Exercícios: Exercícios

Encontre a equação da mediatriz do segmento cujos extremos são os pontos $A(2, -3)$ e $B(-4, 5)$.

Escreva as equações das bissetrizes dos ângulos formados pelas retas $r: 3x - 4y + 12 = 0$ e $s: 5x + 12y - 10 = 0$.

Determine as coordenadas do centro e o comprimento do raio da circunferência cuja equação geral é $x^2 + y^2 - 8x + 10y - 8 = 0$.

Uma circunferência tem o seu centro no ponto $C(-3, 5)$ e passa pela origem do sistema de coordenadas. Escreva a equação reduzida e a equação geral dela.

Encontre o comprimento dos semieixos, as coordenadas dos focos e a excentricidade da elipse de equação $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$.

Dada a hipérbole de equação $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determine seus vértices, seus focos e as equações de suas assíntotas.

Encontre as coordenadas do vértice, do foco e a equação da reta diretriz da parábola $y^2 = -20x$.

Identifique o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença de distâncias, em valor absoluto, aos pontos $F_1(5, 0)$ e $F_2(-5, 0)$ é sempre igual a $8$. Escreva a sua equação reduzida.

Em uma prova de Geometria Analítica, o Marcos se depara com o seguinte enunciado: «Determine o lugar geométrico dos pontos $P(x, y)$ do plano cuja distância ao ponto $A(-3, 0)$ é exatamente o triplo da sua distância ao ponto $B(1, 0)$». Sem fazer cálculos, o Marcos afirma: «Como intervêm dois pontos fixos que atuam como focos e uma constante de proporcionalidade, a curva resultante é com certeza uma elipse com focos em $A$ e $B$».

1. a) Explique de forma fundamentada o erro conceitual cometido pelo Marcos, a partir da definição métrica rigorosa da elipse em comparação com a condição dada no enunciado.
2. b) Formule analiticamente a condição do enunciado ($d(P, A) = 3 \cdot d(P, B)$), elimine os radicais e obtenha a equação reduzida ou ordinária da cônica para demonstrar ao Marcos que figura geométrica se obtém realmente, especificando as coordenadas do seu centro e o valor do seu raio.

Modele e construa, justificando a escolha de cada parâmetro, a equação geral de uma cônica da forma $Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0$ com coeficientes inteiros que satisfaça simultaneamente as seguintes três condições:

1) É uma hipérbole equilátera (as suas assíntotas são perpendiculares entre si e vale que $a = b$).

2) O seu centro está situado no ponto $C(2, -1)$.

3) Passa pela origem do sistema de coordenadas $(0, 0)$.

Depois de obter a equação geral desenvolvida, explique detalhadamente que relação entre os sinais e valores dos coeficientes $A$ e $B$ garante que a cônica seja uma hipérbole e por que razão as suas assíntotas resultam perpendiculares.

Três estações sísmicas detectam um terremoto nas coordenadas $A(1, 4)$, $B(-3, 2)$ e $C(5, -2)$ (em quilômetros). Supondo que as ondas sísmicas viajam à mesma velocidade e chegam ao mesmo tempo às três estações, encontre as coordenadas do epicentro e o raio da zona afetada (distância às estações).

Um satélite descreve uma órbita elíptica em torno de um planeta, o qual se encontra situado em um dos seus focos. A distância mínima do satélite ao planeta (periastro) é de $3 \text{ Mm}$ e a distância máxima (apoastro) é de $9 \text{ Mm}$. Determine a equação da órbita e a sua excentricidade, supondo que o centro da elipse está na origem e o eixo focal coincide com o eixo das abscissas.

A seção transversal de uma torre de resfriamento nuclear tem a forma de uma hipérbole. A parte mais estreita da torre mede $40 \text{ m}$ de largura e fica a $50 \text{ m}$ de altura em relação ao solo. Se a base da torre tem uma largura de $80 \text{ m}$, encontre a equação da hipérbole supondo que o seu centro coincide com o centro da parte mais estreita.

O cabo principal de uma ponte pênsil adota a forma parabólica. As duas torres que o sustentam estão separadas por $120 \text{ m}$ e têm uma altura de $40 \text{ m}$ sobre o tabuleiro da ponte. O ponto mais baixo do cabo encontra-se a $10 \text{ m}$ sobre o tabuleiro. Determine a equação da parábola e calcule a altura do cabo a $30 \text{ m}$ do centro da ponte.

Um radar marítimo tem um alcance de detecção modelado pelo círculo $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 \leq 0$. Um navio segue uma trajetória retilínea dada pela equação $3x + 4y + k = 0$. Determine os valores do parâmetro $k$ para os quais o navio é detectado pelo radar em algum momento de sua trajetória.

Um drone submarino se move de tal forma que a sua distância a uma boia fixa em $A(-2, 0)$ é sempre o dobro da sua distância a outra boia fixa em $B(4, 0)$. Encontre a equação da trajetória do drone, simplifique-a e identifique que tipo de curva geométrica ela descreve.

Um raio laser incide sobre um espelho elíptico cuja forma é dada pela equação $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$. O ponto de incidência tem abcissa $x = 3$ e ordenada positiva. Encontre a equação da reta tangente ao espelho em tal ponto.

Calcule os pontos de interseção entre a circunferência $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ e a reta $x - y - 2 = 0$. Represente graficamente a situação mostrando ambos os lugares geométricos e os pontos de corte.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Considere a elipse de equação reduzida $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ e a reta $r: x + y - 4 = 0$.

1. a) Antes de efetuar cálculos algébricos, faça uma estimativa geométrica fundamentada: obtenha os quatro vértices da elipse, determine os pontos de interseção da reta $r$ com os eixos coordenados e deduza justificadamente se a reta é exterior, tangente ou secante à elipse, indicando se você espera encontrar zero, um ou dois pontos de interseção.
2. b) Confirme a sua estimativa mediante o método analítico: estabeleça o sistema de equações, substitua a reta na elipse, calcule o discriminante ($\Delta$) da equação do segundo grau resultante e interprete o seu sinal. Por fim, determine as coordenadas exatas dos pontos de contato para confirmar se a sua previsão inicial estava correta.

Inspirando-se na célebre «Sala de los Secretos» do Monasterio de El Escorial (Madrid), uma sala de divulgação científica tem uma abóbada de seção semielíptica para aproveitar a propriedade acústica focal: qualquer sussurro emitido a partir de um dos seus focos reflete no teto e é escutado com nitidez no outro foco. A base horizontal do chão mede $10\text{ m}$ de largura (eixo maior coincidente com o chão) e a altura máxima no centro da sala é de $3\text{ m}$.

1. a) Posicione a origem de coordenadas no centro do chão e escreva a equação reduzida da elipse que modela a seção da cobertura, identificando os semieixos $a$ e $b$.
2. b) A que distância exata das paredes laterais devem ficar em pé dois visitantes para estarem sobre os focos acústicos e vivenciarem o fenômeno?
3. c) Uma escultura vertical de $2,5\text{ m}$ de altura vai ser colocada em pé sobre o chão a uma distância horizontal de $3\text{ m}$ em relação ao centro da sala. Justifique, por meio do cálculo da altura do teto nesse ponto, se a escultura vai ou não tocar na cobertura.

Um cometa segue uma trajetória parabólica dada pela equação $y^2 = 8x$. Um asteroide segue uma órbita hiperbólica equilátera descrita por $x^2 - y^2 = 9$. Encontre as coordenadas exatas dos pontos de interseção de ambas as trajetórias.

A partir de uma estação de controle situada no ponto $P(0, 7)$ são enviados sinais de laser a um satélite cuja órbita circular nesse instante é dada pela equação $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 15 = 0$. Encontre as equações das duas trajetórias retilíneas tangentes à órbita a partir da estação de controle.

Encontre o lugar geométrico dos pontos do plano $P(x, y)$ tais que o produto dos coeficientes angulares das retas que os unem aos pontos fixos $A(-4, 0)$ e $B(4, 0)$ é igual a $-\frac{9}{16}$. Identifique a cônica resultante, calcule sua excentricidade e represente-a graficamente.

Um farol de automóvel tem uma seção transversal parabólica. A lâmpada se encontra no foco $F(3, 0)$ e o vértice da parábola está na origem das coordenadas. Um raio de luz sai da lâmpada, incide na parábola em um ponto de ordenada $y = 6$ e se reflete. Calcule a equação da reta tangente no ponto de incidência e encontre o ângulo que o raio incidente forma com essa tangente.

Duas redes de telecomunicações têm áreas de cobertura modeladas pelas circunferências $C_1: x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ e $C_2: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$. Encontre a equação do eixo radical, demonstre analiticamente que as circunferências são secantes e calcule a distância exata entre os seus pontos de interseção.

Dada a cônica de equação geral $9x^2 + 25y^2 - 54x + 200y + 256 = 0$. Classifique-a completando quadrados e encontre as coordenadas do seu centro, dos seus vértices, dos seus focos e o valor da sua excentricidade.

Uma partícula subatômica move-se em um campo magnético descrevendo uma trajetória hiperbólica equilátera cujas assíntotas coincidem com os eixos coordenados. Sabendo que a partícula passa pelo ponto $P(4, 2)$, resolva:

1. a) Determine a equação da trajetória.

1. b) Determine as coordenadas exatas dos vértices e dos focos.

1. c) Represente graficamente a curva (na figura você tem os eixos e o ponto $P$; você pode copiá-la para o seu caderno).

Você pode fazê-lo em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância ao ponto fixo $F(4, 0)$ é igual à metade da sua distância à reta vertical $x = 16$. Identifique a cônica resultante, encontre seus semieixos e represente-a graficamente ilustrando a propriedade da diretriz.

Para determinar as retas tangentes à circunferência $C: x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ traçadas a partir do ponto exterior $P(5, 5)$, propõem-se dois caminhos metodológicos:

• Método A (Algébrico geral): Estabelecer o feixe de retas que passa por $P$, $y - 5 = m(x - 5)$, substituir na cônica e impor que o discriminante da equação do segundo grau resultante seja nulo ($\Delta = 0$).

• Método B (Geométrico métrico): Obter o centro $C$ e o raio $R$ da circunferência completando quadrados, e impor que a distância do centro à reta geral $mx - y + (5 - 5m) = 0$ seja igual ao raio ($d(C, r) = R$).

1. a) Resolva o problema aplicando ambos os métodos de forma completa para obter os valores dos coeficientes angulares $m$ e escreva as equações gerais das duas tangentes resultantes.
2. b) Compare criticamente ambos os métodos: qual dos dois se revela visivelmente mais ágil e com menor carga de cálculo neste caso? Você poderia aplicar o Método B com a mesma simplicidade se a cônica fosse uma elipse da forma $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$? Justifique a sua resposta a partir das propriedades geométricas de ambas as curvas.

O centro de Salvamento Marítimo de Finisterre (Galiza) monitora a trajetória de uma boia à deriva no oceano por meio de duas estações fixas situadas em $A(-5, 0)$ e $B(5, 0)$ (coordenadas em quilômetros).

1. a) Em uma primeira fase, a boia $P(x, y)$ emite impulsos acústicos que chegam a $B$ antes de chegarem a $A$, mantendo-se constante a diferença de distâncias às duas estações: $d(P, A) - d(P, B) = 6\text{ km}$. Identifique, justificando, sobre que tipo de cônica e sobre qual dos seus dois ramos a boia se desloca, deduza seus parâmetros ($a, b, c$) e escreva sua equação reduzida.
2. b) Em uma segunda fase, a boia entra na área litorânea em frente a uma linha reta de costa descrita por $r: x = -7$. Os sensores registram que, nesse trecho, a boia se move mantendo em todos os momentos a mesma distância à estação $A(-5, 0)$ e à linha de costa $r$. Identifique essa segunda cônica, determine as coordenadas do seu vértice, do seu foco e o seu parâmetro $p$, e obtenha sua equação canônica ou reduzida.
3. c) Determine analiticamente as coordenadas dos pontos onde as duas trajetórias registradas podem ter se cruzado (interseção das duas cônicas na região $x > 0$) e discuta a coerência geométrica das soluções obtidas.

Desafio do tema. Missão de resgate orbital: da elipse à hipérbole.

O seu objetivo é modelar a trajetória de um corpo celeste e analisar formalmente suas transições cônicas.

1. Coleta de dados: Entre no banco de dados JPL Small-Body Database da NASA e selecione um cometa ou asteroide próximo da Terra. Anote o semieixo maior $a$ (em UA, ex. $1,45\text{ UA}$) e a excentricidade $e$ dele.

2. Construção no GeoGebra: Defina a elipse como lugar geométrico a partir de seus focos. Deduza a equação reduzida $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, calculando $b=\sqrt{a^2-c^2}$. Represente também a circunferência diretriz associada de raio $a$.

3. Limites e continuidade: Modele a excentricidade como função contínua $e(c)=\frac{c}{a}$ em $[0, a]$. Justifique a continuidade dela e calcule $\lim_{c \to 0} e(c)$ para explicar geometricamente o caso limite da circunferência. Considere o que acontece se uma perturbação elevar $e > 1$, transformando a órbita em uma hipérbole de escape; determine analiticamente suas assíntotas $y = \pm \frac{b}{a}x$, redefinindo para a hipérbole $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ o parâmetro $b=\sqrt{c^2-a^2}$ (agora $c>a$).

4. Produto final: Elabore um relatório sintético (no máximo duas páginas) com o arquivo ou capturas de tela do GeoGebra, os desenvolvimentos algébricos e suas conclusões físicas.

Será valorizado:

• Precisão na modelagem das cônicas a partir dos dados astronômicos reais.

• Rigor algébrico na dedução de lugares geométricos, continuidade e cálculo de limites.

• Qualidade analítica e justificativa geométrica das transições orbitais no relatório.