \cap B) = 12$, $n(A \cap C) = 8$ e $n(B \cap C) = 5$.

Calcule o número de elementos dos seguintes eventos e expresse-os por meio de operações de conjuntos:

1. $(\overline{A \cup B}) \cap C$

2. $(A \cap \overline{B}) \cup (B \cap \overline{A})$

3. $\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$

Realiza-se um experimento aleatório que consiste em lançar um dardo em um alvo circular de raio $R$. O resultado do experimento é a distância $d$ do centro do alvo até o ponto de impacto. Definimos os eventos:

• $S_1$: "O dardo atinge o alvo a uma distância $d < \frac{R}{3}$".

• $S_2$: "O dardo atinge o alvo a uma distância $\frac{R}{4} < d < \frac{2R}{3}$".

Utilizando a notação de intervalos para o valor de $d$:

1. Defina o espaço amostral $E$.

2. Determine os intervalos correspondentes aos eventos $S_1 \cup S_2$, $S_1 \cap S_2$ e $S_1 - S_2$.

3. Encontre o evento complementar de $S_1 \cup S_2$ e explique seu significado físico no contexto do jogo.

Sejam $A, B$ e $C$ três eventos quaisquer de um experimento aleatório. Demonstre formalmente, utilizando as propriedades da álgebra de eventos (distributiva, complementaridade, etc.), a seguinte identidade:

Explique qual nome essa operação recebe na teoria dos conjuntos e represente o evento resultante mediante um diagrama de Venn sombreado.

Em um torneio de e-sports, três jogadores ($P_1, P_2, P_3$) se enfrentam em partidas eliminatórias "1 vs 1". O experimento consiste em registrar o vencedor de cada partida até que um jogador vença duas partidas consecutivas ou tenham sido jogadas no máximo 4 partidas.

1. Desenhe o diagrama de árvore que representa este experimento aleatório sabendo que na primeira partida jogam $P_1$ contra $P_2$, e o perdedor é substituído pelo jogador que esperava ($P_3$).

2. Escreva explicitamente todos os elementos do espaço amostral $E$.

3. Defina o evento $X$: "O jogador $P_3$ joga pelo menos duas partidas" e o evento $Y$: "O torneio termina na terceira partida". $X$ e $Y$ são eventos incompatíveis? Justifique analisando a sua interseção.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em um novo jogo de tabuleiro estratégico, um jogador deve lançar um dado tetraédrico (faces numeradas de $1$ a $4$) e, simultaneamente, retirar uma carta de um baralho reduzido que contém apenas os quatro ases e os quatro reis do baralho espanhol.

Considerando o experimento aleatório de anotar o número do dado e o valor da carta (Ás ou Rei):

1. a) Descreva o espaço amostral $E$ do experimento.
2. b) Sejam os eventos:

$A$ = "Obter um número par no dado".

$B$ = "Obter um Ás de qualquer naipe".

$C$ = "Obter um número menor que $3$ no dado e que a carta seja um Rei".

Determine os elementos que compõem os eventos $A \cup B$, $A \cap B$ e $B \cap C$.

Uma empresa de cibersegurança analisa as tentativas de acesso a um servidor. Considere o espaço amostral $\Omega$ formado por todos os acessos possíveis, que, segundo o seu estado, se classificam em: $L$ (Legítimo), $S$ (Suspeito) e $M$ (Malicioso). Sabe-se que um sistema de filtragem automática classifica os acessos em duas categorias: $F$ (Filtrado) e $P$ (Permitido).

Utilizando diagramas de Venn, represente a situação e defina simbolicamente os seguintes eventos:

1. a) O acesso é malicioso ou suspeito, mas foi permitido.
2. b) O acesso não é malicioso e foi filtrado.
3. c) Verifique a segunda lei de De Morgan para os eventos "Acesso Malicioso" ($M$) e "Acesso Filtrado" ($F$).

Em um laboratório de robótica, estão sendo testados dois sensores independentes, $S_1$ e $S_2$. O experimento consiste em verificar se cada sensor se ativa ($1$) ou não ($0$) diante de um estímulo.

1. a) Escreva o espaço amostral $E$.
2. b) Descreva o evento complementar de $A$, sendo $A$ = "Pelo menos um dos sensores se ativa".
3. c) Se definirmos o evento $B$ = "Os dois sensores atuam de forma idêntica", determine $A \cap B$ e o evento diferença $B - A$.

Um adolescente decide organizar a sua playlist para estudar. Tem $3$ músicas de gênero Lo-fi, $2$ de Jazz e $2$ de Indie. O experimento consiste em escolher duas músicas ao acaso, uma após a outra, sem repetição (sem reposição).

1. a) Represente o experimento por meio de um diagrama de árvore, indicando em cada ramo os possíveis gêneros resultantes.

1. b) Calcule o número total de resultados possíveis do espaço amostral (considerando as músicas como elementos distinguíveis).

1. c) Descreva o evento composto "As duas músicas escolhidas são de gênero diferente".

Consideramos o experimento aleatório que consiste em lançar um dado octaédrico (faces de $1$ a $8$) e um dado cúbico convencional (faces de $1$ a $6$). Definimos os seguintes eventos:

$A$ = "A soma dos pontos é um número primo".

$B$ = "O produto dos pontos é múltiplo de $10$".

1. a) $A$ e $B$ são eventos compatíveis ou incompatíveis? Justifique a resposta indicando pelo menos um elemento da interseção, se existir.
2. b) Calcule o número de elementos do evento complementar de $B$.

Realiza-se um estudo sobre o uso de redes sociais em uma escola do Ensino Médio. Escolhem-se dois alunos ao acaso e pergunta-se se usam habitualmente a rede $X$ e a rede $Y$. Seja $x_i$ o evento "o aluno $i$ usa a rede $X$" e $y_i$ o evento "o aluno $i$ usa a rede $Y$".

Expresse simbolicamente, utilizando as operações de união, interseção e complementação, os seguintes eventos:

1. a) Apenas o primeiro aluno usa ambas as redes sociais.
2. b) Pelo menos um dos dois alunos usa a rede $X$, mas nenhum usa a rede $Y$.
3. c) Os dois alunos têm exatamente os mesmos hábitos de uso em relação a estas duas redes sociais.

Um globo de loteria contém $10$ bolas numeradas de $0$ a $9$. Extraem-se três bolas sucessivamente e sem reposição para formar um número de três algarismos (a primeira bola corresponde às centenas, a segunda às dezenas e a terceira às unidades; admitem-se resultados que começam por $0$, como $047$).

1. a) Quantos elementos tem o espaço amostral $E$?
2. b) Descreva o evento $S$ = "O número formado é palíndromo".
3. c) Descreva o evento $M$ = "O número formado é múltiplo de $5$ e maior que $700$".

Seja $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ o espaço amostral de um experimento aleatório. Consideremos os eventos $A = \{2, 4, 6, 8\}$, $B = \{3, 6\}$ e $C = \{1, 2, 3\}$.

Determine os conjuntos resultantes das seguintes operações e verifique se existe alguma relação de inclusão entre eles:

1. a) $(A \cup B) \cap C^c$
2. b) $(A \cap C) \cup (B \cap C)$
3. c) $A - (B \cup C)$

Nota: $C^c$ representa o evento complementar de $C$.

O Instituto Nacional de Estadística (INE) concebe um estudo sobre hábitos de mobilidade sustentável no qual classifica os cidadãos segundo três eventos compatíveis: $A$ («usa habitualmente a bicicleta»), $B$ («usa habitualmente o transporte público») e $C$ («se desloca habitualmente a pé»). Para um relatório técnico, um analista formula a seguinte condição de inclusão de usuários:\n$$S = (A \cap \overline{B}) \cup (A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \overline{C})$$\nPara simplificar $S$ e deduzir a que acontecimento equivale de forma irredutível, propõem-se dois caminhos:\n- Método 1 (Álgebra direta de acontecimentos): Aplicar propriedades distributivas, associativas e de complementaridade ($X \cup \overline{X} = E$).\n- Método 2 (Complementação e De Morgan): Negar duas vezes a expressão total ($\overline{\overline{S}}$) e transformar as reuniões em interseções de complementares.\na) Desenvolve completamente o Método 1, indicando de forma explícita que propriedade algébrica justifica cada passo até obteres a expressão mínima de $S$.\nb) Apresenta o início do Método 2, analisa fundamentadamente as dificuldades algébricas que surgem face ao Método 1 e justifica qual dos dois procedimentos é mais eficiente e menos suscetível a erros para simplificar este tipo de expressões.\nc) Utilizando a expressão reduzida obtida em (a), simplifica o acontecimento $\overline{S \cup B}$ aplicando rigorosamente as Leis de De Morgan e interpreta o seu significado sociológico no contexto da mobilidade urbana.

A Red Eléctrica de España modela a segurança do abastecimento elétrico entre uma central de produção renovável $G$ e um parque industrial $P$. A rede dispõe de três disjuntores automáticos: $I_1$, $I_2$ e $I_3$. A corrente flui de $G$ para $P$ se pelo menos uma via se mantiver fechada: uma via direta que depende exclusivamente do disjuntor $I_1$, e uma via alternativa formada pelos disjuntores $I_2$ e $I_3$ ligados em série (ambos devem funcionar simultaneamente para que a via alternativa conduza energia).\nConsideram-se os eventos de falha em cada disjuntor diante de uma sobrecarga: $F_1$ («falha o disjuntor $I_1$»), $F_2$ («falha o disjuntor $I_2$») e $F_3$ («falha o disjuntor $I_3$»).\na) Modele em termos de $F_1$, $F_2$ e $F_3$, por meio de operações de eventos ($\cup, \cap, \overline{\phantom{A}}$):\n- O evento $C$: «interrompe-se totalmente o abastecimento elétrico entre $G$ e $P$».\n- O evento $O$: «o abastecimento elétrico entre $G$ e $P$ permanece operacional».\nb) Demonstre formalmente, por meio das Leis de De Morgan e das propriedades distributivas da álgebra de eventos, que a sua expressão de $O$ é rigorosamente igual ao complementar de $C$ (isto é, $O = \overline{C}$).\nc) Suponha que os disjuntores $I_1$ e $I_2$ dispõem de um sistema físico diferencial compartilhado que impede que ambos falhem simultaneamente, de modo que $F_1$ e $F_2$ são eventos incompatíveis ($F_1 \cap F_2 = \emptyset$). Justifique se essa restrição técnica permite simplificar a expressão booleana do evento de corte total $C$ e determine se os eventos $F_1$ e $(F_2 \cup F_3)$ são ou não compatíveis sob essa condição.