Exercícios: Retas e planos

Um cubo tem vértices $ABCD$ na face inferior e $EFGH$ na face superior, com $E$ acima de $A$, $F$ acima de $B$, $G$ acima de $C$ e $H$ acima de $D$. Duas retas no espaço podem ser: paralelas (coplanares, sem ponto comum), concorrentes (com um ponto comum) ou reversas (não coplanares: não se encontram e não são paralelas).

Classifique a posição relativa de cada par de retas abaixo, justificando:

1. a) as retas $AB$ e $CD$;
2. b) as retas $AB$ e $BC$;
3. c) as retas $AE$ e $CG$;
4. d) as retas $AB$ e $CG$.

Critério de perpendicularismo entre reta e plano: se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano.

Num terreno plano, fincou-se um mastro vertical $AB$, com $A$ no solo e $B$ a $4$ m de altura. Para verificar se o mastro está de pé (perpendicular ao solo), o pedreiro mediu os ângulos entre o mastro e duas guias de referência no solo que passam por $A$: uma na direção leste-oeste e outra na direção norte-sul. Ambas mediram $90^\circ$.

1. a) As duas guias de referência são retas concorrentes do plano do solo? Justifique.
2. b) Aplique o critério para concluir que o mastro é perpendicular ao plano do solo.
3. c) Explique por que o mastro forma $90^\circ$ com qualquer outra reta do solo que passe por $A$.
4. d) Um cabo de aço liga o topo $B$ a um ponto $C$ do solo situado a $3$ m de $A$. Calcule o comprimento do cabo.

Num galpão industrial, o piso é o plano horizontal $z = 0$ e o teto é o plano horizontal $z = 4$ (medidas em metros). Uma luminária está no ponto $P = (2;\ 1{,}5;\ 3{,}5)$.

1. a) Qual é a distância da luminária ao piso? E ao teto? (Num caso simples como este, a distância de um ponto a um plano horizontal é a diferença de cotas $z$.)
2. b) A reta vertical que passa por $P$ é perpendicular ao piso e ao teto? Justifique e indique em que pontos ela encontra cada plano.
3. c) No piso, a reta $r$ passa pelos pontos $(1;\ 1;\ 0)$ e $(5;\ 1;\ 0)$. No teto, a reta $s$ passa pelos pontos $(1;\ 1;\ 4)$ e $(1;\ 3;\ 4)$. Mostre que $r$ e $s$ não são paralelas e não têm ponto comum, e conclua que são reversas.
4. d) Qual é a distância entre os dois planos paralelos $z = 0$ e $z = 4$? Justifique usando um segmento perpendicular a ambos.