Exercícios: Combinatória

Um estudante da 2ª série do Ensino Médio quer configurar um código de acesso de $4$ dígitos distintos para o seu armário da academia. Ele decide utilizar apenas os dígitos ímpares $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ e não pode repetir nenhum algarismo.

1. a) Quantos códigos diferentes ele pode criar?

1. b) Se o estudante esquece o código, mas lembra que o primeiro dígito era um $7$, quantos códigos distintos ele teria de experimentar no máximo?

Em um campeonato de robótica, uma equipe deve selecionar $3$ representantes de um grupo de $8$ estudantes para explicar o projeto diante do júri.

1. a) De quantas formas distintas se pode escolher o grupo de representantes se a ordem de seleção não importa?

1. b) Se entre os $8$ estudantes houver $2$ que sejam especialistas em programação e for decidido que pelo menos um deles deve estar no grupo, quantas seleções diferentes são possíveis?

Sejam $A$ e $B$ dois eventos associados a um experimento aleatório tais que $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,4$ e $P(A \cap B) = 0,2$. Calcule as seguintes probabilidades:

1. a) $P(A \cup B)$

1. b) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ (probabilidade de que não ocorra nem $A$ nem $B$).

1. c) $P(A - B)$ (probabilidade de que ocorra $A$ mas não ocorra $B$).

O diagrama de Venn mostra os eventos $A$ e $B$ dentro do espaço amostral $E$, com a probabilidade da interseção.

Em um estudo sobre o uso de dispositivos móveis em uma turma de $30$ alunos, obteve-se a seguinte tabela de contingência que classifica os estudantes por seu sistema operacional preferido e se fazem compras online habitualmente:

Se um aluno for escolhido ao acaso, calcule:

1. a) A probabilidade de que use iOS.

1. b) A probabilidade de que faça compras online, sabendo que usa Android.

1. c) Os eventos "Usar Android" e "Realizar compras online" são independentes? Justifique sua resposta.

Um servidor de videogames tem dois nós de conexão: o Nó 1, que atende $70\%$ dos usuários, e o Nó 2, que atende os restantes. Sabe-se que $5\%$ das conexões no Nó 1 sofrem lag, enquanto no Nó 2 esse problema ocorre em $10\%$ das conexões.

1. a) Represente a situação por meio de um diagrama de árvore de probabilidades.

1. b) Se um jogador entra aleatoriamente no servidor, qual é a probabilidade de a conexão dele sofrer lag?

Em uma fábrica de componentes eletrônicos, a probabilidade de um microchip ser defeituoso é de $0,02$. Se os microchips forem embalados em caixas de $10$ unidades e a presença de defeitos em um for independente dos demais:

1. a) Qual é a probabilidade de que em uma caixa não haja nenhum microchip defeituoso?

1. b) Qual é a probabilidade de haver exatamente um microchip defeituoso na caixa? (Expresse o resultado usando números combinatórios).

Três operadoras de telefonia, $M_1$, $M_2$ e $M_3$, gerenciam $40\%$, $35\%$ e $25\%$ das chamadas de uma central de atendimento ao cliente, respectivamente. A porcentagem de chamadas que caem de forma inesperada em cada operadora é de $2\%$, $3\%$ e $4\%$, respectivamente.

Escolhe-se uma chamada ao acaso e verifica-se que ela caiu. Calcule a probabilidade de que tenha sido gerenciada pela operadora $M_1$.

Utilize as propriedades dos números binomiais e o Binômio de Newton para resolver:

1. a) Desenvolva completamente a expressão $(x + 2)^4$.

1. b) Sem desenvolver todo o binômio, calcule o valor do coeficiente do termo que contém $x^3$ no desenvolvimento de $(x + 3)^5$.

A figura mostra as linhas do triângulo de Pascal até $n = 5$. Os números dele são os números binomiais $\binom{n}{k}$: lembre-se de que o coeficiente de um termo do binômio, além desse número, inclui as potências do segundo termo.

Para escolher a delegação de estudantes que representará uma escola no Conselho Escolar municipal, devem-se selecionar $3$ alunos de um grupo de $24$ voluntários da 2ª série do Ensino Médio. O Marcos raciocina da seguinte forma na prova: «Para o primeiro lugar tenho 24 opções, para o segundo 23 e para o terceiro 22, então o número total de delegações possíveis é $V_{24,3} = 24 \cdot 23 \cdot 22 = 12\,144$».\n\na) Identifique o erro conceitual cometido pelo Marcos a partir das duas perguntas-chave da combinatória: a ordem importa neste caso? Podem-se repetir elementos?\nb) Corrija o cálculo e encontre o número real de delegações possíveis, justificando por qual operação deve ser substituída a fórmula do Marcos.\nc) Se os três lugares tivessem cargos diferenciados (um porta-voz, um secretário e um vogal), o cálculo original do Marcos seria correto? Justifique a sua resposta.

Um serviço municipal de aluguel de bicicletas elétricas numa cidade brasileira renova seus cadeados inteligentes. Cada usuário deve configurar um código PIN de $4$ dígitos com duas condições: o primeiro dígito não pode ser $0$ e não podem aparecer dois dígitos consecutivos iguais (por exemplo, o código $4727$ é válido, mas o $4772$ não é).\n\na) Antes de realizar qualquer cálculo matemático, estime de forma intuitiva se o número de códigos válidos estará mais próximo de $5\,000$, de $6\,500$ ou de $9\,000$. Justifique brevemente em que você baseia a sua estimativa.\nb) Aplique o princípio fundamental da contagem para calcular com exatidão quantos códigos diferentes satisfazem ambas as condições.\nc) Verifique se o resultado exato obtido apoia a sua estimativa inicial e calcule que porcentagem ele representa em relação ao total de combinações de quatro dígitos que não começam por zero (de $1\,000$ a $9\,999$).

Uma plataforma de streaming está projetando uma nova interface personalizada. Para o perfil de usuário, é possível escolher um avatar combinando os seguintes elementos: 4 formatos de rosto distintos, 5 tipos de penteado e 3 estilos de óculos. Além disso, o nome de usuário deve ser uma sequência de 5 caracteres formada por 3 letras minúsculas (de um alfabeto de 26) seguidas de 2 dígitos.

1. a) Quantos avatares diferentes podem ser criados?
2. b) Quantos nomes de usuário distintos podem ser gerados se não for permitido repetir letras nem dígitos?
3. c) Se um usuário decidir escolher seu avatar e seu nome ao acaso (com as condições do item b), qual é a probabilidade de que seu nome comece com a letra "z" e termine com o dígito "9"?

Em uma competição de robótica, as equipes devem superar duas provas independentes. Sabe-se que a probabilidade de um robô superar a prova de velocidade é $P(V) = 0,75$ e a probabilidade de superar a prova de precisão é $P(P) = 0,60$. Calcule a probabilidade de uma equipe escolhida ao acaso:

1. a) Superar pelo menos uma das duas provas.
2. b) Superar a prova de velocidade, mas não a de precisão.
3. c) Sabendo que superou pelo menos uma prova, qual é a probabilidade de ter superado ambas?

Um sistema de segurança cibernética utiliza dois filtros para detectar e-mails do tipo phishing. O Filtro A detecta $92\%$ desses e-mails, enquanto o Filtro B detecta $88\%$. Pela estrutura do sistema, um e-mail é analisado pelo Filtro B apenas se não tiver sido detectado pelo Filtro A. Se um e-mail não for detectado por nenhum dos dois, chega à caixa de entrada do usuário. Estima-se que $3\%$ dos e-mails recebidos na empresa sejam tentativas de phishing.

1. a) Qual é a probabilidade de um e-mail de phishing chegar à caixa de entrada?
2. b) Se um e-mail chegou à caixa de entrada, qual é a probabilidade de ser realmente um e-mail de phishing?

Uma empresa de fabricação de componentes eletrônicos por impressão 3D observou que a probabilidade de uma peça apresentar algum defeito de acabamento é de $5\%$. Se for impresso um lote de 12 peças:

1. a) Qual é a probabilidade de que exatamente 2 peças sejam defeituosas?
2. b) Qual é a probabilidade de haver mais de uma peça defeituosa?
3. c) Calcule a média e o desvio padrão do número de peças defeituosas no lote.

A autonomia de uma nova frota de patinetes elétricos para uso urbano segue uma distribuição normal de média $35$ km e desvio padrão $4$ km.

1. a) Calcule a probabilidade de um patinete escolhido ao acaso ter uma autonomia superior a $40$ km.
2. b) Qual porcentagem de patinetes terá uma autonomia compreendida entre $30$ e $38$ km?
3. c) Se a empresa quiser garantir que $90\%$ dos seus patinetes superem uma determinada autonomia mínima $d$, qual deve ser o valor de $d$?

Foi realizada uma pesquisa com 250 estudantes de uma escola técnica sobre o uso de sistemas operacionais. Os resultados são mostrados na seguinte tabela de contingência:

Se um estudante for escolhido ao acaso, calcule:

1. a) A probabilidade de ser um aluno do Ensino Superior e usar principalmente Linux.
2. b) Se sabemos que o aluno usa principalmente Windows, qual é a probabilidade de ser do Ensino Médio?
3. c) Os eventos "ser aluno do Ensino Superior" e "usar principalmente Linux" são independentes? Justifique a resposta.

Sabe-se que $15\%$ dos usuários que visitam uma página da web de venda de componentes de informática acabam realizando uma compra. Se em um determinado dia o site receber 400 visitas independentes:

1. a) Indique qual distribuição de probabilidade a variável "número de compras realizadas" segue e justifique se ela pode ser aproximada por uma distribuição normal.
2. b) Utilizando a aproximação adequada, calcule a probabilidade de que sejam realizadas entre 50 e 70 compras (ambas inclusive).

Um laboratório dispõe de 8 sensores de temperatura de precisão e 6 sensores de umidade. Para um experimento de controle ambiental, devem ser selecionados ao acaso 4 sensores.

1. a) De quantas formas distintas se pode realizar a seleção dos 4 sensores se a ordem não importa?
2. b) Qual é a probabilidade de que sejam selecionados exatamente 2 sensores de temperatura e 2 de umidade?
3. c) Qual é a probabilidade de que todos os sensores selecionados sejam do mesmo tipo?

A federação de xadrez de um estado organiza uma fase prévia eliminatória na qual todos os participantes inscritos devem jogar exatamente uma partida contra cada um dos demais adversários («todos contra todos»). A sala contratada e o calendário disponível permitem disputar apenas um máximo de $100$ partidas no total.\n\na) Formule uma inequação em função do número de jogadores, $n$, que modele o total de partidas do torneio. Justifique que estrutura combinatória representa esse número de partidas.\nb) Resolva a inequação para determinar o número máximo de participantes que podem se inscrever sem ultrapassar o limite de partidas e calcule quantas partidas seriam jogadas exatamente com esse número máximo.\nc) Se, por fim, se inscreverem $8$ participantes e a organização decidir entregar um troféu de ouro, um de prata e um de bronze aos três primeiros colocados (sem empates), quantas atribuições possíveis de pódio existem?

Para corrigir as provas do vestibular de Matemática num polo universitário, deve-se formar uma banca avaliadora de $6$ corretores. O corpo docente disponível é composto por $10$ professores: $6$ vêm de escolas públicas e $4$ de escolas particulares conveniadas. O regulamento da comissão organizadora exige que a banca conte com pelo menos $2$ professores de escolas públicas e pelo menos $2$ de escolas particulares conveniadas.\n\na) Modele a situação identificando todos os casos válidos de composição da banca de acordo com o número de professores de cada procedência.\nb) Calcule quantas bancas distintas podem ser constituídas cumprindo o regulamento estabelecido.\nc) Se a banca de $6$ pessoas fosse escolhida completamente ao acaso entre os $10$ professores (sem exigir nenhuma cota de representatividade), qual seria a probabilidade de a banca cumprir o regulamento legal? Interprete se a restrição exclui muitas ou poucas das possíveis combinações.

Uma equipe de cibersegurança está analisando a vulnerabilidade de um sistema de acesso que utiliza senhas de $8$ caracteres. Os caracteres permitidos são as $26$ letras do alfabeto (sem diferenciar maiúsculas de minúsculas) e os dígitos de $0$ a $9$. Uma senha é considerada "robusta" se cumprir as seguintes condições:

1. Contém exatamente $2$ números distintos e $6$ letras.

2. As letras não podem se repetir.

3. Os dois números devem estar em posições consecutivas.

Calcule:

1. a) O número total de senhas robustas que podem ser geradas.
2. b) Se um software de força bruta gerar uma senha aleatória seguindo apenas a estrutura de $8$ caracteres (letras ou números), qual é a probabilidade de acertar uma senha robusta específica na primeira tentativa?

No desenvolvimento de um novo binômio, um estudante de engenharia precisa determinar certos coeficientes. Considere o desenvolvimento do binômio $Q(x) = \left( \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{k}{x} \right)^{12}$, em que $k$ é um número real positivo.

1. a) Determine o valor de $k$ sabendo que o termo independente de $x$ no desenvolvimento de $Q(x)$ é igual a $7920$.
2. b) Uma vez encontrado $k$, calcule o coeficiente do termo que contém $x^9$.

Uma plataforma de streaming utiliza um algoritmo de recomendação para prever se um usuário vai gostar de uma nova série. O algoritmo às vezes falha: $10\%$ das séries que um usuário adoraria não são recomendadas ($FN$: falso negativo), e $20\%$ das séries que um usuário detestaria são recomendadas erroneamente ($FP$: falso positivo).

Se $60\%$ de todas as séries do catálogo forem do agrado potencial de um usuário específico, calcule:

1. a) A probabilidade de o algoritmo recomendar uma série escolhida ao acaso.
2. b) Se o algoritmo acabou de recomendar uma série a este usuário, qual é a probabilidade de ser realmente uma série de que ele goste?

Uma empresa de entregas utiliza drones para entregar pacotes em uma cidade. A probabilidade de um drone sofrer uma avaria técnica durante um voo de entrega é de $0,02$. A empresa realiza $250$ entregas diárias de forma independente.

1. a) Justifique se é possível aproximar a variável "número de avarias diárias" por uma distribuição normal. Em caso afirmativo, indique seus parâmetros.
2. b) Utilizando a aproximação adequada, calcule a probabilidade de que em um determinado dia ocorram exatamente $5$ avarias.
3. c) Calcule a probabilidade de que ocorram entre $3$ e $8$ avarias (ambos inclusive).

Em um laboratório de genética, estuda-se a resistência de uma planta a uma praga. Sabe-se que a probabilidade de uma planta ser resistente é $p$. Escolhem-se $8$ plantas ao acaso e observa-se que a probabilidade de que exatamente $2$ sejam resistentes é a mesma que a probabilidade de que exatamente $3$ sejam resistentes.

1. a) Calcule o valor da probabilidade $p$.
2. b) Com o valor de $p$ encontrado, calcule a probabilidade de que pelo menos uma planta seja resistente.
3. c) Determine a esperança matemática e o desvio padrão do número de plantas resistentes em uma amostra de $100$ plantas.

O peso das embalagens de café produzidas por uma fábrica segue uma distribuição normal $N(\mu, \sigma)$. Observou-se que $15,87\%$ das embalagens pesam mais de $510$ gramas e que $2,28\%$ das embalagens pesam menos de $480$ gramas.

1. a) Calcule a média $\mu$ e o desvio padrão $\sigma$ da distribuição. (Lembre-se de que para uma $Z \sim N(0,1)$, $P(Z < 1) \approx 0,8413$ e $P(Z < 2) \approx 0,9772$).
2. b) Se o peso líquido indicado no rótulo for de $500$ gramas, qual porcentagem das embalagens está abaixo do peso legal?

Um concurso público consiste em $80$ tópicos. O candidato estuda $55$ tópicos ao acaso. A banca examinadora sorteia $3$ tópicos e o candidato deve escolher um para desenvolver.

1. a) Qual é a probabilidade de o candidato não saber nenhum dos três tópicos sorteados?
2. b) Qual é a probabilidade de saber exatamente dois dos tópicos?
3. c) Se o candidato foi aprovado no exame (o que implica que sabia pelo menos um dos tópicos), qual é a probabilidade de que soubesse os três tópicos sorteados?

Uma fábrica de componentes eletrônicos tem três linhas de produção: $L_1$, $L_2$ e $L_3$. A linha $L_1$ produz o dobro da $L_2$, e a $L_3$ produz o mesmo que a $L_1$ e a $L_2$ juntas. A porcentagem de componentes defeituosos é de $1\%$ em $L_1$, de $3\%$ em $L_2$ e de $2\%$ em $L_3$.

1. a) Calcule a probabilidade de um componente escolhido ao acaso da produção total ser defeituoso.
2. b) Se selecionarmos um componente e ele for defeituoso, qual é a probabilidade de ser proveniente da linha $L_3$?
3. c) Se forem analisados $10$ componentes da linha $L_1$ de forma independente, qual é a probabilidade de pelo menos um deles ser defeituoso?

Na cerimónia de graduação do 12.º ano (2.º de Bachillerato), são atribuídas $8$ menções de honra. No palco foram colocadas $8$ cadeiras alinhadas e numeradas de $1$ a $8$. Entre os $8$ alunos galardoados encontram-se a Clara e o Sergio, que tiveram um desentendimento recente e a organização pretende sentá-los de modo a que não fiquem em cadeiras contíguas. Dois membros da comissão organizadora discutem como calcular o número de disposições válidas:\n- Método A (método dos intervalos ou direto): Sentam-se primeiro os outros $6$ alunos por ordem e depois escolhem-se dois dos $7$ intervalos possíveis (extremidades ou entre colegas) para posicionar a Clara e o Sergio.\n- Método B (método do complementar): Calcula-se o total de formas de sentar os $8$ alunos sem qualquer restrição e subtraem-se os casos desfavoráveis, nos quais a Clara e o Sergio se sentam juntos formando um único bloco.\n\na) Desenvolve detalhadamente o raciocínio combinatório e o resultado numérico aplicando o Método A.\nb) Desenvolve detalhadamente o raciocínio combinatório e o resultado numérico aplicando o Método B.\nc) Verifica que ambos os caminhos conduzem à mesma solução e justifica de forma fundamentada qual dos dois métodos seria claramente preferível e menos propenso a erros se a restrição exigisse que três alunos determinados (Clara, Sergio e Pablo) não pudessem sentar-se em posições contíguas nenhuns entre si.

O sistema ordinário de emplacamento de veículos na Espanha atribui a cada veículo uma placa formada por um bloco de $4$ dígitos (do $0000$ até o $9999$) seguido de um bloco de $3$ letras consoantes escolhidas entre $20$ letras possíveis (excluem-se as vogais A, E, I, O, U, e as letras Ñ e Q para evitar confusões e combinações de mau gosto).\n\na) Calcule o número total de placas teóricas que este sistema permite emitir e expresse o resultado utilizando potências de base dez.\nb) Um aficionado por combinatória procura «placas simétricas»: aquelas cujo bloco numérico de $4$ dígitos é uma capicua (por exemplo, $4884$ ou $0330$) e cujo bloco de $3$ letras é um palíndromo (a primeira e a terceira letra coincidem, como em $TRT$). Determine quantas placas simétricas existem e calcule a probabilidade de um veículo emplacado ao acaso apresentar esta propriedade.\nc) A Dirección General de Tráfico investiga um algoritmo de leitura de placas e detecta falhas nas placas que designa por «heterogêneas mistas»: aquelas que têm os seus $4$ dígitos estritamente distintos entre si e, simultaneamente, no bloco de letras contêm exatamente duas letras iguais e uma diferente (em qualquer ordem, como em $LBL$ ou $DDH$). Modele e calcule quantas placas «heterogêneas mistas» existem na frota potencial espanhola.

Desafio do tema. Auditoria do mercado de trabalho jovem com dados do IBGE.

A sua missão é assessorar um comitê de emprego analisando a relação entre o nível de escolaridade e o desemprego jovem por meio de dados reais.

1. Coleta de dados: Acesse o portal do IBGE (PNAD Contínua mais recente) e extraia as frequências de jovens (16-29 anos) do seu estado segundo o nível de escolaridade (fundamental, médio, superior) e a situação de trabalho (ocupado, desempregado).

2. Estruturação e contagem: Em uma planilha, construa a tabela de contingência e o respectivo diagrama de árvore com frequências relativas. Aplique análise combinatória para calcular de quantas formas distintas você poderia escolher uma amostra de $5$ jovens em que pelo menos $3$ tenham ensino superior.

3. Modelagem bayesiana: Calcule a probabilidade total de desemprego $P(D)$ e aplique o teorema de Bayes para encontrar a probabilidade a posteriori $P(\text{Superiores} \mid D)$. Compare o resultado com a probabilidade a priori $P(\text{Superiores})$ e determine se ambos os eventos são independentes.

4. Relatório de conclusões: Redija um relatório fundamentado (uma página) com gráficos explicativos, justificando, com base nos seus cálculos, se um nível de escolaridade mais elevado está associado a um menor risco de desemprego e explicando por que essa associação, por si só, não prova causalidade.

Será valorizado:

• Rigor no uso de propriedades da probabilidade, probabilidade total e teorema de Bayes.

• Correção na aplicação de técnicas de contagem e estruturação em planilha.

• Qualidade do relatório e coerência na interpretação crítica dos dados do IBGE.