Exercícios: Hipérbole

Escreva a equação reduzida da hipérbole cujos focos são $F(5, 0)$ e $F'(-5, 0)$ e cujo eixo real mede $8$.

Dada a hipérbole de equação $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determine as coordenadas de seus vértices, de seus focos e as equações de suas assíntotas.

Verifique analiticamente se os pontos $A(5, 4)$, $B(4, 0)$ e $C(6, -3)$ são interiores, exteriores ou se pertencem à hipérbole de equação $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$.

Determine a equação de uma hipérbole equilátera centrada na origem sabendo que passa pelo ponto $P(4, 2)$ e que seus focos estão situados sobre o eixo das abscissas.

Calcule a excentricidade da hipérbole cuja equação geral é dada pela expressão $16x^2 - 9y^2 = 144$.

Encontre a equação reduzida da hipérbole que tem seus vértices nos pontos $V(3, 0)$ e $V'(-3, 0)$ e que passa pelo ponto $P(5, 4)$.

Determine o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença das distâncias aos pontos fixos $F(0, 10)$ e $F'(0, -10)$ é, em valor absoluto, igual a $12$. Escreva sua equação reduzida.

Encontre as coordenadas do centro, os comprimentos dos semieixos e as equações das assíntotas da hipérbole cuja equação é $\frac{(x+2)^2}{9} - \frac{(y-1)^2}{16} = 1$.

O Lucas tenta calcular os focos, a excentricidade e as assíntotas da hipérbole $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$. No caderno dele, escreve a seguinte resolução:

«Identifico $a^2 = 16$ e $b^2 = 9$. Como nas cônicas a relação fundamental é $a^2 = b^2 + c^2$, resolvo em relação a $c = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \approx 2,65$. Portanto, os focos estão em $(\pm\sqrt{7}, 0)$ e a excentricidade é $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{7}}{4} \approx 0,66$. Finalmente, as assíntotas são as retas $y = \pm\dfrac{a}{b}x$, ou seja, $y = \pm\dfrac{4}{3}x$».

Identifique e explique de forma fundamentada os dois erros conceituais que o Lucas cometeu, justifique por que o valor obtido para a excentricidade não tem qualquer sentido físico e geométrico a partir da definição de hipérbole, e escreva a resolução correta com os valores exatos dos focos, da excentricidade e das assíntotas.

Determine a equação reduzida $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ de uma hipérbole centrada na origem sabendo que as suas assíntotas são as retas de equações $y = \pm 1,5x$ e que a distância entre os seus dois focos é exatamente igual a $2\sqrt{13}$ unidades.

1. a) Determine os valores dos semieixos $a$ e $b$, e escreva as coordenadas dos seus vértices e dos seus focos.
2. b) Calcule a excentricidade da hipérbole.
3. c) Justifique por que razão a excentricidade de qualquer hipérbole depende unicamente do coeficiente angular $m$ das suas assíntotas através da relação $e = \sqrt{1 + m^2}$, e verifique que se cumpre com os dados obtidos.

No projeto de uma torre de resfriamento para uma usina térmica, a estrutura tem forma de hiperboloide de revolução. A seção transversal vertical é uma hipérbole com o centro na origem das coordenadas. A torre tem uma altura total de $160\text{ m}$. A parte mais estreita (a garganta) tem um diâmetro de $60\text{ m}$ e se encontra a uma altura de $120\text{ m}$ sobre a base. Além disso, o diâmetro na parte mais alta da torre é de $100\text{ m}$. Determine a equação da hipérbole que perfila a torre e calcule o diâmetro da base circular.

O sistema de navegação LORAN determina a posição de um navio medindo a diferença de tempo na recepção de sinais de duas estações de rádio. As estações $A$ e $B$ estão situadas em um sistema de coordenadas cartesianas nos pontos $(-60, 0)$ e $(60, 0)$, com as distâncias expressas em quilômetros. Um navio $P$ recebe o sinal de $A$ um tempo depois do sinal de $B$, o que indica que o navio está $100\text{ km}$ mais perto de $B$ do que de $A$. Determine a equação da hipérbole sobre a qual o navio navega e calcule a distância do navio à estação $B$ sabendo que sua ordenada é $y = 45\text{ km}$.

Encontre a equação da hipérbole centrada na origem que tem um foco no ponto $F(0, \sqrt{13})$ e na qual uma de suas assíntotas é a reta de equação $2x - 3y = 0$.

Calcule os pontos de interseção da reta $x - y - 2 = 0$ e da hipérbole $x^2 - 2y^2 = 2$. Em seguida, determine o comprimento exato da corda que delimita a reta ao cortar a cônica.

Encontre a equação da reta tangente e da reta normal à hipérbole $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ no ponto $P\left(5, \frac{9}{4}\right)$.

Um abajur projeta luz para cima e para baixo formando um cone luminoso. Ao colocá-lo perto de uma parede vertical, a borda da zona iluminada forma uma hipérbole. Medindo sobre a parede e tomando o chão como eixo das abscissas, observa-se que o centro da hipérbole está a $80\text{ cm}$ de altura. O vértice do ramo superior está a $100\text{ cm}$ do chão. Se a uma altura de $180\text{ cm}$ do chão a largura total da zona iluminada é de $96\text{ cm}$, determine a excentricidade da hipérbole projetada.

Dada a equação geral de uma cônica $9x^2 - 4y^2 + 54x + 16y + 29 = 0$, agrupe-a completando quadrados para demonstrar que se trata de uma hipérbole. Calcule as coordenadas do centro, dos focos e dos vértices dela.

Determine os valores do parâmetro $k$ para os quais a reta $y = x + k$ é tangente, secante ou exterior à hipérbole $x^2 - 2y^2 = 4$.

Dada a hipérbole de equação reduzida $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{144} = 1$:

1. a) Antes de calcular analiticamente qualquer ponto, estime se a ordenada positiva do ponto $P$ da curva cuja abscissa é $x = 13$ será maior ou menor do que o valor $32$. Justifique a sua previsão utilizando exclusivamente a equação da assíntota no primeiro quadrante e a posição relativa da hipérbole em relação a ela.
2. b) Isole e calcule o valor exato da ordenada positiva do ponto $P(13, y)$. Verifique se a sua estimativa prévia estava correta e calcule a distância vertical que separa a curva da sua assíntota na abscissa $x = 13$.
3. c) Determine as coordenadas dos focos $F_1$ e $F_2$ e verifique de forma rigorosa que, para o referido ponto $P$, se cumpre com exatidão a definição de lugar geométrico $|d(P, F_1) - d(P, F_2)| = 2a$.

O Instituto Geográfico Nacional (IGN) dispõe de duas estações de registro acústico no Parque Nacional de Picos de Europa, localizadas nos pontos $A(-5, 0)$ e $B(5, 0)$ (coordenadas expressas em quilômetros em relação a um ponto central do vale). Durante uma tempestade, ocorre um deslizamento de rochas em um ponto $P(x, y)$ do terreno. A estação $A$ registra o estrondo $20\text{ segundos}$ antes da estação $B$. Supondo que o som viaja em linha reta a uma velocidade média constante de $300\text{ m/s}$ ($0,3\text{ km/s}$):

1. a) Modele a situação estabelecendo o lugar geométrico onde o desabamento pode ter tido origem. Explique por que se trata de um ramo concreto de uma hipérbole e deduza sua equação reduzida, indicando que restrição a abscissa $x$ deve cumprir.
2. b) Uma estação sísmica auxiliar detecta que o epicentro do impacto ocorreu a uma ordenada $y = 4\text{ km}$. Determine as coordenadas exatas do ponto $P(x, y)$ do evento e calcule a distância direta em linha reta desde esse ponto até a estação receptora $A$.

Um cometa interestelar aproxima-se do sistema solar seguindo uma trajetória hiperbólica, com o Sol situado em um dos seus focos. Na sua aproximação máxima (periélio), o cometa passa a $2\text{ UA}$ (unidades astronômicas) do Sol. As observações astronômicas indicam que o ângulo formado pelas duas assíntotas da trajetória do cometa é de $60^\circ$. Tomando o Sol no foco de abscissa positiva e o eixo focal sobre o eixo $X$ (com o vértice à esquerda do Sol), determine a equação da trajetória do cometa e a distância a que ele estará do Sol quando cruzar a vertical do Sol.

Encontre o lugar geométrico dos pontos $P(x, y)$ tais que o produto dos coeficientes angulares das retas que os unem aos pontos fixos $A(4, 0)$ e $B(-4, 0)$ é igual a $\frac{9}{16}$. Demonstre analiticamente que se trata de uma hipérbole, encontre sua equação reduzida, as coordenadas de seus focos e sua excentricidade.

Encontre as equações das retas tangentes à hipérbole $x^2 - 4y^2 = 4$ traçadas a partir do ponto exterior $P(1, 1)$.

Demonstre de forma analítica que a área do triângulo formado por qualquer reta tangente à hipérbole equilátera de equação $xy = k$ (com $k > 0$) e os dois eixos de coordenadas é independente do ponto de tangência. Calcule tal valor constante em função do parâmetro $k$.

No projeto de um telescópio refletor do tipo Cassegrain, o espelho principal é parabólico e o espelho secundário tem a forma de um ramo de hipérbole. O foco do espelho parabólico coincide com um dos focos da hipérbole, situado a $120\text{ cm}$ à frente do vértice do espelho secundário. A imagem final se forma no outro foco da hipérbole, situado a $30\text{ cm}$ atrás de tal vértice (ou seja, a distância total entre os dois focos é $150\text{ cm}$). Calcule a equação da hipérbole que define o espelho secundário e sua excentricidade, situando o centro da hipérbole na origem das coordenadas e o eixo focal no eixo das abscissas.

Estude, em função do parâmetro $m$, a posição relativa da família de retas $y = mx - 1$ em relação à hipérbole equilátera $x^2 - y^2 = 1$. Especifique para quais valores de $m$ a reta corta um único ramo, ambos os ramos, é tangente ou não corta a curva.

Determine a equação de uma hipérbole com centro na origem e eixos coincidentes com os eixos de coordenadas, sabendo que passa pelos pontos $A(4, \sqrt{3})$ e $B(2\sqrt{3}, 1)$. A partir da equação obtida, calcule a distância exata entre seus focos.

Seja a hipérbole de equação $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$. Encontre, em função de $a$, $b$ e $c$, as coordenadas dos pontos $P$ pertencentes à curva a partir dos quais o segmento que une os dois focos $F$ e $F'$ é visto sob um ângulo reto (ou seja, os raios vetores $PF$ e $PF'$ são perpendiculares). Demonstre analiticamente que sempre existem tais pontos para qualquer hipérbole, independentemente de sua excentricidade.

Pretende-se demonstrar uma propriedade geométrica fundamental da hipérbole: «A distância euclidiana de qualquer um dos focos de uma hipérbole a qualquer uma das suas duas assíntotas é sempre igual ao comprimento do semieixo imaginário $b$». Para a hipérbole $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, com foco em $F(c, 0)$ e assíntota $y = \dfrac{b}{a}x$, dois alunos propõem caminhos distintos:

• Método 1 (Geometria analítica): Escrever a reta assíntota na sua forma geral $bx - ay = 0$, aplicar a fórmula da distância de um ponto a uma reta a partir do foco $F(c, 0)$ e simplificar a expressão utilizando a relação métrica fundamental $c^2 = a^2 + b^2$.

• Método 2 (Geometria métrica e trigonometria): Traçar o segmento perpendicular de $F(c, 0)$ até a assíntota, considerar o triângulo retângulo formado pela origem, o foco e o pé da perpendicular, e deduzir a distância a partir do seno do ângulo $\alpha$ que a assíntota forma com o semieixo positivo das abscissas.

1. a) Desenvolva por completo a demonstração seguindo ambos os métodos.
2. b) Compare criticamente as duas alternativas analisando qual é mais direta algebricamente e qual proporciona uma compreensão visual mais clara. A partir do resultado, descreva como construir com régua e compasso a posição exata dos focos se apenas forem conhecidos os vértices $(\pm a, 0)$ e as assíntotas.

Uma hipérbole é dita equilátera quando o comprimento do seu semieixo real coincide com o do seu semieixo imaginário ($a = b$).

1. a) Demonstre formalmente que a excentricidade de qualquer hipérbole equilátera é uma constante universal independente do valor de $a$, e determine o ângulo que as suas assíntotas formam entre si.
2. b) Ao girar $45^\circ$ os eixos cartesianos, as assíntotas passam a ser os próprios eixos coordenados e a equação adota a forma $xy = k$. Sabendo que os vértices $(\pm a, 0)$ da hipérbole original se transformam após a rotação nos pontos $\left(\pm\dfrac{a}{\sqrt{2}}, \pm\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)$, deduza a expressão exata da constante $k$ em função do semieixo $a$.
3. c) Considere a hipérbole equilátera particular $x^2 - y^2 = 32$. Traçam-se retas que passam pela origem do sistema de coordenadas, de equação $y = mx$. Discuta de forma fundamentada o número de pontos de interseção entre a reta e a hipérbole em função do parâmetro real $m$, e interprete o que representam geometricamente aqueles valores de $m$ para os quais não existe nenhum ponto de interseção.